Специальный прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с функцией, облегчающей вычисления в треугольнике

Положение некоторых специальных треугольников на диаграмме Эйлера типов треугольников, используя определение, что равнобедренные треугольники имеют по крайней мере две равные стороны, т.е. равносторонние треугольники являются равнобедренными.

Специальный прямоугольный треугольник — это прямоугольный треугольник с некоторой регулярной особенностью, которая упрощает вычисления треугольника , или для которого существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы , которые образуют простые соотношения, такие как 45°–45°–90°. Это называется «основанным на углах» прямоугольным треугольником. «Основанный на сторонах» прямоугольный треугольник — это тот, в котором длины сторон образуют соотношения целых чисел , такие как 3 : 4 : 5, или других специальных чисел, таких как золотое сечение . Знание соотношений углов или соотношений сторон этих специальных прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более сложным методам.

Основанный на угле

Специальные треугольники, вписанные в единичную окружность, удобны для визуализации и запоминания тригонометрических функций, кратных 30 и 45 градусам.

Основанные на углах специальные прямоугольные треугольники определяются соотношениями углов, из которых составлен треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, который равен 90 градусам или ⁠π/2⁠ радиан , равен сумме двух других углов.

Длины сторон обычно выводятся из базиса единичной окружности или других геометрических методов. Этот подход может быть использован для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°.

Специальные треугольники используются для вычисления общих тригонометрических функций, как показано ниже:

Треугольник 45°–45°–90°, треугольник 30°–60°–90° и равносторонний /равноугольный (60°–60°–60°) треугольник являются тремя треугольниками Мёбиуса на плоскости, что означает, что они заполняют плоскость посредством отражений относительно своих сторон; см. Группа треугольников .

Треугольник 45° - 45° - 90°

Установите квадрат в форме треугольника 45° - 45° - 90°

Длины сторон треугольника 45° - 45° - 90°

Прямоугольный треугольник с углами 45° - 45° - 90° и длиной гипотенузы 1.

В планиметрии деление квадрата по диагонали приводит к получению двух равнобедренных прямоугольных треугольников , каждый из которых имеет один прямой угол (90°, ⁠π/2⁠ радиан) и два других равных угла, каждый из которых составляет половину прямого угла (45°, или ⁠π/4⁠ радиан). Стороны в этом треугольнике находятся в соотношении 1 : 1 :  √ 2 , что немедленно следует из теоремы Пифагора .

Из всех прямоугольных треугольников треугольники с углами 45° - 45° - 90° имеют наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, а именно ⁠√ 2/2⁠ . ^{[1] : стр. 282, стр. 358} и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно ⁠√ 2/4⁠ . ^{[1] : стр.282}

Треугольники с такими углами являются единственными возможными прямоугольными треугольниками, которые также являются равнобедренными треугольниками в евклидовой геометрии . Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии существует бесконечно много различных форм прямоугольных равнобедренных треугольников.

Треугольник 30° - 60° - 90°

Установите квадрат в форме треугольника 30° - 60° - 90°°

Длины сторон треугольника с углами 30°–60°–90°

Прямоугольный треугольник с углами 30° - 60° - 90° и длиной гипотенузы 1.

Это треугольник, три угла которого находятся в соотношении 1 : 2 : 3 и соответственно имеют величину 30° ( ⁠π/6⁠ ), 60° ( ⁠π/3⁠ ) ​​и 90° ( ⁠π/2⁠ ). Стороны находятся в соотношении 1 :  √ 3  : 2.

Доказательство этого факта очевидно с использованием тригонометрии . Геометрическое доказательство таково:

Начертите равносторонний треугольник ABC со стороной длиной 2 и точкой D как серединой отрезка BC . Начертите линию высоты из A в D. Тогда ABD — это треугольник с углами 30°–60°–90°, гипотенузой длиной 2 и основанием BD длиной 1.

Тот факт, что оставшийся катет AD имеет длину √ 3, следует непосредственно из теоремы Пифагора .

Треугольник 30°–60°–90° — единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии . Доказательство этого факта простое и следует из того, что если α , α + δ , α + 2 δ — углы в прогрессии, то сумма углов 3 α + 3 δ = 180°. После деления на 3 угол α + δ должен быть равен 60°. Прямой угол равен 90°, оставшийся угол равен 30°.

Побочный

Прямоугольные треугольники, стороны которых имеют целые длины, со сторонами, которые в совокупности известны как пифагоровые тройки , обладают углами, которые не могут быть все рациональными числами градусов . ^[2] (Это следует из теоремы Нивена .) Они наиболее полезны тем, что их можно легко запомнить, и любое кратное сторон дает то же самое отношение. Используя формулу Евклида для создания пифагоровых троек, стороны должны быть в соотношении

m ² − n ²  : 2 mn  : m ² + n ²

где m и n — любые положительные целые числа, такие, что m > n .

Обычные пифагоровы тройки

Существует несколько хорошо известных пифагорейских троек, в том числе те, стороны которых имеют следующие соотношения:

Треугольники 3 : 4 : 5 являются единственными прямоугольными треугольниками с ребрами в арифметической прогрессии . Треугольники, основанные на пифагоровых тройках, являются героновыми , то есть они имеют целую площадь и целые стороны.

