Теорема Шварца–Альфорса–Пика

Расширение леммы Шварца для гиперболической геометрии

В математике теорема Шварца –Альфорса–Пика является расширением леммы Шварца для гиперболической геометрии , такой как модель полуплоскости Пуанкаре .

Лемма Шварца –Пика утверждает, что любая голоморфная функция из единичного круга U в себя или из верхней полуплоскости H в себя не увеличит расстояние Пуанкаре между точками. Единичный круг U с метрикой Пуанкаре имеет отрицательную гауссову кривизну −1. В 1938 году Ларс Альфорс обобщил лемму на отображения из единичного круга в другие отрицательно искривленные поверхности:

Теорема ( Шварца – Альфорса – Пика ). Пусть U – единичный круг с метрикой Пуанкаре ; пусть S – риманова поверхность, снабженная эрмитовой метрикой, гауссова кривизна которой ≤ −1; пусть – голоморфная функция . Тогда ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f:U\rightarrow S}$

${\displaystyle \sigma (f(z_{1}),f(z_{2}))\leq \rho (z_{1},z_{2})}$

для всех ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U.}$

Обобщение этой теоремы было доказано Шинг-Тунг Яу в 1973 году. ^[1]

Ссылки

1. Оссерман, Роберт (сентябрь 1999 г.). «От Шварца к Пику, к Альфорсу и далее» (PDF) . Уведомления AMS . 46 (8): 868–873.