Проективное представление

В области теории представлений в математике проективное представление группы G на векторном пространстве V над полем F — это групповой гомоморфизм из G в проективную линейную группу , где GL( V ) — общая линейная группа обратимых линейных преобразований V над F , а F ^∗ — нормальная подгруппа, состоящая из ненулевых скалярных кратных тождественного преобразования (см. Скалярное преобразование ). ^[1] $${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$$

Более конкретно, проективное представление — это набор операторов, удовлетворяющих свойству гомоморфизма с точностью до константы: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),}$

для некоторой константы . Эквивалентно, проективное представление — это набор операторов , такой что . Обратите внимание, что в этой записи — это набор линейных операторов, связанных умножением с некоторым ненулевым скаляром. ${\displaystyle c(g,h)\in F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\subset \mathrm {GL} (V),g\in G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}$

Если возможно выбрать конкретного представителя в каждом семействе операторов таким образом, что свойство гомоморфизма выполняется на носу , а не только с точностью до константы, то мы говорим, что его можно «депроективизировать» или что его можно «поднять до обычного представления». Более конкретно, мы говорим, что его можно депроективизировать, если для каждого существуют такие, что . Эта возможность обсуждается ниже. ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$

Линейные представления и проективные представления

Один из способов, которым может возникнуть проективное представление , — это взять линейное групповое представление G на V и применить фактор-отображение

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

которая является фактором по подгруппе F ^∗ скалярных преобразований ( диагональные матрицы со всеми равными диагональными элементами). Интерес для алгебры заключается в процессе в другом направлении: имея проективное представление , попытайтесь «поднять» его до обычного линейного представления . Общее проективное представление ρ : G → PGL( V ) не может быть поднято до линейного представления G → GL( V ) , и препятствие к этому поднятию можно понять с помощью групповых когомологий , как описано ниже.

Однако можно поднять проективное представление группы G до линейного представления другой группы H , которая будет центральным расширением группы G. Группа является подгруппой, определяемой следующим образом: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$,

где — фактор-отображение группы на группу . Поскольку — гомоморфизм, легко проверить, что — действительно подгруппа группы . Если исходное проективное представление является точным, то — изоморфно прообразу в группы . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}$

Мы можем определить гомоморфизм , установив . Ядро имеет вид: ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$,

который содержится в центре . Ясно также, что является сюръективным, так что является центральным расширением . Мы также можем определить обычное представление , установив . Обычное представление является лифтом проективного представления в том смысле, что: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$.

Если G — совершенная группа, то существует единственное универсальное совершенное центральное расширение G , которое можно использовать.

Групповые когомологии

Анализ вопроса подъема включает групповые когомологии . Действительно, если зафиксировать для каждого g в G поднятый элемент L ( g ) при подъеме из PGL( V ) обратно в GL( V ) , то подъемы удовлетворяют

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

для некоторого скаляра c ( g , h ) в F ^∗ . Отсюда следует, что 2-коцикл или множитель Шура c удовлетворяет уравнению коцикла

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

для всех g , h , k в G. Это c зависит от выбора подъема L ; другой выбор подъема L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) приведет к другому коциклу

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

когомологичный c . Таким образом, L определяет единственный класс в H ² ( G , F ^∗ ) . Этот класс может быть нетривиальным. Например, в случае симметрической группы и знакопеременной группы Шур установил, что существует ровно один нетривиальный класс множителя Шура, и полностью определил все соответствующие неприводимые представления. ^[2]

В общем случае нетривиальный класс приводит к проблеме расширения для G . Если G корректно расширена, мы получаем линейное представление расширенной группы, которое индуцирует исходное проективное представление при смещении вниз к G . Решением всегда является центральное расширение . Из леммы Шура следует, что неприводимые представления центральных расширений G и неприводимые проективные представления G по сути являются одними и теми же объектами.

