7

Integer number 7

Natural number

7 ( семь ) — натуральное число, следующее за 6 и предшествующее 8 . Это единственное простое число, предшествующее кубу .

Как раннее простое число в ряду положительных целых чисел , число семь имеет очень символические ассоциации в религии , мифологии , суевериях и философии . Из семи классических планет семь — это количество дней в неделе. ^[1] Число 7 в западной культуре часто считается счастливым и считается весьма символичным . В отличие от западной культуры , во вьетнамской культуре число семь иногда считается несчастливым. ^{[ нужна цитата ]}

Эволюция арабской цифры

Вначале индейцы писали 7 более или менее одним росчерком в виде кривой, которая выглядела как заглавная буква ⟨J⟩, перевернутая вертикально (ᒉ). Основной вклад арабов западного Губара заключался в том, чтобы сделать более длинную линию диагональной, а не прямой, хотя они проявили некоторую тенденцию к тому, чтобы сделать цифру более прямолинейной. Восточные арабы превратили цифру из формы, которая выглядела примерно как 6, в форму, похожую на заглавную букву V. Обе современные арабские формы повлияли на европейскую форму, двухтактную форму, состоящую из горизонтальной верхней черты, соединенной справа с чертой. спускаясь к левому нижнему углу, линия слегка изогнута в некоторых вариантах шрифта. Как и в случае с европейской цифрой, чамская и кхмерская цифра 7 также эволюционировала, чтобы выглядеть как цифра 1, хотя и по-другому, поэтому они также стремились сделать свои 7 более разными. Для кхмеров это часто заключалось в добавлении горизонтальной линии вверху цифры. ^[2] Это аналогично горизонтальной черте посередине, которая иногда используется в рукописном письме в западном мире, но почти никогда не используется в компьютерных шрифтах. Однако эта горизонтальная черта важна для того, чтобы отличить глиф, обозначающий семь, от глифа, обозначающего один, в письменной форме, в которой в глифе, обозначающем 1, используется длинная черта вверх. В некоторых греческих диалектах начала XII века более длинная диагональ линии рисовалась довольно полукруглая поперечная линия.

На семисегментных дисплеях цифра 7 — это цифра с наиболее распространенным графическим вариантом (1, 6 и 9 также имеют варианты глифов). В большинстве калькуляторов используются три сегмента линии, но на калькуляторах Sharp , Casio и некоторых других марок цифра 7 записывается четырьмя сегментами, потому что в Японии, Корее и Тайване цифра 7 пишется с «крючком» слева, как ① в следующую иллюстрацию.

В то время как в большинстве современных шрифтов форма символа цифры 7 имеет восходящую часть , в шрифтах с текстовыми цифрами символ обычно имеет нижний нижний предел (⁊), как, например, в.

Большинство людей в континентальной Европе, ^[3] Индонезии, ^{[ нужна ссылка ]} и некоторые в Великобритании, Ирландии и Канаде, а также в Латинской Америке пишут 7 с линией через середину ( 7 ), иногда с изогнутой верхней линией. Линия посередине полезна, чтобы четко отличить цифру от цифры один, поскольку они могут выглядеть похожими при написании определенными стилями почерка. Эта форма используется в официальных правилах почерка для начальной школы в России, Украине, Болгарии, Польше, других славянских странах, ^[4] Франции, ^[5] Италии, Бельгии, Нидерландах, Финляндии, ^[6] Румынии, Германии, Греции, ^[7] и Венгрия. ^{[ нужна цитата ]}

Математика

Семь, четвертое простое число , является не только простым числом Мерсенна (поскольку 2 ³ − 1 = 7 ), но также двойным простым числом Мерсенна, поскольку показатель степени 3 сам по себе является простым числом Мерсенна. ^[8] Это также простое число Ньюмана–Шэнкса–Вильямса , ^[9] простое число Вудала , [ ^10] факториал простого числа , ^[11] число Харшада, счастливое простое число , ^[12] счастливое число (счастливое простое число), ^[13] безопасный прайм ( единственныйБезопасное простое число Мерсенна ), простое число Лейланда второго рода и четвертое число Хегнера . ^[14]

