Пространство Бэра (теория множеств)

Концепция теории множеств

В теории множеств пространство Бэра — это совокупность всех бесконечных последовательностей натуральных чисел с определенной топологией . Это пространство обычно используется в дескриптивной теории множеств , поскольку его элементы часто называют «реальными». Его обозначают NN , или ^ω ω, или символом ^, или иногда ω ^ω (не путать со счётным ординалом, полученным возведением в степень порядкового номера ). ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Пространство Бэра определяется как декартово произведение счетного бесконечного числа копий набора натуральных чисел и имеет топологию продукта (где каждой копии набора натуральных чисел присваивается дискретная топология ). Пространство Бэра часто представляется в виде дерева конечных последовательностей натуральных чисел.

(Это пространство также не следует путать с понятием пространства Бэра , которое представляет собой определенный вид топологического пространства.)

Пространство Бэра можно противопоставить пространству Кантора , множеству бесконечных последовательностей двоичных цифр .

Топология и деревья

Топологию произведения , используемую для определения пространства Бэра, можно описать одним из двух эквивалентных способов: в терминах базиса, состоящего из множеств цилиндров, или в терминах базиса деревьев.

Основа набора цилиндров

Базовыми открытыми множествами топологии произведения являются множества цилиндров . Их можно охарактеризовать как:

Если выбран любой конечный набор координат натуральных чисел I = { i } и для каждого i выбрано конкретное значение натурального числа v _i , то набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, которые имеют значение v _i в позиции i , представляет собой базовый открытый набор. Каждое открытое множество представляет собой счетное объединение их совокупности.

Используя более формальные обозначения, можно определить отдельные цилиндры как

${\displaystyle C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}}$

для фиксированного целочисленного местоположения n и целочисленного значения v . Тогда цилиндры являются генераторами наборов цилиндров: тогда наборы цилиндров состоят из всех пересечений конечного числа цилиндров. То есть, учитывая любой конечный набор координат натуральных чисел и соответствующие значения натуральных чисел для каждого , рассматривается конечное пересечение цилиндров ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]}$

Это пересечение называется набором цилиндров , и набор всех таких наборов цилиндров обеспечивает основу для топологии продукта . Каждое открытое множество является счетным объединением таких цилиндрических множеств.

Основа дерева

Альтернативную основу топологии продукта можно представить в виде деревьев. Базовые открытые множества можно охарактеризовать как:

Если выбрана конечная последовательность натуральных чисел { w _i  : i < n }, то набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, которые имеют значение w _i в позиции i для всех i < n, является базовым открытым множеством. Каждое открытое множество представляет собой счетное объединение их совокупности.

Таким образом, базисное открытое множество в пространстве Бэра — это множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, расширяющих общий конечный начальный отрезок σ . Это приводит к представлению пространства Бэра как множества всех бесконечных путей, проходящих через полное дерево ω ^{< ω} конечных последовательностей натуральных чисел, упорядоченных расширением . Каждый конечный начальный отрезок σ является узлом дерева конечных последовательностей. Каждое открытое множество определяется счетным объединением S узлов этого дерева. Точка в пространстве Бэра находится в открытом множестве тогда и только тогда, когда ее путь проходит через один из узлов ее определяющего объединения. И наоборот, каждому открытому множеству соответствует поддерево S полного дерева ω ^<ω , состоящее не более чем из счетного числа узлов.

Представление пространства Бэра в виде путей через дерево также дает характеристику замкнутых множеств как дополнений поддеревьев, определяющих открытые множества. Каждая точка в пространстве Бэра проходит через последовательность узлов ω ^<ω . Закрытые множества являются дополнениями открытых множеств. Это определяет поддерево T полного дерева ω ^<ω , в котором отсутствуют узлы S , определяющие открытое множество. Поддерево T состоит из всех узлов из ω ^<ω , которых нет в S . Это поддерево T определяет замкнутое подмножество C пространства Бэра такое, что любая точка x находится в C тогда и только тогда, когда x является путем через T . И наоборот, для любого замкнутого подмножества C пространства Бэра существует поддерево T , состоящее из всех ω ^<ω с удаленным не более чем счетным числом узлов.

Поскольку полное дерево ω ^<ω само по себе счетно, это означает, что замкнутые множества соответствуют любому поддереву полного дерева, включая конечные поддеревья. Таким образом, топология состоит из открытозамкнутых множеств . Это означает, что пространство Бэра нульмерно относительно малой индуктивной размерности (как и все пространства, база которых состоит из открыто-замкнутых множеств).