Первый пример: дискретное преобразование Фурье

Рассмотрим поле целых чисел mod , где — простое, и пусть — -мерное пространство функций на со значениями в . Для каждого в определим два оператора и на следующим образом: ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

Мы записываем формулу для так, как если бы и были целыми числами, но легко видеть, что результат зависит только от значения и mod . Оператор является переносом, в то время как является сдвигом в частотном пространстве (то есть имеет эффект переноса дискретного преобразования Фурье ). ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle f}$

Легко проверить, что для любых и в операторы и коммутируют с точностью до умножения на константу: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$.

Поэтому мы можем определить проективное представление следующим образом : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$,

где обозначает образ оператора в фактор-группе . Поскольку и коммутируют с точностью до константы, легко видеть, что это проективное представление. С другой стороны, поскольку и на самом деле не коммутируют — и никакие ненулевые кратные им не будут коммутировать — не может быть поднято до обычного (линейного) представления . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

Поскольку проективное представление является точным, центральное расширение , полученное построением в предыдущем разделе, является просто прообразом в образа . Явно это означает, что является группой всех операторов вида ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

для . Эта группа является дискретной версией группы Гейзенберга и изоморфна группе матриц вида ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

с . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

Проективные представления групп Ли

Изучение проективных представлений групп Ли приводит к рассмотрению истинных представлений их центральных расширений (см. Расширение группы § Группы Ли ). Во многих представляющих интерес случаях достаточно рассмотреть представления накрывающих групп . В частности, предположим, что является связным покрытием связной группы Ли , так что для дискретной центральной подгруппы . (Заметим, что является особым видом центрального расширения .) Предположим также, что является неприводимым унитарным представлением (возможно, бесконечномерным). Тогда по лемме Шура центральная подгруппа будет действовать скалярными кратными единицы. Таким образом, на проективном уровне спустится до . То есть, для каждого мы можем выбрать прообраз в и определить проективное представление , положив ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$,

где обозначает изображение в оператора . Поскольку содержится в центре и центр действует как скаляры , значение не зависит от выбора . ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Предыдущая конструкция является важным источником примеров проективных представлений. Теорема Баргмана (обсуждаемая ниже) дает критерий, при котором каждое неприводимое проективное унитарное представление возникает таким образом. ${\displaystyle G}$

Проективные представления SO(3)

Физически важный пример вышеприведенной конструкции исходит из случая группы вращений SO(3) , универсальным покрытием которой является SU(2) . Согласно теории представлений SU(2) , существует ровно одно неприводимое представление SU(2) в каждом измерении. Когда измерение нечетное (случай «целочисленного спина»), представление сводится к обычному представлению SO(3). ^[3] Когда измерение четное (случай «дробного спина»), представление не сводится к обычному представлению SO(3), но сводится (согласно результату, обсуждаемому выше) к проективному представлению SO(3). Такие проективные представления SO(3) (те, которые не происходят из обычных представлений) называются «спинорными представлениями», элементы (векторы) которых называются спинорами .

Согласно аргументу, обсуждаемому ниже, каждое конечномерное неприводимое проективное представление SO(3) происходит из конечномерного неприводимого обычного представления SU(2).

Примеры покрытий, приводящие к проективным представлениям

Известные случаи покрытия групп, дающие интересные проективные представления:

• Специальная ортогональная группа SO( n , F ) дважды покрывается группой Spin Spin( n , F ).
• В частности, группа SO(3) (группа вращения в 3 измерениях) дважды покрывается SU(2) . Это имеет важные приложения в квантовой механике, поскольку изучение представлений SU(2) приводит к нерелятивистской (низкоскоростной) теории спина .
• Группа SO ⁺ (3;1) , изоморфная группе Мёбиуса , также дважды покрывается SL 2 ( C ). Обе являются супергруппами вышеупомянутых SO(3) и SU(2) соответственно и образуют релятивистскую спиновую теорию.
• Универсальное покрытие группы Пуанкаре является двойным покрытием ( полупрямым произведением SL ₂ ( C ) с R ⁴ ). Неприводимые унитарные представления этого покрытия порождают проективные представления группы Пуанкаре, как в классификации Вигнера . Переход к покрытию необходим для того, чтобы включить случай дробного спина.
• Ортогональная группа O( n ) дважды покрывается группой Pin Pin _± ( n ).
• Симплектическая группа Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (не путать с компактной вещественной формой симплектической группы, иногда также обозначаемой как Sp( m )) дважды накрывается метаплектической группой Mp(2 n ). Важное проективное представление Sp(2 n ) происходит из метаплектического представления Mp(2 n ).

