В музыке 53 равномерная темперация , называемая 53 TET , 53 EDO или 53 ET , — это темперированная гамма, полученная путем деления октавы на 53 равных шага (равные частотные отношения). Каждый шаг представляет собой частотное отношение 2 1 ∕ 53 или 22,6415 цента ( ), интервал, иногда называемый коммой Холдриана .
53 TET — это равномерная темперация , в которой темперированная чистая квинта имеет ширину 701,89 цента, как показано на рисунке 1, а последовательные высоты разделены 22,642 цента.
Настройка 53-TET соответствует унисону, или темперирует интервалы 32 805 /32 768 , известный как раскол , и 15 625 /15 552 , известный как kleisma . Это оба 5 предельных интервала, включающие только простые числа 2, 3 и 5 в их факторизации, и тот факт, что 53 TET смягчает оба, характеризует его полностью как 5 предельную темперацию: Это единственная регулярная темперация, смягчающая оба этих интервала, или запятые , факт, который, кажется, был впервые признан японским теоретиком музыки Сёхе Танакой . Поскольку он смягчает их, 53nbsp;TET может использоваться как для схизматической темперации , смягчающей схизму, так и для темперации Хансона (также называемой клеизмической), смягчающей клеизму.
Интервал 7 /4 находится ближе всего к 43-й ноте (считая от 0) и 2 43 ∕ 53 = 1,7548 находится всего в 4,8 центах от гармонической 7-й ноты = 7 /4 в 53 TET, и использование его для гармонии с 7-ю пределами означает, что септальная клеизма , интервал 225 /224 , также смягчен.
Теоретический интерес к этому разделению восходит к древности. Цзин Фан (78–37 до н. э.), китайский теоретик музыки, заметил, что серия из 53 квинт ( [ 3 /2 ] 53 ) очень близко к 31 октаве ( 2 31 ). Он вычислил эту разницу с точностью до шести цифр, чтобы она была 177 147 /176 776 . [2] [3] Позднее то же самое наблюдение сделал математик и теоретик музыки Николас Меркатор ( ок. 1620–1687 ), который вычислил это значение точно как 3 53 / 2 84 = 19 383 245 667 680 019 896 796 723 /19 342 813 113 834 066 795 298 816 , [ требуется проверка ] которая известна как запятая Меркатора . [4] Запятая Меркатора изначально имеет такую маленькую ценность ( ≈ 3,615 цента), но 53 равномерных темперации сглаживают каждую квинту всего на 1/ 53 этой запятой ( ≈ 0,0682 цента ≈ 1/ 315 синтоническая запятая ≈ 1/ 344 пифагорейская комма ).Таким образом, равномерная темперация в 53 тона для всех практических целей эквивалентна расширеннойпифагорейской настройке.
После Меркатора Уильям Холдер опубликовал трактат в 1694 году, в котором указывалось, что равномерная темперация 53 также очень близко приближается к точной большой терции (с точностью до 1,4 цента), и, следовательно, равномерная темперация 53 очень хорошо вмещает интервалы 5 limit just intonation . [5] [6] Это свойство 53 TET могло быть известно и раньше; неопубликованные рукописи Исаака Ньютона позволяют предположить, что он знал об этом еще в 1664–1665 годах. [7]
В 19 веке люди начали изобретать инструменты в 53 TET, имея в виду их использование при исполнении музыки, близкой к 5-ти нотам . Такие инструменты были изобретены RHM Bosanquet [8] (стр. 328–329) и американским настройщиком JP White. [8] (стр. 329) Впоследствии темперация время от времени использовалась композиторами на Западе, и к началу 20 века 53 TET стала наиболее распространенной формой настройки в османской классической музыке , заменив ее старую, неравную настройку. Арабская музыка , которая по большей части основывает свою теорию на четвертьтонах , также использовала ее в некоторой степени; сирийский скрипач и музыкальный теоретик Твфик Аль-Сабаг предложил, чтобы вместо равного деления октавы на 24 части в качестве основной гаммы для арабской музыки использовалась 24-нотная гамма в 53 TET. [ требуется ссылка ]
Хорватский композитор Йосип Штолцер-Славенский написал одно произведение, которое никогда не было опубликовано, в котором в первой части используется Энгармониум Бозанкета , под названием «Музыка для системы натур-тон» . [9] [10] [11] [a]
Кроме того, генерал Томпсон работал в сговоре с лондонским производителем гитар Луисом Панормо для создания энгармонической гитары. [12]
Попытка использовать стандартную нотацию, семибуквенные ноты плюс диезы или бемоли, может быстро сбить с толку. Это не похоже на случай с 19 TET и 31 TET , где мало двусмысленности. Не будучи подразумеваемым, это добавляет некоторые проблемы, которые требуют большего внимания. В частности, различаются пифагорейская большая терция ( дитон ) и просто большая терция, как и пифагорейская малая терция (полудитон) и просто малая терция. Тот факт, что синтоническая комма не темперируется, означает, что ноты и интервалы должны быть определены более точно. Османская классическая музыка использует нотацию бемолей и диезов для тона 9 комма.
