Теорема Банаха–Стоуна

В математике теорема Банаха–Стоуна — классический результат теории непрерывных функций на топологических пространствах , названный в честь математиков Стефана Банаха и Маршалла Стоуна .

Короче говоря, теорема Банаха-Стоуна позволяет восстановить компактное хаусдорфово пространство X из структуры банахова пространства C ( X ) непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на X . Если разрешено ссылаться на структуру алгебры C ( X ), то это легко — мы можем отождествить X со спектром C ( X ), множеством гомоморфизмов алгебры в скалярное поле, снабженное слабой*-топологией, унаследованной от сопряженного пространства C ( X )*. Теорема Банаха-Стоуна избегает ссылки на мультипликативную структуру, восстанавливая X из крайних точек единичного шара C ( X )*.

Заявление

Для компактного хаусдорфова пространства X пусть C ( X ) обозначает банахово пространство непрерывных действительных или комплекснозначных функций на X , снабженное супремум-нормой ‖·‖ _∞ .

Для компактных хаусдорфовых пространств X и Y предположим, что T  :  C ( X ) →  C ( Y ) — сюръективная линейная изометрия . Тогда существует гомеоморфизм φ  :  Y  →  X и функция g  ∈  C ( Y ) с

${\displaystyle |g(y)|=1{\mbox{ for all }}y\in Y}$

такой что

${\displaystyle (Tf)(y)=g(y)f(\varphi (y)){\mbox{ for all }}y\in Y,f\in C(X).}$

Случай, когда X и Y являются компактными метрическими пространствами , принадлежит Банаху ^[1] , тогда как расширение на компактные хаусдорфовы пространства принадлежит Стоуну ^[2] . Фактически, они оба доказывают небольшое обобщение — они не предполагают, что T является линейным, а только то, что это изометрия в смысле метрических пространств, и используют теорему Мазура–Улама, чтобы показать, что T является аффинным, а значит, является линейной изометрией. ${\displaystyle T-T(0)}$

Обобщения

Теорема Банаха–Стоуна имеет некоторые обобщения для векторнозначных непрерывных функций на компактных хаусдорфовых топологических пространствах. Например, если E — банахово пространство с тривиальным централизатором , а X и Y — компактны, то каждая линейная изометрия C ( X ;  E ) на C ( Y ;  E ) является сильным отображением Банаха–Стоуна.

Подобный метод использовался также для восстановления пространства X из крайних точек сопряженных пространств некоторых других функций на X.

Некоммутативный аналог теоремы Банаха-Стоуна — это фольклорная теорема о том, что две унитальные C*-алгебры изоморфны тогда и только тогда, когда они полностью изометричны (т. е. изометричны на всех уровнях матрицы). Одной изометрии недостаточно, как показывает существование C*-алгебры, которая не изоморфна своей противоположной алгебре (которая тривиально имеет ту же структуру банахова пространства).

Смотрите также

• Банахово пространство  – Нормированное векторное пространство, которое является полным

Ссылки

1. Теорема 3 Банаха, Стефан (1932). Теория линейных операций . Варшава: Институт математики Польской академии наук. п. 170.
2. Теорема 83 Стоуна, Маршалла (1937). «Применение теории булевых колец к общей топологии». Труды Американского математического общества . 41 (3): 375–481. doi : 10.2307/1989788 .

• Араужо, Хесус (2006). «Некомпактная теорема Банаха–Стоуна». Журнал теории операторов . 55 (2): 285–294. ISSN  0379-4024. MR  2242851.
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Монография Математическая (на французском языке). Том. 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Збл  0005.20901. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.