Банахова алгебра

Особый вид алгебраической структуры

В математике , особенно в функциональном анализе , банахова алгебра , названная в честь Стефана Банаха , — это ассоциативная алгебра над действительными или комплексными числами (или над неархимедовым полным нормированным полем ), которая в то же время является также банаховым пространством , то есть нормированным пространством , которое является полным в метрике, индуцированной нормой. Норма должна удовлетворять ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.}$$

Это гарантирует, что операция умножения является непрерывной относительно метрической топологии.

Банахова алгебра называется унитальной, если она имеет единичный элемент для умножения, норма которого равна , и коммутативной, если ее умножение коммутативно . Любая банахова алгебра (независимо от того, унитальная она или нет) может быть изометрически вложена в унитальную банахову алгебру так, чтобы образовать замкнутый идеал . Часто априори предполагается , что рассматриваемая алгебра унитальная, поскольку можно развить большую часть теории, рассматривая и затем применяя результат в исходной алгебре. Однако это не всегда так. Например, нельзя определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества. ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

Теория реальных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховы алгебры также могут быть определены над полями -адических чисел . Это часть -адического анализа . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Примеры

Прототипическим примером банаховой алгебры является , пространство (комплекснозначных) непрерывных функций, определенных на локально компактном хаусдорфовом пространстве , которые исчезают на бесконечности . является унитарным тогда и только тогда, когда является компактным . Комплексное сопряжение , будучи инволюцией , фактически является C*-алгеброй . В более общем смысле, каждая C*-алгебра является банаховой алгеброй по определению. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

• Множество действительных (или комплексных) чисел представляет собой банахову алгебру с нормой, заданной абсолютным значением .
• Множество всех действительных или комплексных матриц становится унитальной банаховой алгеброй , если мы снабдим ее субмультипликативной матричной нормой . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Возьмем банахово пространство (или ) с нормой и определим умножение покомпонентно: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}$
• Кватернионы образуют 4-мерную действительную банахову алгебру , норма которой задается абсолютным значением кватернионов.
• Алгебра всех ограниченных действительных или комплексных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремум- нормой), является унитальной банаховой алгеброй.
• Алгебра всех ограниченных непрерывных вещественных или комплексных функций на некотором локально компактном пространстве (снова с поточечными операциями и супремум-нормой) является банаховой алгеброй.
• Алгебра всех непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве (с функциональной композицией в качестве умножения и операторной нормой в качестве нормы) является унитальной банаховой алгеброй. Множество всех компактных операторов в является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Оно не имеет тождества, если ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E=\infty .}$
• Если — локально компактная хаусдорфова топологическая группа и — ее мера Хаара , то банахово пространство всех -интегрируемых функций на становится банаховой алгеброй относительно свертки для ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}$ ${\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}$
• Равномерная алгебра : Банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры с супремум-нормой и которая содержит константы и разделяет точки (которые должны быть компактным хаусдорфовым пространством). ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Алгебра натуральных банаховых функций : равномерная алгебра, все символы которой являются оценками в точках ${\displaystyle X.}$
• C*-алгебра : Банахова алгебра, являющаяся замкнутой *-подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
• Алгебра мер : Банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе , где произведение двух мер задается сверткой мер . ^[2]
• Алгебра кватернионов является действительной банаховой алгеброй, но она не является комплексной алгеброй (и, следовательно, не является комплексной банаховой алгеброй) по той простой причине, что центром кватернионов являются действительные числа, которые не могут содержать копию комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• Аффиноидная алгебра — это определенный вид банаховой алгебры над неархимедовым полем. Аффиноидные алгебры являются основными строительными блоками в жесткой аналитической геометрии .

Характеристики

Несколько элементарных функций , определяемых с помощью степенных рядов , могут быть определены в любой унитальной банаховой алгебре; примерами являются показательная функция и тригонометрические функции , а в более общем случае — любая целая функция . (В частности, показательное отображение может использоваться для определения абстрактных индексных групп .) Формула для геометрического ряда остается справедливой в общих унитальных банаховых алгебрах. Биномиальная теорема также справедлива для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Множество обратимых элементов в любой унитальной банаховой алгебре является открытым множеством , а операция инверсии на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что оно образует топологическую группу относительно умножения. ^[3]

Если банахова алгебра имеет единицу , то она не может быть коммутатором ; то есть   для любого Это происходит потому, что и имеют одинаковый спектр, за исключением, возможно, ${\displaystyle \mathbf {1} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle x,y\in A.}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle 0.}$

Различные алгебры функций, приведенные в примерах выше, имеют свойства, сильно отличающиеся от стандартных примеров алгебр, таких как действительные числа. Например:

• Каждая действительная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, — это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда–Мазура .)
• Каждая унитальная действительная банахова алгебра без делителей нуля , в которой каждый главный идеал замкнут , изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. ^[4 ]
• Каждая коммутативная вещественная унитальная нётерова банахова алгебра без делителей нуля изоморфна вещественным или комплексным числам.
• Каждая коммутативная вещественная унитальная нётерова банахова алгебра (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
• Постоянно сингулярные элементы в банаховых алгебрах являются топологическими делителями нуля , то есть, рассматривая расширения банаховых алгебр, некоторые элементы, которые являются сингулярными в данной алгебре, имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры Топологические делители нуля в являются постоянно сингулярными в любом банаховом расширении ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Спектральная теория

