В кристаллографии кристаллографическая точечная группа — это трехмерная точечная группа , операции симметрии которой совместимы с трехмерной кристаллографической решеткой . По кристаллографическому ограничению он может содержать только одно-, двух-, трех-, четырех- и шестикратные повороты или ротоинверсии. Это уменьшает количество кристаллографических точечных групп до 32 (из бесконечного числа общих точечных групп). Эти 32 группы тождественны 32 типам морфологической (внешней) кристаллической симметрии, выведенным в 1830 году Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.
В классификации кристаллов каждой пространственной группе сопоставляют кристаллографическую точечную группу путем «забывания» трансляционных составляющих операций симметрии. То есть, превращая вращения винта во вращения, скольжение отражений в отражения и перемещение всех элементов симметрии в начало координат. Каждая кристаллографическая точечная группа определяет (геометрический) кристаллический класс кристалла.
Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, направленное изменение физических свойств, возникающих из его структуры, включая оптические свойства , такие как двойное лучепреломление , или электрооптические особенности, такие как эффект Поккельса .
Группы точек названы в соответствии с симметрией их компонентов. Существует несколько стандартных обозначений, используемых кристаллографами, минералогами и физиками .
Чтобы узнать о соответствии двух систем ниже, см. Кристаллическую систему .
В нотации Шенфлиса группы точек обозначаются буквенным символом с индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:
Согласно кристаллографической ограничительной теореме n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.
D 4d и D 6d фактически запрещены, поскольку содержат неправильные вращения с n=8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T , Td , Th , O и Oh составляют 32 кристаллографические точечные группы.
Сокращенная форма обозначений Германа – Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Названия групп
Многие кристаллографические точечные группы имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1 , 2 и m содержат разные операции геометрической симметрии (инверсию, вращение и отражение соответственно), но все они разделяют структуру циклической группы C 2 . Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок , но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Точечные группы, которые являются изоморфными, показаны в следующей таблице: [2]
В этой таблице используются циклические группы (C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ), группы диэдра (D 2 , D 3 , D 4 , D 6 ), одна из чередующихся групп (A 4 ), и одна из симметрических групп (S 4 ). Здесь символ «×» указывает на прямое произведение .