Конечномерные проективные унитарные представления

В квантовой физике симметрия физической системы обычно реализуется с помощью проективного унитарного представления группы Ли на квантовом гильбертовом пространстве, то есть непрерывного гомоморфизма ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

где — частное унитарной группы по операторам вида . Причина взятия частного заключается в том, что физически два вектора в гильбертовом пространстве, которые пропорциональны, представляют одно и то же физическое состояние. [То есть пространство (чистых) состояний — это множество классов эквивалентности единичных векторов , где два единичных вектора считаются эквивалентными, если они пропорциональны.] Таким образом, унитарный оператор, который является кратным тождества, фактически действует как тождество на уровне физических состояний. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

Конечномерное проективное представление , то порождает проективное унитарное представление алгебры Ли . В конечномерном случае всегда возможно «депроективизировать» представление алгебры Ли, просто выбрав представителя для каждого, имеющего нулевой след. ^[4] В свете теоремы о гомоморфизмах , тогда возможно депроективизировать себя, но за счет перехода к универсальному покрытию . ^[5] То есть, каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из обычного унитарного представления с помощью процедуры, упомянутой в начале этого раздела. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

В частности, поскольку представление алгебры Ли было депроективизировано путем выбора представителя со следом ноль, каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из обычного унитарного представления с детерминантом один (т. е. такого, в котором каждый элемент действует как оператор с детерминантом один). Если является полупростым, то каждый элемент является линейной комбинацией коммутаторов, и в этом случае каждое представление является операторами со следом ноль. В полупростом случае, следовательно, соответствующее линейное представление является единственным. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Наоборот, если — неприводимое унитарное представление универсального покрытия , то по лемме Шура центр действует как скалярное кратное единицы. Таким образом, на проективном уровне спускается к проективному представлению исходной группы . Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между неприводимыми проективными представлениями и неприводимыми, детерминантно-единичными обычными представлениями . (В полупростом случае квалификатор «детерминантно-единичный» можно опустить, поскольку в этом случае каждое представление автоматически является детерминантно-единичным.) ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Важным примером является случай SO(3) , универсальным покрытием которого является SU(2) . Теперь алгебра Ли полупроста. Более того, поскольку SU(2) является компактной группой , каждое ее конечномерное представление допускает скалярное произведение, относительно которого представление является унитарным. ^[6] Таким образом, неприводимые проективные представления SO(3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями SU(2). ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

Бесконечномерные проективные унитарные представления: случай Гейзенберга

Результаты предыдущего подраздела не выполняются в бесконечномерном случае просто потому, что след обычно не определен должным образом. Действительно, результат неверен: Рассмотрим, например, трансляции в пространстве положений и в пространстве импульсов для квантовой частицы, движущейся в , действующей на гильбертово пространство . ^[7] Эти операторы определяются следующим образом: ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

для всех . Эти операторы являются просто непрерывными версиями операторов и описаны в разделе "Первый пример" выше. Как и в этом разделе, мы можем затем определить проективное унитарное представление : ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