• Семь — наименьшее натуральное число, которое нельзя представить в виде суммы квадратов трёх целых чисел. (См. теорему Лагранжа о четырех квадратах#Историческое развитие .)
• Семь — это аликвотная сумма одного числа, кубическое число 8 = 2 ³ делает его основой дерева из 7 аликвот; следовательно, это также сумма делителей только 4 , его простого индекса . Кроме того, наименьшее число с семью делителями — 64 = 8 ² . ^[15]
• Седьмое треугольное число — это второе совершенное число 28 = 7 × 4, ^[16] которое предшествует 6 . ^[17] В десятичном представлении обратное число 7 повторяет шесть цифр (как 0,142857 ), ^{[18] [19]} чья сумма при возврате к 1 равна 28. С другой стороны, 7 — это количество разделов. из 5 , ^[20] значение n , которое дает третье совершенное число 496 для 2 ^{n - 1} (2 ⁿ - 1) по теореме Евклида-Эйлера .
• 7 — единственное число D , для которого уравнение 2 ⁿ − D = x ² имеет более двух решений для n и x natural . В частности, уравнение 2 ⁿ − 7 = x ² известно как уравнение Рамануджана–Нагелла .
• Существует 7 групп фризов в двух измерениях, состоящих из симметрий плоскости , группа переводов которых изоморфна группе целых чисел . ^[21] Они относятся к 17 группам обоев , трансформации и изометрии которых повторяют двумерные узоры на плоскости. ^{[22] [23]} Седьмое индексированное простое число — семнадцать. ^[24]
• Как следствие малой теоремы Ферма и критерия Эйлера , все кубы конгруэнтны 0, 1 или 6 по модулю 7.
• Семигранная фигура – ​​семиугольник . ^[25] Правильные n -угольники для n ⩽ 6 могут быть построены только с помощью циркуля и линейки , что делает семиугольник первым правильным многоугольником, который невозможно построить напрямую с помощью этих простых инструментов . ^[26] Фигурные числа, представляющие семиугольники, называются семиугольными числами . ^[27] 7 также является центрированным шестиугольным числом . ^[28]

Семиугольник в евклидовом пространстве не может создавать однородные мозаики рядом с другими многоугольниками, как правильный пятиугольник . Однако это один из четырнадцати многоугольников, которые могут заполнить мозаику из плоских вершин , в данном случае только рядом с правильным треугольником и 42-сторонним многоугольником ( 3.7.42 ). ^{[29] [30]} Это также одна из двадцати одной такой конфигурации из семнадцати комбинаций многоугольников, которая включает в себя самые большие и самые маленькие возможные многоугольники. ^{[31] [32]}

В противном случае для любого правильного n -стороннего многоугольника максимальное количество пересекающихся диагоналей (кроме его центра) не превышает 7. ^[33] Поскольку правильный семиугольник содержит четырнадцать диагоналей , разница между количеством его диагоналей и количеством стороны — семь; семиугольник - единственный выпуклый многоугольник, у которого соотношение числа сторон и диагоналей составляет один к двум (поскольку любой n -сторонний многоугольник с n ≥ 3 сторонами, выпуклыми или вогнутыми, имеетп ( п – 3)/2диагонали). ^{[34] [35]}

• В калейдоскопических конструкциях Витхоффа семь различных образующих точек, лежащих на зеркальных краях трехстороннего треугольника Шварца, используются для создания наиболее однородных мозаик и многогранников ; восьмая точка, лежащая на всех трех зеркалах, технически вырождена и предназначена только для обозначения курносых форм. ^[36]

Семь из восьми полуправильных мозаик являются витоффовыми (единственное исключение — вытянутая треугольная мозаика ), где существуют три правильных мозаики , все из которых являются витоффовыми. ^[37] Семь из девяти однородных раскрасок квадратной мозаики также являются витоффовыми, а между треугольной и квадратной мозаикой есть семь невитоффовых однородных раскрасок из двадцати одной, которые принадлежат правильным мозаикам (все гексагональные однородные раскраски мозаики являются витоффианскими). ^[38]

В двух измерениях существует ровно семь 7-однородных мозаик Кротенхердта и нет других таких k -однородных мозаик для k > 7, и это также единственное k , для которого количество мозаик Кротенхердта согласуется с k . ^{[39] [40]}

