Архимедовы тела представляют собой набор из тринадцати выпуклых многогранников , грани которых являются правильными многоугольниками, но не все одинаковы, и вершины которых симметричны друг другу. Тела были названы в честь Архимеда , хотя он не претендовал на их создание. Они принадлежат к классу однородных многогранников , многогранников с правильными гранями и симметричными вершинами. Некоторые архимедовы тела были изображены в работах художников и математиков в эпоху Возрождения .
Удлиненный квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр является дополнительным многогранником с правильными гранями и конгруэнтными вершинами, но его обычно не считают архимедовым телом, поскольку он не является вершинно-транзитивным .
Архимедовы тела имеют конфигурацию вершины и высокосимметричные свойства. Конфигурация вершины означает многогранник, две или более многоугольных граней которого встречаются в вершине. Например, означает многогранник , в котором каждая вершина встречается с чередующимися двумя треугольниками и двумя пятиугольниками. Высокосимметричные свойства в этом случае означают, что группа симметрии каждого тела была получена из Платоновых тел , в результате их построения. [1] Некоторые источники говорят, что Архимедовы тела являются синонимами полуправильного многогранника . [2] Тем не менее, определение полуправильного многогранника может также включать бесконечные призмы и антипризмы , включая удлиненный квадратный гиробикупол . [3]
Построение некоторых архимедовых тел начинается с платоновых тел. Усечение включает в себя отрезание углов; для сохранения симметрии разрез находится в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей угол с центром многогранника, и одинаков для всех углов, и примером может служить усеченный икосаэдр, построенный путем отрезания всех вершин икосаэдра , имеющий ту же симметрию, что и икосаэдр, икосаэдрическую симметрию . [7] Если усечение достаточно глубокое, так что каждая пара граней из соседних вершин имеет ровно одну общую точку, это называется ректификацией . Расширение включает в себя перемещение каждой грани от центра (на то же расстояние, чтобы сохранить симметрию платонового тела) и взятие выпуклой оболочки. Примером является ромбокубооктаэдр, построенный путем отделения граней куба или октаэдра от центроида и заполнения их квадратами. [8] Плосконосый - это процесс построения многогранников путем отделения граней многогранника, скручивания их граней под определенными углами и заполнения их равносторонними треугольниками . Примеры можно найти в плосконосом кубе и плосконосом додекаэдре . Полученное построение этих тел дает свойство хиральности , то есть они не идентичны при отражении в зеркале. [9] Однако не все из них могут быть построены таким образом, или они могут быть построены альтернативно. Например, икосододекаэдр может быть построен путем присоединения двух пятиугольных ротонд основанием к основанию, или ромбокубооктаэдр, который может быть построен альтернативно путем присоединения двух квадратных куполов к основаниям восьмиугольной призмы. [5]
Существует по крайней мере десять известных тел, которые обладают свойством Руперта , многогранник, который может проходить через свою копию с тем же или близким размером. Это кубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, ромбокубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный тетраэдр. [10] Каталонские тела являются двойственными многогранниками архимедовых тел. [1]
Названия архимедовых тел были взяты у древнегреческого математика Архимеда , который обсуждал их в ныне утерянной работе. Хотя они не были изначально приписаны Архимеду, Папп Александрийский в пятом разделе своего озаглавленного компендиума Synagoge ссылается на то, что Архимед перечислил тринадцать многогранников и кратко описал их с точки зрения того, сколько граней каждого вида имеют эти многогранники. [11]
В эпоху Возрождения художники и математики ценили чистые формы с высокой симметрией. Некоторые архимедовы тела появились в De quinque corporibus regularibus Пьеро делла Франческа , в попытке изучить и скопировать работы Архимеда, а также включить цитаты из Архимеда. [12] Тем не менее, он не приписывал эти формы Архимеду и не знал о работе Архимеда, а скорее, казалось, что это было независимое повторное открытие. [ 13] Другие появления тел появились в работах Венцеля Ямницера Perspectiva Corporum Regularium , а также в Summa de arithmetica и Divina ratio Луки Пачоли , нарисованных Леонардо да Винчи . [14] Сетка архимедовых тел появилась в Underweysung der Messung Альбрехта Дюрера , скопированной с работы Пачоли. Около 1620 года Иоганн Кеплер в своей работе «Гармонии мира» завершил повторное открытие тринадцати многогранников, а также дал определение призм , антипризм и невыпуклых тел, известных как многогранники Кеплера–Пуансо . [15]
Кеплер, возможно, также нашел другое тело, известное как удлиненный квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр . Кеплер однажды заявил, что существует четырнадцать архимедовых тел, однако его опубликованное перечисление включает только тринадцать однородных многогранников. Первое четкое утверждение о существовании такого тела было сделано Дунканом Соммервиллем в 1905 году. [16] Тело появилось, когда некоторые математики ошибочно построили ромбокубооктаэдр : два квадратных купола, прикрепленных к восьмиугольной призме , причем один из них повернут на сорок пять градусов. [17] Тринадцать тел обладают свойством вершинно-транзитивности , что означает, что любые две их вершины могут быть переведены на другую, но удлиненный квадратный гиробикупол — нет. Грюнбаум (2009) заметил, что это соответствует более слабому определению архимедова тела, в котором «идентичные вершины» означают просто то, что части многогранника около любых двух вершин выглядят одинаково (они имеют одинаковые формы граней, встречающихся вокруг каждой вершины в том же порядке и образующих те же углы). Грюнбаум указал на частую ошибку, при которой авторы определяют архимедовы тела, используя некоторую форму этого локального определения, но опускают четырнадцатый многогранник. Если необходимо перечислить только тринадцать многогранников, определение должно использовать глобальные симметрии многогранника, а не локальные окрестности. Впоследствии вытянутый квадратный гиробикупол был изъят из архимедовых тел и вместо этого включен в тело Джонсона , выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками. [16]
