Белл государство

Квантовые состояния двух кубитов

В квантовой информатике состояния Белла или пары ЭПР ^{[1] : 25} являются конкретными квантовыми состояниями двух кубитов , которые представляют собой простейшие примеры квантовой запутанности . Состояния Белла являются формой запутанных и нормализованных базисных векторов . Эта нормализация подразумевает, что общая вероятность нахождения частиц в одном из упомянутых состояний равна 1:. Запутанность является независимым от базиса результатом суперпозиции . ^[2] Из-за этой суперпозиции измерение кубита « схлопнет » его в одно из его базисных состояний с заданной вероятностью. ^[1] Из-за запутанности измерение одного кубита «схлопнет» другой кубит в состояние, измерение которого даст одно из двух возможных значений, где значение зависит от того, в каком состоянии Белла находятся два кубита изначально. Состояния Белла можно обобщить на определенные квантовые состояния многокубитных систем, такие как состояние GHZ для трех или более подсистем. ${\displaystyle \langle \Phi |\Phi \rangle =1}$

Понимание состояний Белла полезно при анализе квантовой коммуникации, такой как сверхплотное кодирование и квантовая телепортация . ^[3] Теорема об отсутствии коммуникации не позволяет этому поведению передавать информацию быстрее скорости света. ^[1]

Белл заявляет

Состояния Белла — это четыре конкретных максимально запутанных квантовых состояния двух кубитов . Они находятся в суперпозиции 0 и 1 — линейной комбинации двух состояний. Их запутанность означает следующее:

Кубит, удерживаемый Алисой (нижний индекс «A»), может находиться в суперпозиции 0 и 1. Если бы Алиса измерила свой кубит в стандартном базисе, результат был бы либо 0, либо 1, каждый с вероятностью 1/2; если бы Боб (нижний индекс «B») также измерил свой кубит, результат был бы таким же, как у Алисы. Таким образом, Алиса и Боб, по-видимому, имели бы случайный результат. Благодаря общению они обнаружили бы, что, хотя их результаты по отдельности кажутся случайными, они идеально коррелируют.

Эта идеальная корреляция на расстоянии является особенной: возможно, две частицы «договорились» заранее, когда была создана пара (до того, как кубиты были разделены), о том, какой результат они покажут в случае измерения.

Следовательно, следуя Эйнштейну , Подольскому и Розену в их знаменитой « EPR- статье» 1935 года, в описании пары кубитов, приведенном выше, чего-то не хватает, а именно этого «соглашения», более формально называемого скрытой переменной . В своей знаменитой статье 1964 года Джон С. Белл показал с помощью простых аргументов теории вероятностей , что эти корреляции (одна для базиса 0, 1 и одна для базиса +, −) не могут обе быть сделаны идеальными с помощью какого-либо «предварительного соглашения», хранящегося в некоторых скрытых переменных, — но что квантовая механика предсказывает идеальные корреляции. В более уточненной формулировке, известной как неравенство Белла–CHSH , показано, что определенная мера корреляции не может превышать значения 2, если предположить, что физика соблюдает ограничения локальной теории «скрытых переменных» (своего рода формулировка здравого смысла того, как передается информация), но определенные системы, разрешенные в квантовой механике, могут достигать значений, достигающих . Таким образом, квантовая теория нарушает неравенство Белла и идею локальных «скрытых параметров». ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

База колокола

Четыре конкретных двухкубитных состояния с максимальным значением обозначены как «состояния Белла». Они известны как четыре максимально запутанных двухкубитных состояния Белла и образуют максимально запутанный базис, известный как базис Белла, четырехмерного гильбертова пространства для двух кубитов: ^[1] ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (1)}$