• Плоскость Фано — это наименьшая возможная конечная проективная плоскость с 7 точками и 7 прямыми, причем каждая прямая содержит 3 точки и каждую точку пересекают 3 прямые. ^[41] При порядке группы 168 = 2 ³ ·3·7 эта плоскость содержит 35 троек точек, из которых 7 коллинеарны, а еще 28 неколлинеарны, чей граф инцидентности представляет собой 3-регулярный двудольный граф Хивуда с 14 вершинами и 21 ребро . ^[42] Этот граф встраивается в трех измерениях как многогранник Силасси , простейший тороидальный многогранник , а также его двойственный многогранник с 7 вершинами, многогранник Часара . ^{[43] [44]}
• В трехмерном пространстве существует семь кристаллических систем и четырнадцать решеток Браве , которые подразделяются на семь решетчатых систем , шесть из которых являются общими с семью кристаллическими системами. ^{[45] [46] [47]} Есть также семьдесят семь символов Витхоффа , которые представляют все однородные фигуры в трех измерениях. ^[48]

График распределения вероятностей суммы двух шестигранных игральных костей

• Седьмое измерение — единственное измерение, помимо знакомых трех, где можно определить векторное векторное произведение . ^[49] Это связано с октонионами над воображаемым подпространством Im( O ) в 7-пространстве, коммутатор которого между двумя октонионами определяет это векторное произведение, где плоскость Фано описывает мультипликативную алгебраическую структуру единичных октонионов { e ₀ , e ₁ , e ₂ , ..., e ₇ } , где e ₀ является единичным элементом . ^[50]

Кроме того, самым низким известным измерением экзотической сферы является седьмое измерение, в котором всего 28 дифференцируемых структур; на четырехмерной сфере могут существовать экзотические гладкие структуры . ^{[51] [52]}

In hyperbolic space, 7 is the highest dimension for non-simplex hypercompact Vinberg polytopes of rank n + 4 mirrors, where there is one unique figure with eleven facets.^[53] On the other hand, such figures with rank n + 3 mirrors exist in dimensions 4, 5, 6 and 8; not in 7.^[54] Hypercompact polytopes with lowest possible rank of n + 2 mirrors exist up through the 17th dimension, where there is a single solution as well.^[55]

• There are seven fundamental types of catastrophes.^[56]
• The positive definite quadratic integer matrix representative of all odd numbers contains the set of seven integers: {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33} where seven is the middle indexed member.^[57][58]
• When rolling two standard six-sided dice, seven has a 6 in 6² (or 1/6) probability of being rolled (1–6, 6–1, 2–5, 5–2, 3–4, or 4–3), the greatest of any number.^[59] The opposite sides of a standard six-sided dice always add to 7.
• The Millennium Prize Problems are seven problems in mathematics that were stated by the Clay Mathematics Institute in 2000.^[60] Currently, six of the problems remain unsolved.^[61]

Basic calculations

In decimal

999,999 divided by 7 is exactly 142,857. Therefore, when a vulgar fraction with 7 in the denominator is converted to a decimal expansion, the result has the same six-digit repeating sequence after the decimal point, but the sequence can start with any of those six digits.^[62] For example, 1/7 = 0.142857 142857... and 2/7 = 0.285714 285714....

In fact, if one sorts the digits in the number 142,857 in ascending order, 124578, it is possible to know from which of the digits the decimal part of the number is going to begin with. The remainder of dividing any number by 7 will give the position in the sequence 124578 that the decimal part of the resulting number will start. For example, 628 ÷ 7 = 89+5/7; here 5 is the remainder, and would correspond to number 7 in the ranking of the ascending sequence. So in this case, 628 ÷ 7 = 89.714285. Another example, 5238 ÷ 7 = 748+2/7, hence the remainder is 2, and this corresponds to number 2 in the sequence. In this case, 5238 ÷ 7 = 748.285714.

In science

• Seven colors in a rainbow
• Seven continents
• Seven climes
• The neutral pH balance
• Number of notes in the diatonic scale of Western music
• Number of spots most commonly found on ladybugs
• Atomic number for nitrogen
• Number of diatomic molecules
• Seven basic crystal systems

In psychology

• Seven, plus or minus two as a model of working memory
• Seven psychological types called the Seven Rays in the teachings of Alice A. Bailey
• In Western culture, seven is consistently listed as people's favorite number^[63][64]
• When guessing numbers 1–10, the number 7 is most likely to be picked^[65]
• Seven-year itch, a term that suggests that happiness in a marriage declines after around seven years

Classical antiquity

The Pythagoreans invested particular numbers with unique spiritual properties. The number seven was considered to be particularly interesting because it consisted of the union of the physical (number 4) with the spiritual (number 3).^[66] In Pythagorean numerology the number 7 means spirituality.

