Гомеоморфизм

Отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить кофейную кружку от пончика ^[1] , поскольку достаточно гибкий пончик можно переделать в форму кофейной кружки , создав углубление и постепенно увеличивая его, при этом сохранив дырку от пончика в ручке кружки. Это иллюстрирует, что кофейная кружка и пончик ( тор ) гомеоморфны.

В математике и, более конкретно, в топологии , гомеоморфизм ( от греческих корней, означающих «подобная форма», названный Анри Пуанкаре ), ^{[2] [3]} также называемый топологическим изоморфизмом или бинепрерывной функцией , является биективной и непрерывная функция между топологическими пространствами , которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств — то есть, это отображения , которые сохраняют все топологические свойства данного пространства. Два пространства с гомеоморфизмом между ними называются гомеоморфными , и с топологической точки зрения они являются одним и тем же.

Грубо говоря, топологическое пространство — это геометрический объект, а гомеоморфизм возникает в результате непрерывной деформации объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор — нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не приводят к гомеоморфизмам, например, деформация линии в точку. Некоторые гомеоморфизмы не возникают в результате непрерывных деформаций, например, гомеоморфизм между узлом-трилистником и кругом. Гомотопия и изотопия — точные определения неформального понятия непрерывной деформации .

Определение

Функция между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом, если она обладает следующими свойствами: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$является биекцией ( один к одному и на ),
• ${\displaystyle f}$является непрерывным ,
• обратная функция непрерывна ( является открытым отображением ). ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Гомеоморфизм иногда называют бинепрерывной функцией. Если такая функция существует, и являются гомеоморфными . Самогомеоморфизм — это гомеоморфизм топологического пространства на себя. Быть «гомеоморфным» — это отношение эквивалентности на топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Третье требование, чтобы быть непрерывным , является существенным. Рассмотрим, например, функцию ( единичная окружность в ⁠ ⁠ ), определенную как Эта функция является биективной и непрерывной, но не гомеоморфизмом ( является компактной , но не является). Функция не является непрерывной в точке, поскольку, хотя отображение в любую окрестность этой точки также включает точки, которые функция отображает близко, но точки, которые она отображает в числа между ними, лежат вне окрестности. ^[4] ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ ${\textstyle S^{1}}$ ${\textstyle [0,2\pi )}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0),}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle 0,}$ ${\textstyle 2\pi ,}$

Гомеоморфизмы — это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом, композиция двух гомеоморфизмов снова является гомеоморфизмом, а множество всех самомоморфизмов образует группу , называемую группой гомеоморфизмов X , часто обозначаемую Этой группе можно задать топологию, например, компактно -открытую топологию , которая при определенных предположениях делает ее топологической группой . ^[5] ${\textstyle X\to X}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$

В некоторых контекстах существуют гомеоморфные объекты, которые не могут быть непрерывно деформированы из одного в другой. Гомотопия и изотопия — это отношения эквивалентности, которые были введены для решения таких ситуаций.

Аналогично, как обычно в теории категорий, если даны два гомеоморфных пространства, пространство гомеоморфизмов между ними является торсором для групп гомеоморфизмов и , а если задан конкретный гомеоморфизм между и , то все три множества идентифицируются. ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Примеры

Утолщенный трилистник гомеоморфен полноторию, но не изотопен ему . Непрерывные ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ отображения не всегда реализуются как деформации .

• Открытый интервал гомеоморфен действительным числам ⁠ ⁠ для любого (в этом случае бинепрерывное прямое отображение задается как , тогда как другие такие отображения задаются масштабированными и транслированными версиями функций tan или arg tanh ). ${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle a<b.}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$
• Единичный 2- диск и единичный квадрат в ⁠ ⁠ гомеоморфны; поскольку единичный диск может быть деформирован в единичный квадрат. Примером бинепрерывного отображения из квадрата в диск является, в полярных координатах , ${\textstyle D^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• График дифференцируемой функции гомеоморфен области определения функции .
• Дифференцируемая параметризация кривой — это гомеоморфизм между областью параметризации и кривой.
• Карта многообразия — это гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытым подмножеством евклидова пространства .
• Стереографическая проекция представляет собой гомеоморфизм между единичной сферой в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с удаленной одной точкой и множеством всех точек в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (двумерной плоскостью ).
• Если — топологическая группа , то ее отображение инверсии — гомеоморфизм. Также для любого левого переноса правый перенос и внутренний автоморфизм — гомеоморфизмы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle y\mapsto xy,}$ ${\displaystyle y\mapsto yx,}$ ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