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}{\big )}\qquad (2)}$

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (3)}$

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\big )}\qquad (4)}$

Создание состояний Белла с помощью квантовых цепей

Квантовая схема для создания состояния Белла . ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Хотя существует множество возможных способов создания запутанных состояний Белла с помощью квантовых схем , простейший из них берет вычислительную основу в качестве входных данных и содержит вентиль Адамара и вентиль CNOT (см. рисунок). Например, изображенная квантовая схема берет входные данные двух кубитов и преобразует их в первое состояние Белла. Явно вентиль Адамара преобразуется в суперпозицию . Затем это будет действовать как управляющий вход для вентиля CNOT, который инвертирует целевой (второй кубит) только тогда, когда управляющий (первый кубит) равен 1. Таким образом, вентиль CNOT преобразует второй кубит следующим образом . ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle .}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle (|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle }$

Для четырех основных двухкубитных входов, схема выводит четыре состояния Белла (перечисленные выше). В более общем смысле, схема преобразует вход в соответствии с уравнением ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }$

$${\displaystyle |\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),}$$

где — отрицание . ^[1] ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle y}$

Свойства состояний Белла

Результат измерения одного кубита в состоянии Белла неопределен, но при измерении первого кубита в z -базисе результат измерения второго кубита гарантированно даст то же самое значение (для состояний Белла) или противоположное значение (для состояний Белла). Это подразумевает, что результаты измерений коррелируют. Джон Белл был первым, кто доказал, что корреляции измерений в состоянии Белла сильнее, чем когда-либо могли бы существовать между классическими системами. Это намекает на то, что квантовая механика допускает обработку информации за пределами того, что возможно в классической механике. Кроме того, состояния Белла образуют ортонормальный базис и, следовательно, могут быть определены с помощью соответствующего измерения. Поскольку состояния Белла являются запутанными состояниями, информация о всей системе может быть известна, при этом скрывая информацию об отдельных подсистемах. Например, состояние Белла является чистым состоянием , но оператор приведенной плотности первого кубита является смешанным состоянием . Смешанное состояние подразумевает, что не вся информация об этом первом кубите известна. ^[1] Состояния Белла являются либо симметричными, либо антисимметричными относительно подсистем. ^[2] Состояния Белла максимально запутаны в том смысле, что их приведенные операторы плотности максимально смешаны; многочастичное обобщение состояний Белла в этом духе называется абсолютно максимально запутанным (AME) состоянием . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Измерение состояния колокола

Измерение Белла является важной концепцией в квантовой информатике : это совместное квантово-механическое измерение двух кубитов , которое определяет, в каком из четырех состояний Белла находятся два кубита.

Квантовая схема, которая выполняет декодирование Белла. Состояния Белла иногда называют парами EPR. Обратите внимание, что схема, которая декодирует состояние Белла, является сопряженной к схеме, которая кодирует или создает состояния Белла (описанной выше).

Полезный пример квантового измерения в базисе Белла можно увидеть в квантовых вычислениях. Если применить вентиль CNOT к кубитам A и B, а затем вентиль Адамара к кубиту A, можно выполнить измерение в вычислительном базисе. Вентиль CNOT выполняет действие по распутыванию двух ранее запутанных кубитов. Это позволяет преобразовать информацию из квантовой информации в измерение классической информации.

Квантовое измерение подчиняется двум ключевым принципам. Первый принцип, принцип отложенного измерения , гласит, что любое измерение может быть перемещено в конец цепи. Второй принцип, принцип неявного измерения, гласит, что в конце квантовой цепи измерение может предполагаться для любых незаконченных проводов. ^[1]

Ниже приведены приложения измерений состояния Белла:

Измерение состояния Белла является решающим шагом в квантовой телепортации . Результат измерения состояния Белла используется соучастником для реконструкции исходного состояния телепортированной частицы из половины запутанной пары («квантового канала»), которая ранее была разделена между двумя концами.