References from classical antiquity to the number seven include:

"Number Seven"
by William Sidney Gibson
Read by Ruth Golding for LibriVox

Audio 00:15:59 (full text)

---

Problems playing this file? See media help.

• Seven Classical planets and the derivative Seven Heavens
• Seven Wonders of the Ancient World
• Seven metals of antiquity
• Seven days in the week
• Seven Seas
• Seven Sages
• Seven champions that fought Thebes
• Seven hills of Rome and Seven Kings of Rome
• Seven Sisters, the daughters of Atlas also known as the Pleiades

Religion and mythology

Judaism

The number seven forms a widespread typological pattern within Hebrew scripture, including:

• Seven days (more precisely yom) of Creation, leading to the seventh day or Sabbath (Genesis 1)
• Seven-fold vengeance visited on upon Cain for the killing of Abel (Genesis 4:15)
• Seven pairs of every clean animal loaded onto the ark by Noah (Genesis 7:2)
• Seven years of plenty and seven years of famine in Pharaoh's dream (Genesis 41)
• Seventh son of Jacob, Gad, whose name means good luck (Genesis 46:16)
• Seven times bullock's blood is sprinkled before God (Leviticus 4:6)
• Seven nations God told the Israelites they would displace when they entered the land of Israel (Deuteronomy 7:1)
• Seven days (de jure, but de facto eight days) of the Passover feast (Exodus 13:3–10)
• Seven-branched candelabrum or Menorah (Exodus 25)
• Seven trumpets played by seven priests for seven days to bring down the walls of Jericho (Joshua 6:8)
• Seven things that are detestable to God (Proverbs 6:16–19)
• Seven Pillars of the House of Wisdom (Proverbs 9:1)
• Seven archangels in the deuterocanonical Book of Tobit (12:15)

References to the number seven in Jewish knowledge and practice include:

• Seven divisions of the weekly readings or aliyah of the Torah
• Seven aliyot on Shabbat
• Seven blessings recited under the chuppah during a Jewish wedding ceremony
• Seven days of festive meals for a Jewish bride and groom after their wedding, known as Sheva Berachot or Seven Blessings
• Seven Ushpizzin prayers to the Jewish patriarchs during the holiday of Sukkot

Christianity

Following the tradition of the Hebrew Bible, the New Testament likewise uses the number seven as part of a typological pattern:

Seven lampstands in The Vision of John on Patmos by Julius Schnorr von Carolsfeld, 1860

• Seven loaves multiplied into seven basketfuls of surplus (Matthew 15:32–37)
• Seven demons were driven out of Mary Magdalene (Luke 8:2)
• Seven last sayings of Jesus on the cross
• Seven men of honest report, full of the Holy Ghost and wisdom (Acts 6:3)
• Seven Spirits of God, Seven Churches and Seven Seals in the Book of Revelation

References to the number seven in Christian knowledge and practice include:

• Seven Gifts of the Holy Spirit
• Seven Corporal Acts of Mercy and Seven Spiritual Acts of Mercy
• Seven deadly sins: lust, gluttony, greed, sloth, wrath, envy, and pride, and seven terraces of Mount Purgatory
• Seven Virtues: chastity, temperance, charity, diligence, kindness, patience, and humility
• Seven Joys and Seven Sorrows of the Virgin Mary
• Seven Sleepers of Christian myth
• Seven Sacraments in the Catholic Church (though some traditions assign a different number)

Islam

References to the number seven in Islamic knowledge and practice include:

• Seven ayat in Surah al-Fatiha, the first chapter of the holy Qur'an
• Seven circumambulations of Muslim pilgrims around the Kaaba in Mecca during the Hajj and the Umrah
• Seven walks between Al-Safa and Al-Marwah performed Muslim pilgrims during the Hajj and the Umrah
• Seven doors to hell (for heaven the number of doors is eight)
• Seven heavens (plural of sky) mentioned in Qur'an 65:12
• Night Journey to the Seventh Heaven, (reported ascension to heaven to meet God) Isra' and Mi'raj in Surah Al-Isra'.
• Seventh day naming ceremony held for babies
• Seven enunciators of divine revelation (nāṭiqs) according to the celebrated Fatimid Ismaili dignitary Nasir Khusraw^[67]
• Circle Seven Koran, the holy scripture of the Moorish Science Temple of America
• Seven earth as mentioned in the Quran^{[clarification needed]}
• Seven children of Muhammad
• Seven years of abundance and seven of drought in Egypt during the time of Yusuf (Joseph) as mentioned in the Quran.^[68]

