Четырехскоростной

Аналог скорости в четырехмерном пространстве-времени

В физике , в частности в специальной теории относительности и общей теории относительности , 4-скорость — это 4-вектор в четырехмерном пространстве-времени ^{[nb 1]} , представляющий собой релятивистский аналог скорости , которая является трехмерным вектором в пространстве.

Физические события соответствуют математическим точкам во времени и пространстве, а совокупность всех этих точек вместе образует математическую модель физического четырехмерного пространства-времени. История объекта описывает кривую в пространстве-времени, называемую его мировой линией . Если объект имеет массу , так что его скорость обязательно меньше скорости света , мировая линия может быть параметризована собственным временем объекта. Четырехскорость — это скорость изменения четырехпозиционного положения относительно собственного времени вдоль кривой. Скорость, напротив, — это скорость изменения положения в (трехмерном) пространстве объекта, как его видит наблюдатель, относительно времени наблюдателя.

Значение величины 4 -скорости объекта, т. е. величина, полученная путем применения метрического тензора g к 4-скорости U , то есть ‖ U ‖ ² = U ⋅ U = g _μν U ^ν U ^μ , всегда равно ± c ² , где c — скорость света. Применимость знака плюс или минус зависит от выбора метрической сигнатуры . Для покоящегося объекта его 4-скорость параллельна направлению временной координаты с U ⁰ = c . Таким образом, 4-скорость — это нормализованный направленный в будущее времениподобный касательный вектор к мировой линии и является контравариантным вектором . Хотя это вектор, сложение двух 4-скоростей не дает 4-скорости: пространство 4-скоростей само по себе не является векторным пространством . ^{[nb 2]}

Скорость

Путь объекта в трехмерном пространстве (в инерциальной системе отсчета) можно выразить через три пространственные координатные функции x ⁱ ( t ) времени t , где i — индекс , принимающий значения 1, 2, 3.

Три координаты образуют трехмерный вектор положения , записанный в виде вектора-столбца. $${\displaystyle {\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Компоненты скорости (касательной к кривой) в любой точке мировой линии равны ${\displaystyle {\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}$$

Каждый компонент просто написан $${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}}$$

Теория относительности

В теории относительности Эйнштейна путь объекта, движущегося относительно конкретной системы отсчета, определяется четырьмя функциями координат x ^μ ( τ ) , где μ — индекс пространства-времени, который принимает значение 0 для временной компоненты и 1, 2, 3 для пространственноподобных координат. Нулевая компонента определяется как временная координата, умноженная на c , $${\displaystyle x^{0}=ct\,,}$$

Каждая функция зависит от одного параметра τ, называемого ее собственным временем . Как вектор-столбец, $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Замедление времени

Из замедления времени следует , что дифференциалы в координатном времени t и собственном времени τ связаны соотношением , где фактор Лоренца является функцией евклидовой нормы u трехмерного вектора скорости : $${\displaystyle dt=\gamma (u)d\tau }$$ $${\displaystyle \gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,}$$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ $${\displaystyle u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.}$$

Определение четырехскоростного

Четырехскорость — это касательный четырехвектор времениподобной мировой линии . Четырехскорость в любой точке мировой линии определяется как: где — четырехпозиционное положение , а — собственное время . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$ $${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$

Четырехскорость, определенная здесь с использованием собственного времени объекта, не существует для мировых линий безмассовых объектов, таких как фотоны, движущиеся со скоростью света; она также не определена для тахионных мировых линий, где касательный вектор является пространственноподобным .

Компоненты четырехскоростного

Связь между временем t и координатным временем x ⁰ определяется соотношением $${\displaystyle x^{0}=ct.}$$

Взяв производную от этого по собственному времени τ , находим компоненту скорости U ^μ при μ = 0 : $${\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)}$$

и для остальных 3 компонентов собственного времени мы получаем компонент скорости U ^μ для μ = 1, 2, 3 : где мы использовали цепное правило и соотношения $${\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}}$$ $${\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)}$$

Таким образом, для четырехскорости находим : ${\displaystyle \mathbf {U} }$ $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.}$$

В стандартной четырехвекторной нотации это выглядит так: где — временная составляющая, а — пространственная составляющая. $${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)}$$ ${\displaystyle \gamma c}$ ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}}$

В терминах синхронизированных часов и линеек, связанных с определенным срезом плоского пространства-времени, три пространственноподобных компонента 4-скорости определяют собственную скорость движущегося объекта, то есть скорость, с которой преодолевается расстояние в системе отсчета карты за единицу собственного времени, прошедшего по часам, движущимся вместе с объектом. ${\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }$

В отличие от большинства других четырехвекторов, четырехмерная скорость имеет только 3 независимых компонента вместо 4. Фактор является функцией трехмерной скорости . ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

При умножении определенных скаляров Лоренца на 4-скорость получаются новые физические 4-векторы, имеющие 4 независимых компонента.

Например:

• Четырехимпульс : где находится масса покоя $${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),}$$ ${\displaystyle m_{o}}$
• Плотность четырех токов : где плотность заряда $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),}$$ ${\displaystyle \rho _{o}}$

Фактически, фактор объединяется со скалярным членом Лоренца, образуя 4-й независимый компонент и ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$$ $${\displaystyle \rho =\gamma \rho _{o}.}$$

Величина

Используя дифференциал четырехпозиционного положения в системе покоя, величину четырехскорости можно получить с помощью метрики Минковского с сигнатурой (−, +, +, +) : короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,}$$ $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}}$$

В движущейся системе отсчета та же норма равна: так что: $${\displaystyle \left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$ $${\displaystyle -c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),}$$

что сводится к определению фактора Лоренца.

Смотрите также

• Физический портал

• Четырех-ускорение
• Четырех-импульс
• Четырех-силовой
• Четырехградиентный
• Алгебра физического пространства
• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Модель гиперболоида
• Быстрота

Замечания

1. Технически, 4-вектор следует рассматривать как находящийся в касательном пространстве точки в пространстве-времени, само пространство-время моделируется как гладкое многообразие . Это различие имеет важное значение в общей теории относительности.
2. Набор четырех-скоростей является подмножеством касательного пространства (которое является векторным пространством) в событии. Метка четырех-вектор происходит от поведения при преобразованиях Лоренца , а именно, при каком конкретном представлении они преобразуются.

Ссылки

• Эйнштейн, Альберт (1920). Относительность: специальная и общая теория . Перевод Роберта У. Лоусона. Нью-Йорк: Оригинал: Henry Holt, 1920; Переиздано: Prometheus Books, 1995.
• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е) . Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.

1. Маккомб, У. Д. (1999). Динамика и относительность . Оксфорд [и т. д.]: Oxford University Press. стр. 230. ISBN 0-19-850112-9.