Эксперименты, использующие так называемые методы "линейной эволюции, локального измерения", не могут реализовать полное измерение состояния Белла. Линейная эволюция означает, что детекторный аппарат действует на каждую частицу независимо от состояния или эволюции другой, а локальное измерение означает, что каждая частица локализуется на определенном детекторе, регистрирующем "щелчок", указывающий на то, что частица была обнаружена. Такие устройства могут быть сконструированы, например, из зеркал, светоделителей и волновых пластин — и привлекательны с экспериментальной точки зрения, поскольку просты в использовании и имеют высокое сечение измерения .

Для запутывания в одной переменной кубита только три отдельных класса из четырех состояний Белла различимы с использованием таких линейных оптических методов. Это означает, что два состояния Белла не могут быть различимы друг от друга, что ограничивает эффективность квантовых коммуникационных протоколов, таких как телепортация . Если состояние Белла измеряется из этого неоднозначного класса, событие телепортации терпит неудачу.

Запутывание частиц в нескольких кубитных переменных, таких как (для фотонных систем) поляризация и двухэлементное подмножество орбитальных угловых состояний, позволяет экспериментатору отслеживать одну переменную и достигать полного измерения состояния Белла в другой. ^[4] Таким образом, использование так называемых гиперзапутанных систем имеет преимущество для телепортации. Оно также имеет преимущества для других протоколов, таких как сверхплотное кодирование , в котором гиперзапутанность увеличивает пропускную способность канала.

В общем случае для гиперзапутанности в переменных можно различать большинство классов состояний Белла, используя линейные оптические методы. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle 4^{n}}$

Корреляции состояния Белла

Независимые измерения, выполненные на двух кубитах, запутанных в состояниях Белла, положительно коррелируют идеально, если каждый кубит измеряется в соответствующем базисе. Для состояния это означает выбор одного и того же базиса для обоих кубитов. Если экспериментатор решит измерить оба кубита в состоянии Белла, используя один и тот же базис, кубиты будут казаться положительно коррелированными при измерении в базисе, антикоррелированными в базисе ^[a] и частично (вероятностно) коррелированными в других базисах. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

Корреляции можно понять, измерив оба кубита в одном и том же базисе и наблюдая идеально антикоррелированные результаты. В более общем смысле, можно понять, измерив первый кубит в базисе , второй кубит в базисе , и наблюдая идеально положительно коррелированные результаты. ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}=X.b_{1}}$

Связь между коррелированными базами двух кубитов в состоянии. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$

Приложения

Сверхплотное кодирование

Сверхплотное кодирование позволяет двум людям передавать два бита классической информации, отправляя только один кубит. Основой этого явления являются запутанные состояния или состояния Белла двухкубитной системы. В этом примере Алиса и Боб находятся очень далеко друг от друга, и каждому из них дано по одному кубиту запутанного состояния.

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$.

В этом примере Алиса пытается передать два бита классической информации, одну из четырех двухбитных строк: или . Если Алиса решит отправить двухбитное сообщение , она выполнит фазовый переворот для своего кубита. Аналогично, если Алиса захочет отправить , она применит вентиль НЕ; если она захочет отправить , она применит вентиль к своему кубиту; и, наконец, если Алиса захочет отправить двухбитное сообщение , она ничего не сделает со своим кубитом. Алиса выполняет эти квантовые преобразования вентилей локально, преобразуя начальное запутанное состояние в одно из четырех состояний Белла. ${\displaystyle '00','01','10',}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle '01'}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle '10'}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle iY}$ ${\displaystyle '00'}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Приведенные ниже шаги показывают необходимые преобразования квантовых вентилей и результирующие состояния Белла, которые Алисе необходимо применить к своему кубиту для каждого возможного двухбитного сообщения, которое она хочет отправить Бобу.

${\displaystyle 00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 01:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle }$

${\displaystyle 10:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 11:-iY=XZ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle }$.

После того, как Алиса применила желаемые преобразования к своему кубиту, она отправляет его Бобу. Затем Боб выполняет измерение состояния Белла, которое проецирует запутанное состояние на один из четырех двухкубитных базисных векторов, один из которых будет совпадать с исходным двухбитным сообщением, которое Алиса пыталась отправить.