Hinduism

References to the number seven in Hindu knowledge and practice include:

• Seven worlds in the universe and seven seas in the world in Hindu cosmology
• Seven sages or Saptarishi and their seven wives or Sapta Matrka in Hinduism
• Seven Chakras in eastern philosophy
• Seven stars in a constellation called "Saptharishi Mandalam" in Indian astronomy
• Seven promises, or Saptapadi, and seven circumambulations around a fire at Hindu weddings
• Seven virgin goddesses or Saptha Kannimar worshipped in temples in Tamil Nadu, India^[69][70]
• Seven hills at Tirumala known as Yedu Kondalavadu in Telugu, or ezhu malaiyan in Tamil, meaning "Sevenhills God"
• Seven steps taken by the Buddha at birth
• Seven divine ancestresses of humankind in Khasi mythology
• Seven octets or Saptak Swaras in Indian Music as the basis for Ragas compositions
• Seven Social Sins listed by Mahatma Gandhi

Eastern tradition

Other references to the number seven in Eastern traditions include:

The Seven Lucky Gods in Japanese mythology

• Seven Lucky Gods or gods of good fortune in Japanese mythology
• Seven-Branched Sword in Japanese mythology
• Seven Sages of the Bamboo Grove in China
• Seven minor symbols of yang in Taoist yin-yang

Other references

Other references to the number seven in traditions from around the world include:

• The number seven had mystical and religious significance in Mesopotamian culture by the 22nd century BCE at the latest. This was likely because in the Sumerian sexagesimal number system, dividing by seven was the first division which resulted in infinitely repeating fractions.^[71]
• Seven palms in an Egyptian Sacred Cubit
• Seven ranks in Mithraism
• Seven hills of Istanbul
• Seven islands of Atlantis
• Seven Cherokee clans
• Seven lives of cats in Iran and German and Romance language-speaking cultures^[72]
• Seven fingers on each hand, seven toes on each foot and seven pupils in each eye of the Irish epic hero Cúchulainn
• Seventh sons will be werewolves in Galician folklore, or the son of a woman and a werewolf in other European folklores
• Seventh sons of a seventh son will be magicians with special powers of healing and clairvoyance in some cultures, or vampires in others
• Seven prominent legendary monsters in Guaraní mythology
• Seven gateways traversed by Inanna during her descent into the underworld
• Seven Wise Masters, a cycle of medieval stories
• Seven sister goddesses or fates in Baltic mythology called the Deivės Valdytojos.^[73]
• Seven legendary Cities of Gold, such as Cibola, that the Spanish thought existed in South America
• Seven years spent by Thomas the Rhymer in the faerie kingdom in the eponymous British folk tale
• Seven-year cycle in which the Queen of the Fairies pays a tithe to Hell (or possibly Hel) in the tale of Tam Lin
• Seven Valleys, a text by the Prophet-Founder Bahá'u'lláh in the Bahá'í faith
• Seven superuniverses in the cosmology of Urantia^[74]
• Seven, the sacred number of Yemaya^[75]
• Seven holes representing eyes (سبع عيون) in an Assyrian evil eye bead – though occasionally two, and sometimes nine ^[76]

See also

• Mathematics portal

• Diatonic scale (7 notes)
• Seven colors in the rainbow
• Seven continents
• Seven liberal arts
• Seven Wonders of the Ancient World
• Seven days of the Week
• Septenary (numeral system)
• Year Seven (School)
• Se7en (disambiguation)
• Sevens (disambiguation)
• One-seventh area triangle
• Z with stroke (Ƶ)
• List of highways numbered 7