Кроме того, поскольку 53 не кратно 12, такие ноты, как G ♯ и A ♭, не являются энгармонически эквивалентными, как и соответствующие им ключевые знаки . В результате, многие ключевые знаки потребуют использования дубль-диезов (например, G ♯ мажор / E ♯ минор), дубль-бемолей (например, F ♭ мажор / D ♭ минор) или микротональных изменений.
Расширенная пифагорейская нотация , использующая только диезы и бемоли, дает следующую хроматическую гамму:
, Э
, Д ♭ , С ♯ , С, Ф, Э
,, В ♯, Ф, Э ♭ , Д ♯ , Ц ♯, Г, Ф ♭ ,, С/А, Г,, А, Соль ♭ , Фа ♯ , Ми, Д/Б, А,, Е ♯, Б, А ♭ , С ♯ , Ф ♯, С, Б,, Ф/Д, С, С ♭ , А ♯ , С ♯, Д, С ♭ ,, Г/Э, Д, СК сожалению, ноты выходят за рамки порядка букв, и требуется до четырех диезов и бемолей. В результате, только мажорная терция должна быть записана как уменьшенная кварта.
Нотация Ups and Downs [13] сохраняет порядок нот, а также традиционное значение диеза и бемола. Она использует стрелки вверх и вниз, написанные как каретка или строчная буква «v», обычно шрифтом без засечек. Одна стрелка соответствует одному шагу 53-TET. В названиях нот стрелки идут первыми, чтобы облегчить наименования аккордов. Множество энгармонических эквивалентов допускают большую свободу написания.
Поскольку 53-TET — это пифагорейская система с почти чистыми квинтами, справедливо интонированные мажорные и минорные трезвучия не могут быть записаны так же, как в настройке meantone . Вместо этого мажорные трезвучия — это аккорды типа CF ♭ -G (используя пифагорейскую нотацию), где мажорная терция — это уменьшенная кварта; это определяющая характеристика схизматической темперации . Аналогично, минорные трезвучия — это аккорды типа CD ♯ -G. В 53-TET доминантсептаккорд будет записан как CF ♭ -GB ♭ , но отональная тетрада — это CF ♭ -GC, и CF ♭ -GA ♯ - это еще один септаккорд. Утональная тетрада, обращение отонной тетрады, пишется как CD ♯ -GG.
Дальнейшие септимальные аккорды представляют собой уменьшенное трезвучие, имеющее две формы CD ♯ -G ♭ и CF-G ♭ , субминорное трезвучие, CF-G, супермажорное трезвучие CD-G и соответствующие тетрады CF-ГБи компакт-диск-ГА ♯ . Поскольку 53-TET смягчает септимальную клейсму , септимальная клейсма дополняет триаду CF ♭ -B.в своих различных инверсиях также является аккордом системы. Так же как и тетрада Оруэлла, CF ♭ -D-Гв его различных инверсиях.
Ups and downs нотация допускает более традиционное написание. Поскольку она также называет интервалы 53 TET, [14] она также дает точные названия аккордов. Пифагорейский минорный аккорд с 32 /27 терция все еще называется Cm и все еще пишется C–E ♭ –G. Но 5-предельный восходящий минорный аккорд использует восходящий минорный 3-й 6/5 и пишется C–^E ♭ –G. Этот аккорд называется C^m. Сравните с ^Cm (^C–^E ♭ –^G).
Поскольку расстояние в 31 шаг в этой гамме почти точно равно чистой квинте , теоретически эту гамму можно считать слегка темперированной формой пифагорейской настройки , которая была расширена до 53 тонов. Таким образом, доступные интервалы могут иметь те же свойства, что и любая пифагорейская настройка, например, квинты, которые (практически) чистые, большие терции, которые широкие от всего (около 81 /64 в отличие от более чистого 5 /4 , и малые терции, которые, наоборот, узкие ( 32 /27 по сравнению с 6 /5 ).