Квантовая телепортация

Квантовая телепортация — это передача квантового состояния на расстояние. Она осуществляется запутыванием между A, дающим, и B, получателем этого квантового состояния. Этот процесс стал фундаментальной темой исследования квантовой коммуникации и вычислений. Совсем недавно ученые тестировали его применение в передаче информации через оптические волокна. ^[6] Процесс квантовой телепортации определяется следующим образом:

Алиса и Боб разделяют пару EPR, и каждый взял по одному кубиту, прежде чем они разделились. Алиса должна доставить кубит информации Бобу, но она не знает состояния этого кубита и может отправить Бобу только классическую информацию.

Это выполняется поэтапно следующим образом:

1. Алиса отправляет свои кубиты через вентиль CNOT .
2. Затем Алиса отправляет первый кубит через вентиль Адамара .
3. Алиса измеряет свои кубиты, получая один из четырех результатов, и отправляет эту информацию Бобу.
4. Учитывая измерения Алисы, Боб выполняет одну из четырех операций над своей половиной пары ЭПР и восстанавливает исходное квантовое состояние. ^[1]

Следующая квантовая схема описывает телепортацию:

Квантовая схема для телепортации кубита

Квантовая криптография

Квантовая криптография — это использование квантово-механических свойств для безопасного кодирования и отправки информации. Теория, лежащая в основе этого процесса, заключается в том, что невозможно измерить квантовое состояние системы, не нарушив ее. Это можно использовать для обнаружения подслушивания внутри системы.

Наиболее распространенной формой квантовой криптографии является квантовое распределение ключей . Оно позволяет двум сторонам создавать общий случайный секретный ключ, который может использоваться для шифрования сообщений. Его закрытый ключ создается между двумя сторонами через открытый канал. ^[1]

Квантовую криптографию можно рассматривать как состояние запутанности между двумя многомерными системами, также известное как запутанность двух кудитов (квантовых цифр). ^[2]

Смотрите также

• Эксперименты с тестом Белла
• Неравенство Белла
• ЭПР-парадокс
• Состояние ГГЦ
• Сверхплотное кодирование
• Квантовая телепортация
• Квантовая криптография
• Квантовые схемы
• Состояние диагонали Белла

Примечания

1. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}$

Ссылки

1. Нильсен, Майкл (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация . Cambridge University Press. ISBN 9781139495486.
2. Sych, Denis (7 января 2009 г.). "Полный базис обобщенных состояний Белла". New Journal of Physics . 11 (1): 013006. Bibcode : 2009NJPh...11a3006S. doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 – через IOP Science.
3. Заман, Факхар; Чон, Ёнмин (2 октября 2018 г.). «Анализ контрфактуального состояния Белла». Scientific Reports . 8 (1): 14641. Bibcode :2018NatSR...814641Z. doi : 10.1038/s41598-018-32928-8 . PMC 6168595 . PMID  30279547. 
4. Квиат, Вайнфуртер. «Встроенный анализ состояния Белла»
5. Писенти, Гэблер, Линн. «Отличимость гиперзапутанных состояний Белла с помощью линейной эволюции и локального измерения»
6. Хуо, Мейру (19 октября 2018 г.). «Детерминированная квантовая телепортация через оптоволоконные каналы». Science Advances . 4 (10): eaas9401. Bibcode : 2018SciA....4.9401H. doi : 10.1126 /sciadv.aas9401 . PMC 6195333. PMID  30345350. 

• Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5, стр. 25.
• Кей, Филлип; Лафламм, Рэймонд ; Моска, Мишель (2007), Введение в квантовые вычисления , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-857049-3, стр. 75.
• О парадоксе Эйнштейна, Подольского и Розена , Bell System Technical Journal , 1964.