Notes

1. Carl B. Boyer, A History of Mathematics (1968) p.52, 2nd edn.
2. Georges Ifrah, The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer transl. David Bellos et al. London: The Harvill Press (1998): 395, Fig. 24.67
3. Eeva Törmänen (September 8, 2011). "Aamulehti: Opetushallitus harkitsee numero 7 viivan palauttamista". Tekniikka & Talous (in Finnish). Archived from the original on September 17, 2011. Retrieved September 9, 2011.
4. "Education writing numerals in grade 1." Archived 2008-10-02 at the Wayback Machine(Russian)
5. "Example of teaching materials for pre-schoolers"(French)
6. Elli Harju (August 6, 2015). ""Nenosen seiska" teki paluun: Tiesitkö, mistä poikkiviiva on peräisin?". Iltalehti (in Finnish).
7. "Μαθηματικά Α' Δημοτικού" [Mathematics for the First Grade] (PDF) (in Greek). Ministry of Education, Research, and Religions. p. 33. Retrieved May 7, 2018.
8. Weisstein, Eric W. "Double Mersenne Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-06.
9. "Sloane's A088165 : NSW primes". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
10. "Sloane's A050918 : Woodall primes". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
11. "Sloane's A088054 : Factorial primes". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
12. "Sloane's A031157 : Numbers that are both lucky and prime". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
13. "Sloane's A035497 : Happy primes". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
14. "Sloane's A003173 : Heegner numbers". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
15. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000005 (d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-04-05.
16. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000217 (Triangular numbers: a(n) as the binomial(n+1,2) equal to n*(n+1)/2 or 0 + 1 + 2 + ... + n.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-04-02.
17. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000396 (Perfect numbers k: k is equal to the sum of the proper divisors of k.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-04-02.
18. Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Books. pp. 171–174. ISBN 0-14-008029-5. OCLC 39262447. S2CID 118329153.
19. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A060283 (Periodic part of decimal expansion of reciprocal of n-th prime (leading 0's moved to end).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-04-02.
20. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000041 (a(n) is the number of partitions of n (the partition numbers).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-04-02.
21. Heyden, Anders; Sparr, Gunnar; Nielsen, Mads; Johansen, Peter (2003-08-02). Computer Vision – ECCV 2002: 7th European Conference on Computer Vision, Copenhagen, Denmark, May 28–31, 2002. Proceedings. Part II. Springer. p. 661. ISBN 978-3-540-47967-3. A frieze pattern can be classified into one of the 7 frieze groups...
22. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). "Section 1.4 Symmetry Groups of Tilings". Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman and Company. pp. 40–45. doi:10.2307/2323457. ISBN 0-7167-1193-1. JSTOR 2323457. OCLC 13092426. S2CID 119730123.
23. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A004029 (Number of n-dimensional space groups.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-01-30.
24. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000040 (The prime numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-02-01.
25. Weisstein, Eric W. "Heptagon". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-25.
26. Weisstein, Eric W. "7". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-07.
27. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000566 (Heptagonal numbers (or 7-gonal numbers))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-01-09.
28. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A003215". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2016-06-01.
29. Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). "Tilings by Regular Polygons" (PDF). Mathematics Magazine. 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 231. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
30. Jardine, Kevin. "Shield - a 3.7.42 tiling". Imperfect Congruence. Retrieved 2023-01-09. 3.7.42 as a unit facet in an irregular tiling.
31. Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). "Tilings by Regular Polygons" (PDF). Mathematics Magazine. 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 229–230. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
32. Dallas, Elmslie William (1855). "Part II. (VII): Of the Circle, with its Inscribed and Circumscribed Figures − Equal Division and the Construction of Polygons". The Elements of Plane Practical Geometry. London: John W. Parker & Son, West Strand. p. 134.

    "...It will thus be found that, including the employment of the same figures, there are seventeen different combinations of regular polygons by which this may be effected; namely, —

    When three polygons are employed, there are ten ways; viz., 6,6,6 – 3.7.42 — 3,8,24 – 3,9,18 — 3,10,15 — 3,12,12 — 4,5,20 — 4,6,12 — 4,8,8 — 5,5,10.

    With four polygons there are four ways, viz., 4,4,4,4 — 3,3,4,12 — 3,3,6,6 — 3,4,4,6.

    With five polygons there are two ways, viz., 3,3,3,4,4 — 3,3,3,3,6.

    With six polygons one way — all equilateral triangles [ 3.3.3.3.3.3 ]."
    

