Первообразная (комплексный анализ)

Концепция комплексного анализа

В комплексном анализе , разделе математики , первообразной или примитивом комплексной функции g является функция, комплексная производная которой равна g . Точнее, учитывая открытое множество в комплексной плоскости и функцию, первообразная которой является функцией , которая удовлетворяет . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=g}$

По сути, эта концепция представляет собой версию первообразной вещественной функции для комплексных переменных .

Уникальность

Производная постоянной функции – это нулевая функция. Следовательно, любая постоянная функция является первообразной нулевой функции. Если — связное множество , то постоянные функции являются единственными первообразными нулевой функции. В противном случае функция является первообразной нулевой функции тогда и только тогда, когда она постоянна на каждом связном компоненте ( эти константы не обязательно должны быть равны). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Из этого наблюдения следует, что если функция имеет первообразную, то эта первообразная уникальна с точностью до добавления функции, постоянной на каждом компоненте связности . ${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$

Существование

Согласно интегральной формуле Коши , которая показывает, что дифференцируемая функция на самом деле бесконечно дифференцируема, функция сама должна быть дифференцируемой, если она имеет первообразную , потому что if then дифференцируема и поэтому существует. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'=f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F''=f'}$

Существование первообразных можно охарактеризовать через интегралы по путям в комплексной плоскости, как и в случае с функциями действительной переменной. Возможно, неудивительно, что g имеет первообразную f тогда и только тогда, когда для каждого пути γ от a до b интеграл по пути

${\displaystyle \int _{\gamma }g(\zeta )\,d\zeta =f(b)-f(a).}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(\zeta )\,d\zeta =0,}$

для любого замкнутого пути γ.

Однако, несмотря на это формальное сходство, наличие комплексной первообразной является гораздо более ограничительным условием, чем ее реальный аналог. Хотя разрывная вещественная функция может иметь первообразную, первообразные могут не существовать даже для голоморфных функций комплексной переменной. Например, рассмотрим обратную функцию g ( z ) = 1/ z , которая голоморфна на проколотой плоскости C \ {0}. Непосредственный расчет показывает, что интеграл от g по любой окружности, охватывающей начало координат, отличен от нуля. Таким образом, g не удовлетворяет приведенному выше условию. Это похоже на существование потенциальных функций для консервативных векторных полей , поскольку теорема Грина может гарантировать независимость от пути только тогда, когда рассматриваемая функция определена в односвязной области, как в случае интегральной теоремы Коши .

Фактически, голоморфность характеризуется локальным наличием первообразной , то есть g является голоморфным, если для каждого z в его области определения существует некоторая окрестность U точки z такая, что g имеет первообразную на U . Более того, голоморфность является необходимым условием того, чтобы функция имела первообразную, поскольку производная любой голоморфной функции голоморфна.

Различные версии интегральной теоремы Коши , основного результата теории функций Коши, в которой широко используются интегралы по путям, дают достаточные условия, при которых для голоморфного g

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(\zeta )\,d\zeta }$

обращается в нуль для любого замкнутого пути γ (например, область определения g может быть односвязной или звездообразной).

Необходимость

Сначала мы покажем, что если f является первообразной g на U , то g обладает свойством интеграла по путям, указанным выше. Учитывая любой кусочный путь C1 γ: [ a , b ] → U , можно выразить интеграл пути от g по γ как

${\displaystyle \int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{a}^{b}g(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt=\int _{a}^{b}f'(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$

Тогда согласно цепному правилу и фундаментальной теореме исчисления имеем

${\displaystyle \int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}f\left(\gamma (t)\right)\,dt=f\left(\gamma (b)\right)-f\left(\gamma (a)\right).}$

Следовательно, интеграл от g по γ не зависит от реального пути γ, а только от его концов, что мы и хотели показать.

Достаточность

Далее мы покажем, что если g голоморфна и интеграл от g по любому пути зависит только от концов, то g имеет первообразную. Мы сделаем это, явно найдя первообразную.

Без ограничения общности можно считать, что область U функции g связна, иначе можно доказать существование первообразной на каждой компоненте связности. С учетом этого предположения зафиксируем точку z ₀ в U и для любого z в U определим функцию

${\displaystyle f(z)=\int _{\gamma }\!g(\zeta )\,d\zeta }$

где γ — любой путь, соединяющий z ₀ с z . Такой путь существует, поскольку предполагается, что U — открытое связное множество. Функция f корректно определена, поскольку интеграл зависит только от концов γ.

То, что это f является первообразной от g, можно утверждать так же, как и в реальном случае. Мы имеем, что для данного z в U должен существовать диск с центром в z и полностью содержащийся внутри U. Тогда для каждого w, кроме z, в пределах этого диска

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {f(w)-f(z)}{w-z}}-g(z)\right|&=\left|\int _{z}^{w}{\frac {g(\zeta )\,d\zeta }{w-z}}-\int _{z}^{w}{\frac {g(z)\,d\zeta }{w-z}}\right|\\&\leq \int _{z}^{w}{\frac {|g(\zeta )-g(z)|}{|w-z|}}\,d\zeta \\&\leq \sup _{\zeta \in [w,z]}|g(\zeta )-g(z)|,\end{aligned}}}$

где [ z , w ] обозначает отрезок между z и w . Ввиду непрерывности g окончательное выражение стремится к нулю, когда w приближается к z . Другими словами, f′ = g .

Рекомендации

• Ян Стюарт, Дэвид О. Талл (10 марта 1983 г.). Комплексный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-28763-4.
• Алан Д. Соломон (1 января 1994 г.). Основы комплексных переменных I . Ассоциация исследований и образования. ISBN 0-87891-661-Х.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальные теоремы исчисления». Математический мир .