В математике последовательность из n действительных чисел можно понимать как местоположение в n - мерном пространстве. Когда n = 7, множество всех таких местоположений называется 7-мерным пространством . Часто такое пространство изучается как векторное пространство , без какого-либо понятия расстояния. Семимерное евклидово пространство — это семимерное пространство, снабженное евклидовой метрикой , которая определяется скалярным произведением . [ оспаривается – обсудить ]
В более общем смысле этот термин может относиться к семимерному векторному пространству над любым полем , например, к семимерному комплексному векторному пространству, имеющему 14 действительных измерений. Он также может относиться к семимерному многообразию , такому как 7-сфера , или к множеству других геометрических конструкций.
Семимерные пространства обладают рядом особых свойств, многие из которых связаны с октонионами . Особенно отличительным свойством является то, что векторное произведение может быть определено только в трех или семи измерениях. Это связано с теоремой Гурвица , которая запрещает существование алгебраических структур, таких как кватернионы и октонионы, в измерениях, отличных от 2, 4 и 8. Первые когда-либо обнаруженные экзотические сферы были семимерными.
Многогранник в семи измерениях называется 7-политопом. Наиболее изученными являются правильные многогранники , из которых существует только три в семи измерениях : 7-симплекс , 7-куб и 7-ортоплекс . Более широкое семейство — это однородные 7-политопы , построенные из фундаментальных областей симметрии отражения, каждая область определяется группой Коксетера . Каждый однородный многогранник определяется кольцевой диаграммой Коксетера-Дынкина . 7-демикуб — уникальный многогранник из семейства D 7 , а также многогранники 3 21 , 2 31 и 1 32 из семейства E 7 .
6 -сфера или гиперсфера в семимерном евклидовом пространстве — это шестимерная поверхность, равноудаленная от точки, например, начала координат. Она имеет символ S 6 , с формальным определением для 6-сферы с радиусом r
Объем пространства, ограниченного этой 6-сферой, равен
что составляет 4,72477 × r 7 , или 0,0369 7-куба , содержащего 6-сферу
Перекрестное произведение, то есть векторнозначное, билинейное , антикоммутативное и ортогональное произведение двух векторов, определено в семи измерениях. Наряду с более обычным перекрестным произведением в трех измерениях это единственное такое произведение, за исключением тривиальных произведений.
В 1956 году Джон Милнор построил экзотическую сферу в 7 измерениях и показал, что на 7-мерной сфере существует по крайней мере 7 дифференцируемых структур. В 1963 году он показал, что точное число таких структур равно 28.