    Note: the only four other configurations from the same combinations of polygons are: 3.4.3.12, (3.6)², 3.4.6.4, and 3.3.4.3.4.
33. Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael (1998). "The Number of Intersection Points Made by the Diagonals of a Regular Polygon" (PDF). SIAM Journal on Discrete Mathematics. 11 (1). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics: 135–156. arXiv:math/9508209. doi:10.1137/S0895480195281246. MR 1612877. S2CID 8673508. Zbl 0913.51005.
34. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A307681 (difference between the number of sides and the number of diagonals of a convex n-gon)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
35. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A000096 (a(n) = n*(n+3)/2 = the number of diagonals of an n-gon)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
36. Coxeter, H. S. M. (1999). "Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes". The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Mineola, NY: Dover Publications. pp. 326–339. ISBN 9780486409191. OCLC 41565220. S2CID 227201939. Zbl 0941.51001.
37. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). "Section 2.1: Regular and uniform tilings". Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman and Company. pp. 62–64. doi:10.2307/2323457. ISBN 0-7167-1193-1. JSTOR 2323457. OCLC 13092426. S2CID 119730123.
38. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). "Section 2.9 Archimedean and uniform colorings". Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman and Company. pp. 102–107. doi:10.2307/2323457. ISBN 0-7167-1193-1. JSTOR 2323457. OCLC 13092426. S2CID 119730123.
39. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A068600 (Number of n-uniform tilings having n different arrangements of polygons about their vertices.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-01-09.
40. Grünbaum, Branko; Shepard, Geoffrey (November 1977). "Tilings by Regular Polygons" (PDF). Mathematics Magazine. 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 236. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
41. Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). "Section 1.1: Hexagrammum Mysticum". Configurations from a Graphical Viewpoint. Birkhäuser Advanced Texts (1 ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pp. 5–6. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4. OCLC 811773514. Zbl 1277.05001.
42. Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). "Chapter 5.3: Classical Configurations". Configurations from a Graphical Viewpoint. Birkhäuser Advanced Texts (1 ed.). Boston, MA: Birkhäuser. pp. 170–173. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4. OCLC 811773514. Zbl 1277.05001.
43. Szilassi, Lajos (1986). "Regular toroids" (PDF). Structural Topology. 13: 74. Zbl 0605.52002.
44. Császár, Ákos (1949). "A polyhedron without diagonals" (PDF). Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged). 13: 140–142. Archived from the original (PDF) on 2017-09-18.
45. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A004031 (Number of n-dimensional crystal systems.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-01-30.
46. Wang, Gwo-Ching; Lu, Toh-Ming (2014). "Crystal Lattices and Reciprocal Lattices". RHEED Transmission Mode and Pole Figures (1 ed.). New York: Springer Publishing. pp. 8–9. doi:10.1007/978-1-4614-9287-0_2. ISBN 978-1-4614-9286-3. S2CID 124399480.
47. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A256413 (Number of n-dimensional Bravais lattices)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-01-30.
48. Messer, Peter W. (2002). "Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals" (PDF). Discrete & Computational Geometry. 27 (3). Springer: 353–355, 372–373. doi:10.1007/s00454-001-0078-2. MR 1921559. S2CID 206996937. Zbl 1003.52006.
49. Massey, William S. (December 1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces" (PDF). The American Mathematical Monthly. 90 (10). Taylor & Francis, Ltd: 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537. S2CID 43318100. Zbl 0532.55011. Archived from the original (PDF) on 2021-02-26. Retrieved 2023-02-23.
50. Baez, John C. (2002). "The Octonions". Bulletin of the American Mathematical Society. 39 (2). American Mathematical Society: 152–153. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. S2CID 586512.