Возможное использование треугольника 3:4:5 в Древнем Египте , с предполагаемым использованием завязанной веревки для разметки такого треугольника, и вопрос о том, была ли известна теорема Пифагора в то время, были предметом многочисленных споров. ^[3] Впервые это предположение высказал историк Мориц Кантор в 1882 году. ^[3] Известно, что прямые углы были точно размечены в Древнем Египте; что их геодезисты использовали веревки для измерения; ^[3] что Плутарх записал в «Исиде и Осирисе» (около 100 г. н. э.), что египтяне восхищались треугольником 3:4:5; ^[3] и что в Берлинском папирусе 6619 из Среднего царства Египта (до 1700 г. до н. э.) говорилось, что «площадь квадрата в 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного из них равна ⁠1/2⁠ + ⁠1/4⁠ сторона другой». ^[4] Историк математики Роджер Л. Кук замечает, что «трудно представить себе кого-либо, интересующегося такими условиями, не зная теоремы Пифагора». ^[3] Напротив, Кук отмечает, что ни один египетский текст до 300 г. до н. э. на самом деле не упоминает использование теоремы для нахождения длины сторон треугольника, и что существуют более простые способы построения прямого угла. Кук приходит к выводу, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но что «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов». ^[3]

Ниже приведены все пифагорейские тройные отношения, выраженные в низшей форме (за исключением пяти наименьших в низшей форме в списке выше), у которых обе стороны, не являющиеся гипотенузами, меньше 256:

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми значениями, потому что отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √ 2 , а √ 2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел . Однако существует бесконечно много почти равнобедренных прямоугольных треугольников. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, для которых длины ребер, не являющихся гипотенузой, отличаются на единицу. ^{[5] [6]} Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно,

а ₀ = 1, б ₀ = 2

а _н = 2 б _{н −1} + а _{н −1}

бн = 2ан + бн _{−1​​​}

n _— длина гипотенузы, n = 1, 2, 3, .... Эквивалентно,

${\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}$

где { x , y } являются решениями уравнения Пелля x ² − 2 y ² = −1 , причем гипотенуза y является нечетными членами чисел Пелля 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378... (последовательность A000129 в OEIS ). Наименьшие полученные пифагоровы тройки следующие: ^[7]

В качестве альтернативы, те же самые треугольники могут быть получены из квадратных треугольных чисел . ^[8]

Арифметические и геометрические прогрессии

Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, образованный тремя квадратами, площади которых находятся в геометрической прогрессии согласно золотому сечению .

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, стороны которого находятся в геометрической прогрессии . Если стороны образованы из геометрической прогрессии a , ar , ar2 ^, то его общее отношение r определяется как r = √ φ, где φ — золотое сечение . Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1 : √ φ  : φ . Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно определяется (с точностью до масштабного коэффициента) требованием, чтобы его стороны находились в геометрической прогрессии.

Треугольник 3–4–5 — это уникальный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии . ^[9]

Стороны правильных многоугольников

Стороны пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника, вписанные в равные окружности, образуют прямоугольный треугольник.

Пусть будет длиной стороны правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, где — золотое сечение. Пусть будет длиной стороны правильного шестиугольника в единичной окружности, а пусть — длиной стороны правильного пятиугольника в единичной окружности. Тогда , так что эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. ^[10] Тот же треугольник образует половину золотого прямоугольника . Его также можно найти внутри правильного икосаэдра с длиной стороны : кратчайший отрезок прямой от любой вершины до плоскости его пяти соседей имеет длину , а концы этого отрезка прямой вместе с любыми из соседей образуют вершины прямоугольного треугольника со сторонами , и . ^[11] $${\displaystyle a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$$ $${\displaystyle c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176}$$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Смотрите также

• Прямоугольник Эйлля , объединяющий несколько специальных прямоугольных треугольников
• Целочисленный треугольник
• Спираль Феодора

Ссылки

1. Posamentier, Alfred S., и Lehman, Ingmar. Секреты треугольников . Prometheus Books, 2012.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник». Математический мир .
3. Кук, Роджер Л. (2011). История математики: краткий курс (2-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
4. Гиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов . Довер. стр. 161.
5. Forget, TW; Larkin, TA (1968), «Пифагорейские триады формы x, x + 1, z, описанные рекуррентными последовательностями» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104.
6. Чен, CC; Пэн, TA (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF) , The Australasian Journal of Combinatorics , 11 : 263–267, MR  1327342.
7. (последовательность A001652 в OEIS )
8. Nyblom, MA (1998), «Заметка о множестве почти равнобедренных прямоугольных треугольников» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR  1640364.
9. Борегард, Рэймонд А.; Сурьянараян, Э. Р. (1997), «Арифметические треугольники», Mathematics Magazine , 70 (2): 105–115, doi :10.2307/2691431, JSTOR  2691431, MR  1448883.
10. «Начала» Евклида, книга XIII, предложение 10.
11. nLab: тождество пятиугольника, десятиугольника и шестиугольника.

Внешние ссылки

• 3 : 4 : 5 треугольник
• треугольник 30–60–90
• Треугольник 45–45–90 — с интерактивной анимацией