Бесконечное кардинальное число
В математике , особенно в теории множеств , числа Бет — это определенная последовательность бесконечных кардинальных чисел (также известных как трансфинитные числа ), условно записываемая , где находится еврейская буква Бет . Числа Бет связаны с числами алефов ( ), но, если гипотеза обобщенного континуума не верна, существуют числа, индексированные , которые не индексируются .![{\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \алеф _{0},\ \алеф _{1},\ \dots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \алеф }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \бет }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение
Числа Бет определяются трансфинитной рекурсией :
![{\displaystyle \beth _{0} =\aleph _{0},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{\lambda } =\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – порядковый номер, а – предельный порядковый номер . [1]![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кардинал — это мощность любого счетно-бесконечного множества, такого как множество натуральных чисел , так что .
![{\displaystyle \mathbb {N} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пусть — порядковый номер, а — множество мощности . Затем, ![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
обозначает набор мощности (т. е. набор всех подмножеств ),![{\displaystyle A_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- множество обозначает множество всех функций от до {0,1},
![{\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- кардинал является результатом кардинального возведения в степень , и
![{\displaystyle 2^{\бет _{\альфа }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- мощность набора мощности .![{\displaystyle A_{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Учитывая это определение,
![{\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
соответственно мощности
![{\displaystyle \mathbb {N},\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N}),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N})), \ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
так что второе число бета равно мощности континуума (мощности множества действительных чисел ), а третье число бета - мощности набора степеней континуума.![{\displaystyle \бет _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {c}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \бет _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго большую, чем предыдущая. Для бесконечных предельных ординалов , λ, соответствующее число бета определяется как верхняя грань чисел бета для всех ординалов, строго меньших, чем λ:
![{\displaystyle \beth _{\lambda } =\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Можно также показать, что вселенные фон Неймана имеют мощность .![{\displaystyle V_{\omega +\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \бет _{\альфа }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Связь с числами алефа
Предполагая аксиому выбора , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть несопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между и нет бесконечных мощностей , отсюда следует, что ![{\displaystyle \алеф _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \алеф _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Повторение этого аргумента (см. трансфинитную индукцию ) дает результат
для всех порядковых номеров .![{\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Гипотеза континуума эквивалентна
![{\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что определенная таким образом последовательность чисел Бет такая же, как и последовательность чисел алеф , т. е.
для всех порядковых номеров .![{\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \альфа }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Конкретные кардиналы
Бет ноль
Поскольку это определено как aleph null , множества с мощностью включают в себя:![{\displaystyle \алеф _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \бет _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Бет один
Наборы с кардинальностью включают в себя:![{\displaystyle \бет _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Бет два
(произносится как бет два ) также называется 2 c (произносится как два в степени с ).
Наборы с кардинальностью включают в себя:![{\displaystyle \бет _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Набор мощности набора действительных чисел , то есть это количество подмножеств действительной линии или количество наборов действительных чисел.
- Набор степеней множества натуральных чисел
- Набор всех функций от R до R ( RR )
- Набор всех функций от R m до R n
- Множество всех функций из R в R с несчетными разрывами [2]
- Набор мощности набора всех функций от набора натуральных чисел до себя, то есть это количество наборов последовательностей натуральных чисел.
- Компактификации Стоуна –Чеха R , Q и N
- Множество детерминированных фракталов в R n [3]
- Множество случайных фракталов в R n [4]
Бет омега
(произносится как «бет омега» ) — наименьший неисчисляемый кардинал сильного предела .
Обобщение
Иногда используется более общий символ для ординалов α и кардиналов κ . Это определяется:![{\ Displaystyle \ Бет _ {\ альфа } (\ каппа)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{0}(\kappa)=\kappa,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa)=2^{\beth _{\alpha }(\kappa)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
если λ — предельный ординал.
Так
![{\displaystyle \beth _{\alpha } =\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) для любых кардиналов κ и µ существует ординал α такой, что:
![{\ displaystyle \ каппа \ leq \ beth _ {\ альфа } (\ му).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
А в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β :
![{\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa)) = \beth _{\alpha +\beta }(\kappa).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, в ZF отсутствуют ur-элементы с аксиомой выбора или без нее , для любых кардиналов κ и µ выполняется равенство
![{\ displaystyle \ beth _ {\ beta } (\ каппа) = \ beth _ {\ beta } (\ mu)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
справедливо для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала β ≥ α .
Это также справедливо в теории множеств Цермело–Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равнозначное чистому множеству (множество, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.
Борелевская определенность
Определенность по Борелю подразумевается существованием всех ставок счетного индекса. [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Джех, Томас (2002). Теория множеств (издание 3-го тысячелетия, переработка и расширение. Исправленное 4-е издание, изд. 2006 г.). Спрингер. п. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7.
- ^ аб Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F (R, R)». Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .
- ^ Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов». Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .
- ^ Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов». Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
- ↑ Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены». Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.
Библиография