Begriffsschrift

Книга по логике 1879 года Готлоба Фреге

Begriffsschrift (в переводе с немецкого означает «запись понятий») — книга по логике Готлоба Фреге , опубликованная в 1879 году, и формальная система, изложенная в этой книге.

Begriffsschrift обычно переводится как написание понятий или запись понятий ; полное название книги определяет ее как « язык формул , смоделированный по образцу арифметического , для чистой мысли ». Мотивация Фреге к разработке своего формального подхода к логике напоминала мотивацию Лейбница для его исчисления логосов (несмотря на то, что в предисловии Фреге явно отрицает, что он достиг этой цели, а также то, что его главной целью было бы построение идеального языка, подобного языку Лейбница, который Фреге объявляет довольно сложной и идеалистической — хотя и не невозможной — задачей). Фреге продолжал использовать свое логическое исчисление в своих исследованиях по основаниям математики , проводившихся в течение следующей четверти века. Это первая работа в аналитической философии , области, которую в дальнейшем развивали будущие британские и англоязычные философы, такие как Бертран Рассел .

Обозначения и система

Исчисление содержит первое появление квантифицированных переменных и по сути является классической двухвалентной логикой второго порядка с тождеством. Оно двухвалентно в том, что предложения или формулы обозначают либо Истину, либо Ложь; второго порядка, потому что оно включает переменные отношения в дополнение к переменным объекта и допускает квантификацию по обоим. Модификатор «с тождеством» указывает, что язык включает отношение тождества, =. Фреге заявил, что его книга была его версией characteristicsa universalis , лейбницевской концепции, которая будет применяться в математике. ^[1]

Фреге представляет свое исчисление, используя своеобразную двумерную нотацию : связки и квантификаторы записываются с использованием линий, соединяющих формулы, а не символов ¬, ∧ и ∀, используемых сегодня. Например, то, что суждение B материально подразумевает суждение A , т.е. записывается как ${\displaystyle B\rightarrow A}$.

В первой главе Фреге определяет основные идеи и обозначения, такие как суждение («суждение»), квантор всеобщности («всеобщность»), условное наклонение , отрицание и «знак тождества содержания» (который он использовал для обозначения как материальной эквивалентности , так и собственно тождества); во второй главе он объявляет девять формализованных суждений аксиомами. ${\displaystyle \equiv }$

В главе 1, §5, Фреге определяет условное наклонение следующим образом:

«Пусть A и B относятся к оцениваемому содержанию, тогда четыре возможности таковы:

1. А утверждается, В утверждается;
2. А утверждается, В отрицается;
3. А отрицается, В утверждается;
4. А отрицается, В отрицается.

Позволять

означает, что третья из этих возможностей не достигается, но одна из трех других достигается. Так что если мы отрицаем, это означает, что третья возможность верна, т.е. мы отрицаем А и утверждаем В.

Исчисление в трудах Фреге

Фреге объявил девять своих положений аксиомами и обосновал их, неформально утверждая, что, учитывая их предполагаемые значения, они выражают самоочевидные истины. Перефразированные в современной нотации, эти аксиомы таковы:

1. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}$
2. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}$
3. ${\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}$
4. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}$
5. ${\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}$
6. ${\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}$
7. ${\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f\left(c\right)=f\left(d\right)\right)}$
8. ${\displaystyle \vdash \ \ c=c}$
9. ${\displaystyle \vdash \ \ \forall a\ f(a)\rightarrow \ f(c)}$

Это предложения 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 и 58 в Begriffschrifft . (1)–(3) управляют материальной импликацией , (4)–(6) отрицанием , (7) и (8) тождеством и (9) квантором всеобщности . (7) выражает неразличимость Лейбница тождественных , а (8) утверждает, что тождество является рефлексивным отношением .

Все остальные предложения выводятся из (1)–(9) путем применения любого из следующих правил вывода :

• Modus ponens позволяет нам делать выводы из и ; ${\displaystyle \vdash B}$ ${\displaystyle \vdash A\to B}$ ${\displaystyle \vdash A}$
• Правило обобщения позволяет нам сделать вывод из того, что если x не встречается в P ; ${\displaystyle \vdash P\to \forall xA(x)}$ ${\displaystyle \vdash P\to A(x)}$
• Правило подстановки , которое Фреге не формулирует явно. Это правило гораздо сложнее сформулировать точно, чем два предыдущих правила, и Фреге использует его способами, которые не являются очевидно законными.