Однако 53 TET содержит дополнительные интервалы, которые очень близки к просто интонации. Например, интервал в 17 шагов также является большой терцией, но всего на 1,4 цента уже, чем очень чистый просто интервал 5 /4 . 53 TET очень хорош как приближение к любому интервалу в 5 limit just intonation. Аналогично, чистый just interval 6 /5 всего на 1,3 цента шире, чем 14 шагов в 53 TET.
Совпадения с интервалами, включающими 7-ю гармонику, немного менее близки (43 шага составляют 4,8 цента диез для 7 /4 ), но все такие интервалы все еще довольно близко совпадают, причем наибольшее отклонение составляет 7 /5 тритон. 11-я гармоника и интервалы, включающие ее, менее точно соответствуют друг другу, как показано в недесятичных нейтральных секундах и терциях в таблице ниже. Соотношения предела 7 окрашены в светло-серый цвет, а соотношения предела 11 и 13 окрашены в темно-серый цвет.
Ниже приведены 21 из 53 нот хроматической гаммы. Остальные можно легко добавить.
В теории музыки и музыкальной настройке комма Холдера , также называемая коммой Холдера , и реже арабской коммой , [15] представляет собой небольшой музыкальный интервал приблизительно в 22,6415 центов , [15] равный одному шагу 53 равномерной темперации, или ( ). Название «комма» , однако, технически вводит в заблуждение, поскольку этот интервал является иррациональным числом и не описывает компромисс между интервалами какой-либо системы настройки. Интервал получил название «комма», потому что он является близким приближением нескольких комм , в частности, синтонической коммы (21,51 цента)( ), которая широко использовалась в качестве единицы измерения тональности во времена Холдера .
Происхождение коммы Холдера кроется в том факте, что древние греки (или, по крайней мере, римлянин Боэций [b] ) считали, что в пифагорейской настройке тон можно разделить на девять комм, четыре из которых образуют диатонический полутон, а пять — хроматический полутон. Если все эти коммы будут точно одинакового размера, то получится октава из 5 тонов + 2 диатонических полутона, 5 × 9 + 2 × 4 = 53 равных комм. Холдер [18] приписывает деление октавы на 53 равные части Николасу Меркатору [c], который сам предложил, что 1/ 53 частьоктавы можно назвать «искусственной запятой».
Комма Меркатора — это название, часто используемое для близкого интервала из-за его связи с Николасом Меркатором . [d] Один из этих интервалов был впервые описан Цзин Фаном в 45 г. до н. э . [15] Меркатор применил логарифмы, чтобы определить, что (≈ 21,8182 цента) было почти эквивалентно синтонической комме ≈ 21,5063 цента (особенность распространенной в то время темперации meanone ). Он также считал, что «искусственная комма» может быть полезна, потому что 31 октава может быть практически аппроксимирована циклом из 53 квинт . Холдер , в честь которого названа комма Холдера , отдавал предпочтение этой последней единице, потому что интервалы 53 равномерной темперации ближе к просто интонации, чем к 55 TET. Таким образом, комма Меркатора и комма Холдера — это два разных, но почти равных интервала.
Холдрианская комма использовалась в основном в османской/турецкой музыкальной теории Кемалем Илериджи и турецким композитором Эролом Саяном. Название этой коммы на турецком языке Holder koması .
Например, Раст макам (похожий на западную мажорную гамму или, точнее, на правильно настроенную мажорную гамму ) можно рассматривать с точки зрения холдрианских комм:
где
обозначает холдрианскую запятую-бемоль, [e],
в то время как, напротив, нихавендская макама (похожая на западную минорную гамму ):
где ♭ обозначает пятизапятую-бемоль, имеет средние секунды между d–e ♭ , e–f , g–a ♭ , a ♭ – b ♭ , и b ♭ – c′ , средняя секунда находится где-то между 8 и 9 запятыми. [15]
и седьмая нота bв Расте даже ниже, чем в этой теории, почти точно посередине между западными большими и малыми терциями над до и соль , т.е. ближе к 6,5 коммам (трехчетвертному тону) над ре или ля и 6,5 ниже фа или до , терции до–мии г–бМузыковеды часто называют его « нейтральной терцией ».![{\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f19208b781cf33558ef32abd24a09631620641)
![{\displaystyle \ {\sqrt[{55}]{2\;}}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a5b9053b8ac8f0a72d1e13131c3b0495dac024)