C*-алгебра

Топологическое комплексное векторное пространство

В математике, в частности в функциональном анализе , C ^∗ -алгебра (произносится как "C-star") — это банахова алгебра вместе с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряженной . Частным случаем является комплексная алгебра A непрерывных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• A — топологически замкнутое множество в топологии нормы операторов.
• A замкнут относительно операции взятия сопряженных операторов.

Другой важный класс негильбертовых C*-алгебр включает алгебру комплекснозначных непрерывных функций на X , исчезающих на бесконечности, где X — локально компактное хаусдорфово пространство. ${\displaystyle C_{0}(X)}$

C*-алгебры были впервые рассмотрены в первую очередь для их использования в квантовой механике для моделирования алгебр физических наблюдаемых . Это направление исследований началось с матричной механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с Паскуаля Жордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру для этих алгебр, что достигло кульминации в серии статей о кольцах операторов. В этих статьях рассматривался особый класс C*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана .

Около 1943 года в работе Израиля Гельфанда и Марка Наймарка была дана абстрактная характеристика C*-алгебр, не содержащая ссылок на операторы в гильбертовом пространстве.

C*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп , а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований является программа по получению классификации или определению степени, в которой возможна классификация, для отделимых простых ядерных C*-алгебр .

Абстрактная характеристика

Начнем с абстрактной характеристики C*-алгебр, данной в статье Гельфанда и Наймарка 1943 года.

AC*-алгебра, A , представляет собой банахову алгебру над полем комплексных чисел вместе с отображением для со следующими свойствами: ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ ${\textstyle x\in A}$

• Это инволюция для каждого x из A :

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Для всех x , y в A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Для каждого комплексного числа и каждого x в A : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• Для всех x в A :

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Замечание. Первые четыре тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется тождеством C* и эквивалентно:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

что иногда называют B*-тождеством. Для истории названий C*- и B*-алгебры см. раздел «История» ниже.

C*-тождественность является очень сильным требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса , это подразумевает, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$

Ограниченное линейное отображение π :  A → B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом , если

• Для x и y в A

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}$

• Для x в A

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}$

В случае C*-алгебр любой *-гомоморфизм π между C*-алгебрами является сжимающим , т.е. ограниченным с нормой ≤ 1. Более того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами является изометрическим . Это следствия C*-тождества.

Биективный *-гомоморфизм π называется C*-изоморфизмом , в этом случае говорят, что A и B изоморфны .

Немного истории: B*-алгебры и C*-алгебры

Термин B*-алгебра был введен К. Э. Рикартом в 1946 году для описания банаховых *-алгебр, удовлетворяющих условию:

• ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$для всех x в заданной B*-алгебре. (B*-условие)

Это условие автоматически подразумевает, что *-инволюция изометрична, то есть . Следовательно, , и, следовательно, B*-алгебра также является C*-алгеброй. Наоборот, C*-условие подразумевает B*-условие. Это нетривиально и может быть доказано без использования условия . ^[1] По этим причинам термин B*-алгебра редко используется в современной терминологии и был заменен термином «C*-алгебра». ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$ ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$ ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$

Термин C*-алгебра был введен И. Э. Сигалом в 1947 году для описания замкнутых по норме подалгебр B ( H ), а именно пространства ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве H . «C» означало «замкнутый». ^{[2] [3]} В своей статье Сигал определяет C*-алгебру как «равномерно замкнутую, самосопряженную алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве». ^[4]

Структура C*-алгебр

C*-алгебры обладают большим количеством свойств, которые технически удобны. Некоторые из этих свойств могут быть установлены с помощью непрерывного функционального исчисления или путем сведения к коммутативным C*-алгебрам. В последнем случае можно воспользоваться тем фактом, что их структура полностью определяется изоморфизмом Гельфанда .

Самосопряженные элементы

Самосопряженными элементами являются элементы вида . Множество элементов C*-алгебры A вида образует замкнутый выпуклый конус . Этот конус идентичен элементам вида . Элементы этого конуса называются неотрицательными (или иногда положительными , хотя эта терминология противоречит ее использованию для элементов ) ${\displaystyle x=x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x}$ ${\displaystyle xx^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Множество самосопряженных элементов C*-алгебры A естественным образом имеет структуру частично упорядоченного векторного пространства ; порядок обычно обозначается . В этом порядке самосопряженный элемент удовлетворяет тогда и только тогда, когда спектр неотрицателен , тогда и только тогда, когда для некоторого . Два самосопряженных элемента и из A удовлетворяют , если . ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=s^{*}s}$ ${\displaystyle s\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\geq y}$ ${\displaystyle x-y\geq 0}$

Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C*-алгебре, который, в свою очередь, используется для определения состояний C*-алгебры, которые, в свою очередь, могут быть использованы для построения спектра C*-алгебры с помощью конструкции GNS .

