В теории музыки пределы или гармонические пределы являются способом характеристики гармонии, обнаруженной в музыкальном произведении или жанре , или гармоний, которые могут быть созданы с использованием определенной шкалы . Термин предел был введен Гарри Парчем [1] , который использовал его, чтобы дать верхнюю границу сложности гармонии; отсюда и название.
Гарри Партч, Айвор Даррег и Ральф Дэвид Хилл входят в число многих микротоналистов , которые предполагают, что музыка медленно развивалась, чтобы использовать все более высокие гармоники в своих конструкциях (см. освобождение диссонанса ). [ требуется ссылка ] В средневековой музыке только аккорды, составленные из октав и чистых квинт (включая отношения между первыми тремя гармониками ), считались консонансными . На Западе триадическая гармония возникла примерно во времена Ренессанса , и триады быстро стали основными строительными блоками западной музыки. Большая и малая терции этих триад вызывают отношения между первыми пятью гармониками.
На рубеже 20-го века тетрады дебютировали как фундаментальные строительные блоки в афроамериканской музыке . [ требуется цитата ] В традиционной педагогике музыкальной теории эти септаккорды обычно объясняются как цепочки мажорных и минорных терций. Однако их также можно объяснить как происходящие напрямую от гармоник выше 5. Например, доминантсептаккорд в 12 -ET приближается к 4:5:6:7 (хотя и очень плохо), в то время как мажорный септаккорд приближается к 8:10:12:15.
В простом интонировании интервалы между тонами берутся из рациональных чисел . Со времен Парча появились две различные формулировки концепции предела: нечетный предел и простой предел . Нечетный предел и простой предел n не включают в себя те же интервалы, даже когда n является нечетным простым числом.
Для положительного нечетного числа n предел нечетности n содержит все рациональные числа, такие что наибольшее нечетное число, делящее числитель или знаменатель, не больше n .
В «Происхождении музыки» Гарри Партч рассматривал только рациональные интонации в соответствии с размером их числителей и знаменателей по модулю октав. [2] Поскольку октавы соответствуют множителям 2, сложность любого интервала может быть измерена просто наибольшим нечетным множителем в его отношении. Теоретическое предсказание Партча сенсорного диссонанса интервалов (его «Одноногая невеста») очень похоже на предсказания таких теоретиков, как Герман фон Гельмгольц , Уильям Сетарес и Пол Эрлих . [3]
См. § Примеры ниже.
Идентичность — это каждое из нечетных чисел ниже, включая (нечетный) предел в настройке. Например, идентичности, включенные в настройку с 5 пределами, — это 1, 3 и 5. Каждое нечетное число представляет собой новую высоту тона в гармоническом ряду и, таким образом, может считаться идентичностью:
В В Г Ц Е Г Б В Г Д Е Ж Г ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
По словам Парча: «Число 9, хотя и не является простым , тем не менее является тождеством в музыке, просто потому, что это нечетное число». [4] Парч определяет «тождество» как «один из коррелятов, « мажор » или « минор », в тональности ; один из нечетных ингредиентов, один или несколько или все из которых действуют как полюс тональности». [5]
Одиночность и идентичность являются сокращениями от over-identity и under-identity соответственно. [6] По словам производителя музыкального программного обеспечения Tonalsoft: «Единственность — это идентичность индивидуальности » . [7]
Для простого числа n предел n-простых чисел содержит все рациональные числа, которые можно разложить на множители с использованием простых чисел не больше n . Другими словами, это множество рациональных чисел, у которых числитель и знаменатель являются n - гладкими .
Настройка p-предела. При наличии простого числа p подмножество, состоящее из тех рациональных чисел x , разложение которых на простые множители имеет вид с, образует подгруппу ( ). ... Мы говорим, что шкала или система настройки использует настройку p-предела , если все интервальные соотношения между тонами лежат в этой подгруппе. [8]
В конце 1970-х годов на западном побережье США начал формироваться новый жанр музыки, известный как американская школа гамелана . Вдохновленные индонезийским гамеланом , музыканты в Калифорнии и других местах начали создавать свои собственные инструменты гамелана, часто настраивая их только по интонации. Центральной фигурой этого движения был американский композитор Лу Харрисон [ необходима ссылка ] . В отличие от Парча, который часто брал гаммы непосредственно из гармонического ряда, композиторы американского движения гамелана имели тенденцию рисовать гаммы из сетки только интонации, подобно тому, как это использовалось для построения блоков периодичности Фоккера . Такие гаммы часто содержат соотношения с очень большими числами, которые, тем не менее, связаны простыми интервалами с другими нотами в гамме.
Настройка и интервалы простого предела часто упоминаются с использованием термина для системы счисления, основанной на пределе. Например, настройка и интервалы 7-предела называются септимальными, 11-предела называются недесятичными и т. д.
В музыкальной темперации простые соотношения только интонации отображаются в близлежащие иррациональные приближения. Эта операция, если она успешна, не изменяет относительную гармоническую сложность различных интервалов, но она может усложнить использование концепции гармонического предела. Поскольку некоторые аккорды (например, уменьшенный септаккорд в 12-ET ) имеют несколько допустимых настроек только интонации, их гармонический предел может быть неоднозначным.