Приведенные выше определения открытых и закрытых множеств дают первые два множества и выделенную жирным шрифтом борелевскую иерархию . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{0}}$

Коробчатая топология

Декартовы произведения также имеют альтернативную топологию — топологию ящика . Эта топология намного тоньше, чем топология произведения, поскольку она не ограничивает конечный набор индикаторов . Обычно пространство Бэра не относится к этой топологии; это относится только к топологии продукта. ${\displaystyle I=\{i\in \omega \}}$

Масса

Приведенное выше определение пространства Бэра обобщается до определения, в котором элементы счетной бесконечной последовательности выбираются из множества мощностей . Такое пространство называется пространством Бэра веса и может быть обозначено как . ^[1] Согласно этому определению, пространства Бэра конечного веса будут соответствовать пространству Кантора . Тогда первое пространство Бэра бесконечного веса равно ; оно гомеоморфно определенному выше. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle D(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle B(\aleph _{0})}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

Метрика

Учитывая две последовательности и , метрика может быть определена как где - наименьшее целое число такое, что При этой метрике основные открытые множества базиса дерева представляют собой шары радиуса . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle \rho (x,y)=1/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}.}$ ${\displaystyle 1/k}$

Метрическое пространство вкладывается в пространство Бэра тогда и только тогда, когда представляет базу открытозамкнутых множеств, мощность которых меньше или равна . ^{[2] [3]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Характеристики

Пространство Бэра обладает следующими свойствами:

1. Это совершенное польское пространство , т. е. полностью метризуемое второе счетное пространство без изолированных точек . По существу, оно имеет ту же мощность , что и действительная линия, и является пространством Бэра в топологическом смысле этого слова.
2. Оно нульмерно и полностью несвязно .
3. Он не является локально компактным .
4. Оно универсально для польских пространств в том смысле, что его можно непрерывно отображать на любое непустое польское пространство. Более того, любое польское пространство имеет плотное подпространство G δ , гомеоморфное подпространству G _δ пространства Бэра.
5. Пространство Бэра гомеоморфно произведению любого конечного или счетного числа своих копий.
6. Это группа автоморфизмов счетной бесконечной насыщенной модели некоторой полной теории . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Отношение к реальной линии

Пространство Бэра гомеоморфно множеству иррациональных чисел, если им задана топология подпространства , унаследованная от вещественной прямой. Гомеоморфизм между пространством Бэра и иррациональными числами можно построить с помощью цепных дробей . То есть, учитывая последовательность натуральных чисел , мы можем присвоить соответствующее иррациональное число, большее 1. ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }}$

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\cdots }}}}}$

Используя мы получаем другой гомеоморфизм из в иррациональные числа в открытом единичном интервале , и мы можем сделать то же самое для отрицательных иррациональных чисел. Мы видим, что иррациональные числа представляют собой топологическую сумму четырех пространств, гомеоморфных пространству Бэра и, следовательно, также гомеоморфных пространству Бэра. ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle (0,1)}$

С точки зрения описательной теории множеств тот факт, что реальная линия связна, вызывает технические трудности. ^{[ почему? ]} По этой причине более распространено изучение пространства Бэра. Поскольку каждое польское пространство является непрерывным образом пространства Бэра, часто можно доказать результаты о произвольных польских пространствах, показав, что эти свойства справедливы для пространства Бэра и сохраняются непрерывными функциями .

ω ^ω также представляет самостоятельный, но второстепенный интерес в реальном анализе , где его рассматривают как однородное пространство . Однако равномерные структуры ω ^ω и Ir (иррациональные числа) различны: ω ^ω полно в своей обычной метрике, а Ir — нет (хотя эти пространства гомеоморфны).

Оператор смены

Оператор сдвига в пространстве Бэра при отображении на единичный интервал действительных чисел становится оператором Гаусса–Кузьмина–Вирсинга . То есть, учитывая последовательность , оператор сдвига T возвращает . Аналогично, учитывая непрерывную дробь , возвращается карта Гаусса . Соответствующим оператором для функций из пространства Бэра на комплексную плоскость является оператор Гаусса–Кузьмина–Вирсинга ; это передаточный оператор отображения Гаусса. ^[4] То есть рассматриваются отображения пространства Бэра на комплексную плоскость . Это пространство отображений наследует топологию топологии произведения в пространстве Бэра; например, можно рассматривать функции, имеющие равномерную сходимость . Отображение сдвига, действующее в этом пространстве функций, тогда является оператором GKW. ${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )}$ ${\displaystyle x=[a_{1},a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle h(x)=[a_{2},\cdots ]}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Мера Хаара оператора сдвига, то есть функция, инвариантная относительно сдвигов, задается мерой Минковского . То есть, что , где T сдвиг ^[5] и E любое измеримое подмножество ω ^ω . ${\displaystyle (...)'}$ ${\displaystyle (TE)'=E'}$

Смотрите также

• Пространство Бэра  - Понятие в топологии
• Список топологий  - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Рекомендации

1. Архангельский, А.В.; Понтрягин, Л.С. (1990). Общая топология . Том. Я. Берлин, Германия: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. См. главу первую.
2. Р. Энгелькинг (1977). Общая топология . ПВН, Варшава.
3. Александров, П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию . Москва: Наука.
4. Линас Вепстас, «Оператор Гаусса-Кузьмина-Вирсинга» (2004)
5. Линас Вепстас, «О мере Минковского», (2008) arXiv:0810.1265

• Кекрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94374-9.
• Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0.