Унитальные банаховы алгебры над комплексным полем предоставляют общую установку для разработки спектральной теории. Спектр элемента, обозначенного как , состоит из всех тех комплексных скаляров, которые необратимы в Спектр любого элемента является замкнутым подмножеством замкнутого диска в с радиусом и центром и, таким образом , является компактным . Более того, спектр элемента непуст и удовлетворяет формуле спектрального радиуса : ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$$

Учитывая, что голоморфное функциональное исчисление позволяет определить для любой функции, голоморфной в окрестности Кроме того, справедлива теорема об отображении спектра: ^[5] ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f(x)\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (x).}$ $${\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}$$

Когда банахова алгебра является алгеброй ограниченных линейных операторов в комплексном банаховом пространстве (например, алгебра квадратных матриц), понятие спектра в совпадает с обычным в теории операторов . В случае (с компактным хаусдорфовым пространством ) видно, что: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}$$

Норма нормального элемента C*-алгебры совпадает с ее спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов. ${\displaystyle x}$

Пусть – комплексная унитальная банахова алгебра, в которой каждый ненулевой элемент обратим (алгебра с делением). Для каждого существует такое, что необратимо (потому что спектр непуст), поэтому эта алгебра естественно изоморфна (комплексный случай теоремы Гельфанда–Мазура). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Идеалы и характеры

Пусть — унитальная коммутативная банахова алгебра над Так как тогда — коммутативное кольцо с единицей, каждый необратимый элемент из принадлежит некоторому максимальному идеалу в Так как максимальный идеал в замкнут, — банахова алгебра, являющаяся полем, и из теоремы Гельфанда–Мазура следует, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов в и множеством всех ненулевых гомоморфизмов из в Множество называется « структурным пространством » или «пространством характеров» из , а его элементы — «характерами». ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle A,}$

Характер — это линейный функционал на , который в то же время мультипликативен и удовлетворяет Каждый характер автоматически непрерывен от до , поскольку ядро ​​характера — это максимальный идеал, который замкнут. Более того, норма (то есть операторная норма) характера равна единице. Снабженное топологией поточечной сходимости на (то есть топологией, индуцированной слабой-* топологией ), пространство характеров является компактным пространством Хаусдорфа. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}$ ${\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \Delta (A),}$

Для любого , где есть представление Гельфанда, определяемое следующим образом: есть непрерывная функция от до заданная выражением Спектр в формуле выше, есть спектр как элемент алгебры комплексных непрерывных функций на компактном пространстве Явно, ${\displaystyle x\in A,}$ $${\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}$ ${\displaystyle {\hat {x}},}$ ${\displaystyle C(\Delta (A))}$ ${\displaystyle \Delta (A).}$ $${\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}$$

Как алгебра, унитальная коммутативная банахова алгебра является полупростой (то есть ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная C*-алгебра. Фактически, когда является коммутативной унитальной C*-алгеброй, представление Гельфанда является изометрическим *-изоморфизмом между и ^[a] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Delta (A)).}$

Банаховы *-алгебры

Банахова *-алгебра — это банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением, обладающим следующими свойствами: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{*}:A\to A}$

1. ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}$для всех (поэтому отображение является инволюцией ). ${\displaystyle x\in A}$
2. ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$для всех ${\displaystyle x,y\in A.}$
3. ${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}$для каждого и каждого здесь, обозначает комплексно сопряженное число ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in A;}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda .}$
4. ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$для всех ${\displaystyle x,y\in A.}$

Другими словами, банахова *-алгебра — это банахова алгебра над , которая также является *-алгеброй . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

В большинстве естественных примеров инволюция также изометрична , то есть Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой *-алгебры. $${\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}$$

Банахова *-алгебра, удовлетворяющая , является C*-алгеброй . ${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

Смотрите также

• Приблизительная идентичность  – сеть в нормированной алгебре, которая действует как замена элемента идентичностиPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гипотеза Капланского  – Многочисленные гипотезы математика Ирвинга КапланскогоPages displaying short descriptions of redirect targets
• Операторная алгебра  – Раздел функционального анализа
• Шиловская граница

Примечания

1. Доказательство: Поскольку каждый элемент коммутативной C*-алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, оно инъективно и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен по теореме Стоуна–Вейерштрасса .

Ссылки

1. Конвей 1990, Пример VII.1.8.
2. Conway 1990, Пример VII.1.9.
3. Конвей 1990, Теорема VII.2.2.
4. Гарсия, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). «Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского». Труды Американского математического общества . 123 (9): 2663–2666. doi :10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
5. Такесаки 1979, Предложение 2.8.

• Bollobás, B (1990). Линейный анализ . Cambridge University Press. ISBN 0-521-38729-9.
• Бонсалл, ФФ ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, JB (1990). Курс функционального анализа . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.
• Dales, HG; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, GA (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0.
• Мосак, Р. Д. (1975). Банаховы алгебры . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN 0-226-54203-3.
• Такесаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I. Энциклопедия математических наук. Т. 124 (1-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.