51. Behrens, M.; Hill, M.; Hopkins, M. J.; Mahowald, M. (2020). "Detecting exotic spheres in low dimensions using coker J". Journal of the London Mathematical Society. 101 (3). London Mathematical Society: 1173. arXiv:1708.06854. doi:10.1112/jlms.12301. MR 4111938. S2CID 119170255. Zbl 1460.55017.
52. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001676 (Number of h-cobordism classes of smooth homotopy n-spheres.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2023-02-23.
53. Tumarkin, Pavel; Felikson, Anna (2008). "On d-dimensional compact hyperbolic Coxeter polytopes with d + 4 facets" (PDF). Transactions of the Moscow Mathematical Society. 69. Providence, R.I.: American Mathematical Society (Translation): 105–151. doi:10.1090/S0077-1554-08-00172-6. MR 2549446. S2CID 37141102. Zbl 1208.52012.
54. Tumarkin, Pavel (2007). "Compact hyperbolic Coxeter n-polytopes with n + 3 facets". The Electronic Journal of Combinatorics. 14 (1): 1–36 (R69). doi:10.37236/987. MR 2350459. S2CID 221033082. Zbl 1168.51311.
55. Tumarkin, P. V. (2004). "Hyperbolic Coxeter N-Polytopes with n+2 Facets". Mathematical Notes. 75 (6): 848–854. arXiv:math/0301133. doi:10.1023/b:matn.0000030993.74338.dd. MR 2086616. S2CID 15156852. Zbl 1062.52012.
56. Antoni, F. de; Lauro, N.; Rizzi, A. (2012-12-06). COMPSTAT: Proceedings in Computational Statistics, 7th Symposium held in Rome 1986. Springer Science & Business Media. p. 13. ISBN 978-3-642-46890-2. ...every catastrophe can be composed from the set of so called elementary catastrophes, which are of seven fundamental types.
57. Cohen, Henri (2007). "Consequences of the Hasse–Minkowski Theorem". Number Theory Volume I: Tools and Diophantine Equations. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 239 (1st ed.). Springer. pp. 312–314. doi:10.1007/978-0-387-49923-9. ISBN 978-0-387-49922-2. OCLC 493636622. Zbl 1119.11001.
58. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A116582 (Numbers from Bhargava's 33 theorem.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2024-02-03.
59. Weisstein, Eric W. "Dice". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-25.
60. "Millennium Problems | Clay Mathematics Institute". www.claymath.org. Retrieved 2020-08-25.
61. "Poincaré Conjecture | Clay Mathematics Institute". 2013-12-15. Archived from the original on 2013-12-15. Retrieved 2020-08-25.
62. Bryan Bunch, The Kingdom of Infinite Number. New York: W. H. Freeman & Company (2000): 82
63. Gonzalez, Robbie (4 December 2014). "Why Do People Love The Number Seven?". Gizmodo. Retrieved 20 February 2022.
64. Bellos, Alex. "The World's Most Popular Numbers [Excerpt]". Scientific American. Retrieved 20 February 2022.
65. Kubovy, Michael; Psotka, Joseph (May 1976). "The predominance of seven and the apparent spontaneity of numerical choices". Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance. 2 (2): 291–294. doi:10.1037/0096-1523.2.2.291. Retrieved 20 February 2022.
66. "Number symbolism – 7".
67. "Nāṣir-i Khusraw", An Anthology of Philosophy in Persia, I.B.Tauris, pp. 305–361, 2001, doi:10.5040/9780755610068.ch-008, ISBN 978-1-84511-542-5, retrieved 2020-11-17
68. Surah Yusuf 12:46
69. Rajarajan, R.K.K. (2020). "Peerless Manifestations of Devī". Carcow Indological Studies (Cracow, Poland). XXII.1: 221–243. doi:10.12797/CIS.22.2020.01.09. S2CID 226326183.
70. Rajarajan, R.K.K. (2020). "Sempiternal "Pattiṉi": Archaic Goddess of the vēṅkai-tree to Avant-garde Acaṉāmpikai". Studia Orientalia Electronica (Helsinki, Finland). 8 (1): 120–144. doi:10.23993/store.84803. S2CID 226373749.
71. The Origin of the Mystical Number Seven in Mesopotamian Culture: Division by Seven in the Sexagesimal Number System
72. "Encyclopædia Britannica "Number Symbolism"". Britannica.com. Retrieved 2012-09-07.
73. Klimka, Libertas (2012-03-01). "Senosios baltų mitologijos ir religijos likimas". Lituanistica. 58 (1). doi:10.6001/lituanistica.v58i1.2293. ISSN 0235-716X.
74. "Chapter I. The Creative Thesis of Perfection by William S. Sadler, Jr. – Urantia Book – Urantia Foundation". urantia.org. 17 August 2011.
75. Yemaya. Santeria Church of the Orishas. Retrieved 25 November 2022
76. Ergil, Leyla Yvonne (2021-06-10). "Turkey's talisman superstitions: Evil eyes, pomegranates and more". Daily Sabah. Retrieved 2023-04-05.

References

• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers London: Penguin Group (1987): 70–71