Теорема Бека о монадичности

В теории категорий , разделе математики , теорема Бека о монадичности дает критерий, характеризующий монадические функторы , введенный Джонатаном Моком Беком  (2003) примерно в 1964 году. Она часто формулируется в двойственной форме для комонад . Иногда ее называют теоремой Бека о тройственности из-за более старого термина «тройной» для монады.

Теорема Бека о монадичности утверждает, что функтор

${\displaystyle U:C\to D}$

является монадическим тогда и только тогда, когда ^[1]

1. U имеет левый сопряженный элемент ;
2. U отражает изоморфизмы (если U ( f ) является изоморфизмом, то f также является изоморфизмом ); и
3. C имеет соуравнители U - разделенных параллельных пар (те параллельные пары морфизмов в C , которые U отправляет парам, имеющим разделенный соуравнитель в D ), и U сохраняет эти соуравнители.

Существует несколько вариаций теоремы Бека: если U имеет левый сопряженный элемент, то любое из следующих условий гарантирует, что U является монадическим:

• U отражает изоморфизмы , а C имеет соуравнители рефлексивных пар (те, у которых есть общий правый обратный), и U сохраняет эти соуравнители. (Это дает грубую теорему о монадичности.)
• Каждая диаграмма в C, которая посредством U отправляется в разделенную последовательность соэквалайзера в D , сама является последовательностью соэквалайзера в C. Другими словами, U создает (сохраняет и отражает) U -разделенные последовательности соэквалайзера.

Другая вариация теоремы Бека характеризует строго монадические функторы: те, для которых функтор сравнения является изоморфизмом, а не просто эквивалентностью категорий . Для этой версии определения того, что значит создать коуравнители, немного изменены: коуравнитель должен быть уникальным, а не просто уникальным с точностью до изоморфизма.

Теорема Бека особенно важна в ее связи с теорией спуска , которая играет роль в теории пучков и стеков , а также в подходе Александра Гротендика к алгебраической геометрии . Большинство случаев точно плоского спуска алгебраических структур (например, в FGA и в SGA1 ) являются частными случаями теоремы Бека. Теорема дает точное категориальное описание процесса «спуска» на этом уровне. В 1970 году подход Гротендика через расслоенные категории и данные спуска был показан ( Жаном Бенабу и Жаком Рубо ), как эквивалентный (при некоторых условиях) подходу комонад. В более поздней работе Пьер Делинь применил теорему Бека к теории категорий Таннака , значительно упростив основные разработки.

Примеры

• Забывающий функтор из топологических пространств в множества не является монадическим, поскольку он не отражает изоморфизмы: непрерывные биекции между (некомпактными или нехаусдорфовыми) топологическими пространствами не обязательно должны быть гомеоморфизмами.
• Негрепонтис (1971, §1) показывает, что функтор из коммутативных C*-алгебр в множества, переводящий такую ​​алгебру A в единичный шар , т. е. множество , является монадическим. Негрепонтис также выводит двойственность Гельфанда , т. е. эквивалентность категорий между противоположной категорией компактных хаусдорфовых пространств и коммутативными C*-алгебрами может быть выведена из этого. ${\displaystyle \{a\in A,\|a\|\leq 1\}}$
• Функтор powerset из Set ^op в Set является монадическим, где Set — категория множеств. В более общем смысле теорему Бека можно использовать для того, чтобы показать, что функтор powerset из T ^op в T является монадическим для любого топоса T, что, в свою очередь, используется для того, чтобы показать, что топос T имеет конечные копределы.
• Забывчивый функтор из полугрупп в множества является монадическим. Этот функтор не сохраняет произвольные коуравнители, показывая, что некоторые ограничения на коуравнители в теореме Бека необходимы, если мы хотим иметь условия, которые являются необходимыми и достаточными.
• Если B — точно плоское коммутативное кольцо над коммутативным кольцом A , то функтор T из A -модулей в B- модули, переводящий M в B ⊗ _A M, является комонадическим. Это следует из двойственной теоремы Бекса, поскольку условие, что B является плоским, подразумевает, что T сохраняет пределы, в то время как условие, что B является точно плоским, подразумевает, что T отражает изоморфизмы. Коалгебра над T оказывается по сути B -модулем с данными о спуске, поэтому тот факт, что T является комонадическим, эквивалентен основной теореме о точно плоском спуске, гласящей, что B -модули со спуском эквивалентны A -модулям. ^[2]

Внешние ссылки

• Теорема монадичности в n Lab
• монадический спуск в n Lab

Ссылки

1. Педиккио и Толен 2004, с. 228
2. Делинь 1990, §4.2

• Балмер, Пол (2012), «Спуск в триангулированных категориях», Mathematische Annalen , 353 (1): 109–125, doi :10.1007/s00208-011-0674-z, MR  2910783, S2CID  121964355
• Барр, М.; Уэллс, К. (2013) [1985], Тройки, топосы и теории , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 278, Спрингер, ISBN 9781489900234pdf
• Бек, Джонатан Мок (2003) [1967], «Тройки, алгебры и когомологии» (PDF) , Переиздания в Theory and Applications of Categories , докторская диссертация Колумбийского университета, 2 : 1–59, MR  1987896
• Бенабу, Жан ; Рубо, Жак (12 января 1970 г.), «Monades et descente», CR Acad. наук. Париж , 270 (А): 96–98.
• Лейнстер, Том (2013), «Коплотность и монада ультрафильтра», Теория и приложения категорий , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
• Негрепонтис, Джоан В. (1971), «Двойственность в анализе с точки зрения троек», Журнал алгебры , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN  0021-8693, MR  0280571
• Павлович, Душко (1991), «Категорная интерполяция: спуск и условие Бека-Шевалле без прямых изображений», в Carboni, A.; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (ред.), Теория категорий , Lecture Notes in Mathematics, т. 1488, Springer, стр. 306–325, doi :10.1007/BFb0084229, ISBN 978-3-540-54706-8
• Делинь, Пьер (1990), Категории Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Прогресс в математике, том. 87, Биркхойзер, стр. 111–195.
• Гротендик, А. (1962), «Fondements de la géométrie algébrique», [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957–1962] , Париж: Секретариат математики, MR  0146040
• Гротендик, А.; Рейно, М. (1971), Revêtements Etales et Groupe Fondamental , Конспекты лекций по математике, том. 224, Спрингер, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007/BFb0058656, ISBN 978-3-540-36910-3
• Борсо, Фрэнсис (1994), Основы теории категорий, Справочник по категориальной алгебре, т. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0(3 тома).
• Фантехи, Барбара; Гёттше, Лотар; Иллюзи, Люк; Клейман, Стивен Л.; Ницуре, Нитин; Вистоли, Анджело (2005), Фундаментальная алгебраическая геометрия: объяснение FGA Гротендика, Математические обзоры и монографии, т. 123, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4245-4, г-н  2222646
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004), Категорические основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 97, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7, ЗБЛ  1034.18001