Контрпримеры

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не гомеоморфны при m ≠ n .
• Евклидова действительная прямая не гомеоморфна единичной окружности как подпространству ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , поскольку единичная окружность компактна как подпространство евклидова ⁠ ⁠ , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ но действительная прямая не компактна.
• Одномерные интервалы и не являются гомеоморфными, поскольку один из них компактен, а другой — нет. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Характеристики

• Два гомеоморфных пространства обладают одинаковыми топологическими свойствами . Например, если одно из них компактно , то и другое тоже; если одно из них связно , то и другое тоже; если одно из них хаусдорфово , то и другое тоже; их гомотопические и гомологические группы будут совпадать. Однако следует отметить, что это не распространяется на свойства, определяемые через метрику ; существуют метрические пространства, которые являются гомеоморфными, даже если одно из них полно , а другое — нет.
• Гомеоморфизм одновременно является открытым и закрытым отображением ; то есть он отображает открытые множества в открытые множества, а замкнутые множества в замкнутые множества.
• Каждый самомоморфизм в можно продолжить до самомоморфизма всего круга ( приём Александра ). ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Неформальное обсуждение

Интуитивный критерий растяжения, сгибания, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения — из приведенного выше описания может быть неочевидно, что деформация отрезка прямой в точку недопустима, например. Поэтому важно понимать, что имеет значение именно формальное определение, данное выше. В этом случае, например, отрезок прямой обладает бесконечным числом точек и, следовательно, не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая одну точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которое на самом деле определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление непрерывной деформации является ментальным инструментом для отслеживания того, какие точки на пространстве X соответствуют каким точкам на Y — просто следуешь за ними по мере деформации X. В случае гомотопии непрерывная деформация от одного отображения к другому имеет существенное значение, и она также менее ограничительна, поскольку ни одно из задействованных отображений не должно быть взаимно-однозначным или на. Гомотопия действительно приводит к отношению на пространствах: гомотопической эквивалентности .

Существует название для вида деформации, используемой для визуализации гомеоморфизма. Это (за исключением случаев, когда требуется разрезание и пересклеивание) изотопия между тождественным отображением на X и гомеоморфизмом из X в Y.

Смотрите также

• Локальный гомеоморфизм  – Математическая функция, обратимая вблизи каждой точки
• Диффеоморфизм  – Изоморфизм дифференцируемых многообразий
• Равномерный изоморфизм  – Равномерно непрерывный гомеоморфизм – это изоморфизм между равномерными пространствами
• Изометрический изоморфизм  – Математическое преобразование, сохраняющее расстояние, Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправленияявляется изоморфизмом между метрическими пространствами.
• Группа гомеоморфизма
• твист Дена
• Гомеоморфизм (теория графов)  – Концепция в теории графов (тесно связана с подразделением графов)
• Гомотопия#Изотопия  – Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями
• Группа классов отображения  – Группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов
• Гипотеза Пуанкаре  – Теорема геометрической топологии
• Универсальный гомеоморфизм

Ссылки

1. Хаббард, Джон Х.; Уэст, Беверли Х. (1995). Дифференциальные уравнения: подход динамических систем. Часть II: Системы более высокого измерения. Тексты по прикладной математике. Т. 18. Springer. С. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
2. Пуанкаре, Х. (1895). Анализ Ситус. Журнал политехнической школы. Готье-Виллар. OCLC  715734142. Архивировано из оригинала 11 июня 2016 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
   Пуанкаре, Анри (2010). Статьи по топологии: Analysis Situs и его пять дополнений . Перевод Стиллвелла, Джона. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5234-7.
3. Gamelin, TW; Greene, RE (1999). Введение в топологию (2-е изд.). Dover. стр. 67. ISBN 978-0-486-40680-0.
4. Вяйсяля, Юсси (1999). Топология I. Лаймс Р.Ю. п. 63. ИСБН 951-745-184-9.
5. Дейкстра, Ян Дж. (1 декабря 2005 г.). «О группах гомеоморфизмов и компактно-открытой топологии» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (10): 910–912. doi :10.2307/30037630. JSTOR  30037630. Архивировано (PDF) из оригинала 16 сентября 2016 г.

Внешние ссылки

• «Гомеоморфизм», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]