потому что операторы коммутируют с точностью до фазового множителя. Но никакой выбор фазовых множителей не приведет к обычному унитарному представлению, поскольку трансляции по положению не коммутируют с трансляциями по импульсу (и умножение на ненулевую константу не изменит этого). Однако эти операторы происходят из обычного унитарного представления группы Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением . ^[8] (См. также теорему Стоуна–фон Неймана .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Бесконечномерные проективные унитарные представления: теорема Баргмана

С другой стороны, теорема Баргмана утверждает, что если вторая группа когомологий алгебры Ли тривиальна , то каждое проективное унитарное представление может быть депроективизировано после перехода к универсальному покрытию. ^{[9] [10]} Точнее, предположим, что мы начинаем с проективного унитарного представления группы Ли . Тогда теорема утверждает, что может быть поднято до обычного унитарного представления универсального покрытия . Это означает, что отображает каждый элемент ядра накрывающего отображения в скалярное кратное единицы — так что на проективном уровне спускается до — и что связанное проективное представление равно . ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

Теорема не применима к группе — как показывает предыдущий пример — поскольку вторая группа когомологий ассоциированной коммутативной алгебры Ли нетривиальна. Примеры, где этот результат применим, включают полупростые группы (например, SL(2,R) ) и группу Пуанкаре . Этот последний результат важен для классификации Вигнера проективных унитарных представлений группы Пуанкаре. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Доказательство теоремы Баргмана проводится путем рассмотрения центрального расширения , построенного аналогично разделу выше о линейных представлениях и проективных представлениях, как подгруппы группы прямого произведения , где — гильбертово пространство , на котором действует , а — группа унитарных операторов на . Группа определяется как ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

Как и в предыдущем разделе, отображение, заданное сюръективным гомоморфизмом, ядро ​​которого таково, что является центральным расширением . Опять же, как и в предыдущем разделе, мы можем определить линейное представление , установив . Тогда является подъемом в том смысле, что , где — фактор-отображение из в . ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi (g,U)=g}$ ${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

Ключевой технический момент — показать, что является группой Ли . (Это утверждение не столь очевидно, потому что если бесконечномерно, то группа является бесконечномерной топологической группой.) Как только этот результат установлен, мы видим, что является одномерным центральным расширением группы Ли , так что алгебра Ли также является одномерным центральным расширением (обратите внимание, что прилагательное «одномерный» относится не к и , а скорее к ядру отображения проекции из этих объектов на и соответственно). Но группу когомологий можно отождествить с пространством одномерных (опять же, в вышеупомянутом смысле) центральных расширений ; если тривиально, то каждое одномерное центральное расширение тривиально. В этом случае является просто прямой суммой с копией действительной прямой. Из этого следует, что универсальное покрытие должно быть просто прямым произведением универсального покрытия с копией действительной прямой. Затем мы можем подняться с до (композируя с отображением покрытия) и, наконец, ограничить это поднятие универсальным покрытием . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Аффинное представление
• Групповые действия
• Центральное расширение
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Спин-½
• Спинор
• Симметрия в квантовой механике
• Группа Гейзенберга

Примечания

1. Ганнон 2006, стр. 176–179.
2. Шур 1911
3. Холл 2015 Раздел 4.7
4. Холл 2013 Предложение 16.46
5. Холл 2013 Теорема 16.47
6. Холл 2015 доказательство теоремы 4.28
7. Холл 2013 Пример 16.56
8. Холл 2013 Упражнение 6 в Главе 14
9. Баргманн 1954
10. Симмс 1971

Ссылки

• Баргманн, Валентайн (1954), «Об унитарном лучевом представлении непрерывных групп», Annals of Mathematics , 59 (1): 1–46, doi :10.2307/1969831, JSTOR  1969831
• Ганнон, Терри (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Шур, И. (1911), «Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene Lineare Substitutionen», Crelle's Journal , 139 : 155–250
• Симмс, DJ (1971), «Краткое доказательство критерия Баргмана для подъема проективных представлений групп Ли», Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, Bibcode : 1971RpMP....2..283S, doi : 10.1016/0034-4877(71)90011-5