Основные результаты третьей главы, озаглавленной «Части общей теории рядов», касаются того, что теперь называется предком отношения R. « a является R - предком b » записывается как « aR * b ».

Фреге применил результаты из Begriffsschrifft , включая результаты о предке отношения, в своей более поздней работе The Foundations of Arithmetic . Таким образом, если мы возьмем xRy как отношение y = x + 1, то 0 R * y будет предикатом « y есть натуральное число». (133) говорит, что если x , y и z являются натуральными числами , то должно выполняться одно из следующих: x < y , x = y или y < x . Это так называемый «закон трихотомии ».

Влияние на другие работы

Для тщательного недавнего исследования того, как Begriffsschrift был рассмотрен в немецкой математической литературе, см. Vilko (1998). Некоторые рецензенты, особенно Эрнст Шрёдер , были в целом благосклонны. Все работы по формальной логике после Begriffsschrift обязаны ему, потому что его логика второго порядка была первой формальной логикой, способной представлять значительную часть математики и естественного языка.

Некоторый остаток нотации Фреге сохранился в символе « турникет » , полученном из его «Urteilsstrich» ( штрих суждения/вывода ) │ и «Inhaltsstrich» ( штрих содержания ) ──. Фреге использовал эти символы в Begriffsschrift в унифицированной форме ├─ для объявления того, что предложение истинно. В своих более поздних «Grundgesetze» он немного пересматривает свою интерпретацию символа ├─. ${\displaystyle \vdash }$

В "Begriffsschrift" "Definitionsdoppelstrich" (т. е. двойной штрих определения ) │├─ указывает на то, что предложение является определением. Кроме того, знак отрицания можно прочитать как комбинацию горизонтального Inhaltsstrich с вертикальным штрихом отрицания. Этот символ отрицания был вновь введен Аренда Гейтингом ^[2] в 1930 году для различения интуиционистского и классического отрицания. Он также появляется в докторской диссертации Герхарда Генцена . ${\displaystyle \neg }$

В «Логико-философском трактате» Людвиг Витгенштейн отдает дань уважения Фреге, используя термин Begriffsschrift как синоним логического формализма.

В эссе Фреге 1892 года « О смысле и референции » он отрекается от некоторых выводов Begriffsschrift о тождестве (обозначаемом в математике знаком «=»). В частности, он отвергает точку зрения «Begriffsschrift», согласно которой предикат тождества выражает отношение между именами, в пользу заключения о том, что он выражает отношение между объектами , которые обозначаются этими именами.

Издания

• Готтлоб Фреге . Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens . Галле-ан-дер-Заале: Верлаг фон Луи Неберта, 1879 г.

Переводы:

• Байнум, Террелл Уорд, перевод и редактирование, 1972. Концептуальная нотация и связанные статьи , с биографией и введением. Oxford University Press .
• Бауэр-Менгельберг, Стефан, 1967, «Концептуальный сценарий» в книге Жана ван Хейеноорта , изд., От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета .
• Бини, Майкл, 1997, «Begriffsschrift: Избранное (Предисловие и Часть I)» в The Frege Reader . Оксфорд: Blackwell.

Смотрите также

• Родовая связь
• Исчисление эквивалентных выражений
• Логика первого порядка
• Предыдущая аналитика
• Законы Мысли
• Principia Mathematica

Ссылки

1. Корте, Тапио (22 октября 2008 г.). «Begriffsschrift Фреге как характерный язык». Синтезируйте . 174 (2): 283–294. doi : 10.1007/s11229-008-9422-7. S2CID  20587814.
2. Аренд Хейтинг: «Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik», в: Sitzungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse , 1930, стр. 42–65.

Библиография

• Джордж Булос , 1985. «Чтение Begriffsschrift », Mind 94: 331–344.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Princeton University Press.
• Ристо Вилкко, 1998, «Прием Begriffsschrift Фреге», Historia Mathematica 25 (4) : 412–422.

Внешние ссылки

• Залта, Эдвард Н. «Логика, теорема и основания арифметики Фреге». В Залта, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Begriffsschrift в виде факсимиле для скачивания (2,5 МБ)
• Эзотерический язык программирования : "Gottlob: Write Code in Frege's Concept Notation". esoteric.codes . 2020-03-27 . Получено 2022-06-19 .