Частные и приблизительные тождества

Любая C*-алгебра A имеет приближенную единицу . Фактически, существует направленное семейство { e _λ } _λ∈I самосопряженных элементов A такое, что

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

В случае, если A является сепарабельным, A имеет последовательную аппроксимированную идентичность. В более общем случае, A будет иметь последовательную аппроксимированную идентичность тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент , т.е. положительный элемент h такой, что hAh плотно в A .

Используя приближенные тождества, можно показать, что алгебраическое фактор - множество C*-алгебры по замкнутому собственному двустороннему идеалу с естественной нормой является C*-алгеброй.

Аналогично, замкнутый двусторонний идеал C*-алгебры сам является C*-алгеброй.

Примеры

Конечномерные C*-алгебры

Алгебра M( n , C ) матриц размера n × n над C становится C*-алгеброй, если мы рассматриваем матрицы как операторы на евклидовом пространстве C ⁿ и используем операторную норму ||·|| на матрицах. Инволюция задается сопряженным транспонированием . В более общем случае можно рассматривать конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически, все C*-алгебры, которые являются конечномерными как векторные пространства, имеют этот вид с точностью до изоморфизма. Требование самосопряженности означает, что конечномерные C*-алгебры являются полупростыми , из чего можно вывести следующую теорему типа Артина–Веддерберна :

Теорема. Конечномерная C*-алгебра A канонически изоморфна конечной прямой сумме

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

где min A — множество минимальных ненулевых самосопряженных центральных проекций A.

Каждая C*-алгебра, Ae , изоморфна (неканоническим образом) полной матричной алгебре M(dim( e ), C ). Конечное семейство, индексированное на min A , заданное {dim( e )} _{e ,} называется вектором размерности A . Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечномерной C*-алгебры. На языке K-теории _этот вектор является положительным конусом группы K 0 алгебры A .

† -алгебра (или, более точно, †-замкнутая алгебра ) — это название, иногда используемое в физике ^[5] для конечномерной C*-алгебры. Крестик † используется в названии, поскольку физики обычно используют этот символ для обозначения эрмитово сопряженного и часто не беспокоятся о тонкостях, связанных с бесконечным числом измерений. (Математики обычно используют звездочку * для обозначения эрмитово сопряженного.) †-алгебры играют важную роль в квантовой механике и особенно в квантовой информатике .

Непосредственным обобщением конечномерных C*-алгебр являются приблизительно конечномерные C*-алгебры .

C*-алгебры операторов

Прототипическим примером C*-алгебры является алгебра B(H) ограниченных (эквивалентно непрерывных) линейных операторов, определенных на комплексном гильбертовом пространстве H ; здесь x* обозначает сопряженный оператор оператора x  : H → H. Фактически, каждая C*-алгебра, A , *-изоморфна замкнутой по норме сопряженной замкнутой подалгебре B ( H ) для подходящего гильбертова пространства H ; это содержание теоремы Гельфанда–Наймарка .

C*-алгебры компактных операторов

Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Алгебра K ( H ) компактных операторов на H является замкнутой по норме подалгеброй B ( H ). Она также замкнута относительно инволюции; следовательно, является C*-алгеброй.

Конкретные C*-алгебры компактных операторов допускают характеризацию, аналогичную теореме Веддерберна для конечномерных C*-алгебр:

Теорема. Если A является C*-подалгеброй K ( H ), то существуют гильбертовы пространства { H _i } _{i ∈ I} такие, что

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

где (C*-)прямая сумма состоит из элементов ( T _i ) декартова произведения Π K ( H _i ) с || T _i || → 0.

Хотя K ( H ) не имеет элемента тождества, можно разработать последовательное приближенное тождество для K ( H ). Для определенности, H изоморфно пространству квадратично суммируемых последовательностей l ² ; мы можем предположить, что H = l ² . Для каждого натурального числа n пусть H _n будет подпространством последовательностей l ² , которые обращаются в нуль для индексов k ≥ n , и пусть e _n будет ортогональной проекцией на H _n . Последовательность { e _n } _n является приближенным тождеством для K ( H ).

K ( H ) — двусторонний замкнутый идеал B ( H ). Для сепарабельных гильбертовых пространств это единственный идеал. Фактор B ( H ) по K ( H ) — это алгебра Калкина .

Коммутативные C*-алгебры

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Пространство комплекснозначных непрерывных функций на X , которые исчезают на бесконечности (определено в статье о локальной компактности ), образует коммутативную C*-алгебру относительно поточечного умножения и сложения. Инволюция является поточечным сопряжением. имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда является компактным. Как и любая C*-алгебра, имеет приближенную единицу . В случае это очевидно: рассмотрим направленное множество компактных подмножеств , и для каждого компакта пусть — функция компактного носителя, которая тождественно равна 1 на . Такие функции существуют по теореме о расширении Титце , которая применима к локально компактным хаусдорфовым пространствам. Любая такая последовательность функций является приближенной единицей. ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{f_{K}\}}$

Представление Гельфанда утверждает , что каждая коммутативная C*-алгебра * -изоморфна алгебре , где — пространство характеров, снабженное слабой* топологией . Более того, если изоморфно как C*-алгебрам, то отсюда следует, что и гомеоморфны . Эта характеристика является одной из мотиваций для программ некоммутативной топологии и некоммутативной геометрии . ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

C*-обертывающая алгебра

Для банаховой *-алгебры A с приближенной единицей существует единственная (с точностью до C*-изоморфизма) C*-алгебра E ( A ) и *-морфизм π из A в E ( A ), который является универсальным , то есть любой другой непрерывный *-морфизм π ' : A → B однозначно пропускается через π. Алгебра E ( A ) называется C*-обертывающей алгеброй банаховой *-алгебры A .

Особое значение имеет C*-алгебра локально компактной группы G. Она определяется как обертывающая C*-алгебра групповой алгебры G. C*-алгебра G обеспечивает контекст для общего гармонического анализа G в случае, если G неабелева. В частности, двойственное к локально компактной группе определяется как примитивное идеальное пространство групповой C*-алгебры. См. спектр C*-алгебры .

Алгебры фон Неймана

Алгебры фон Неймана , известные как алгебры W* до 1960-х годов, являются особым видом C*-алгебры. Они должны быть замкнуты в слабой операторной топологии , которая слабее топологии нормы.

Теорема Шермана –Такеды подразумевает, что любая C*-алгебра имеет универсальную обертывающую W*-алгебру, такую, что любой гомоморфизм в W*-алгебру пропускается через нее.

Тип для C*-алгебр

AC*-алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда для всех невырожденных представлений π алгебры A алгебра фон Неймана π( A )″ (то есть бикоммутант π( A )) является алгеброй фон Неймана типа I. Фактически достаточно рассматривать только факторные представления, т. е. представления π, для которых π( A )″ является фактором.

Говорят, что локально компактная группа имеет тип I тогда и только тогда, когда ее групповая C*-алгебра имеет тип I.

Однако, если C*-алгебра имеет представления, отличные от типа I, то по результатам Джеймса Глимма она также имеет представления типа II и типа III. Таким образом, для C*-алгебр и локально компактных групп имеет смысл говорить только о свойствах типа I и не типа I.

C*-алгебры и квантовая теория поля

В квантовой механике обычно описывается физическая система с помощью C*-алгебры A с единичным элементом; самосопряженные элементы A (элементы x с x* = x ) рассматриваются как наблюдаемые , измеримые величины системы. Состояние системы определяется как положительный функционал на A ( C -линейное отображение φ : A → C с φ( u*u ) ≥ 0 для всех u ∈ A ) такое, что φ(1) = 1. Ожидаемое значение наблюдаемой x , если система находится в состоянии φ, тогда равно φ( x ).

Этот подход C*-алгебры используется в аксиоматизации Хаага–Кастлера локальной квантовой теории поля , где каждое открытое множество пространства-времени Минковского связано с C*-алгеброй.

Смотрите также

• Банахова алгебра
• Банахова *-алгебра
• *-алгебра
• Гильберт C*-модуль
• Операторная К-теория
• Операторная система , унитальное подпространство C*-алгебры, которое *-замкнуто.
• Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала
• Алгебра оператора Жордана

Примечания

1. Доран и Белфи 1986, стр. 5–6, Google Книги.
2. Доран и Белфи 1986, стр. 6, Google Книги.
3. Сигал 1947
4. Сигал 1947, стр. 75
5. Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Рэймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, стр. 381–419. Октябрь 2003 г.

Ссылки

• Арвесон, В. (1976), Приглашение в C*-алгебру , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто знаком с основами функционального анализа .
• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , ISBN 0-12-185860-X. Эта книга широко рассматривается как источник нового исследовательского материала, дающий множество дополнительных интуитивных сведений, но она трудна.
• Диксмье, Жак (1969), Les C *-algèbres et leurs représentations , Готье-Виллар, ISBN 0-7204-0762-1. Это несколько устаревшая ссылка, но она по-прежнему считается высококачественным техническим изложением. Она доступна на английском языке в издательстве North Holland Press.
• Доран, Роберт С .; Бельфи, Виктор А. (1986), Характеризации C *-алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Эмч, Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3Математически строгий справочник, дающий обширные знания по физике.
• А.И. Штерн (2001) [1994], "C*-алгебра", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Сакаи, С. (1971), C*-алгебры и W*-алгебры , Springer, ISBN 3-540-63633-1.
• Сигал, Ирвинг (1947), «Неприводимые представления операторных алгебр», Бюллетень Американского математического общества , 53 (2): 73–88, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.