В геометрии бинарная мозаика ( иногда называемая мозаикой Бёрёцкого ) [1] — это мозаика гиперболической плоскости , напоминающая квадродерево над моделью полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости. Плитки конгруэнтны, каждая из них примыкает к пяти другим. Они могут быть выпуклыми пятиугольниками или невыпуклыми фигурами с четырьмя сторонами, попеременно отрезками прямых и орициклическими дугами, встречающимися под четырьмя прямыми углами.
Существует несчетное количество различных бинарных мозаик для заданной формы плитки. Все они слабо апериодичны , что означает, что они могут иметь одномерную группу симметрии , но не двумерное семейство симметрий. Существуют бинарные мозаики с плитками произвольно малой площади.
Бинарные мозаики были впервые изучены математически в 1974 году Кароем Бёрёцки . Тесно связанные мозаики использовались с конца 1930-х годов в диаграмме Смита для радиотехники и появились в печати 1957 года М. К. Эшера .
Мозаика поверхности — это покрытие поверхности геометрическими фигурами , называемыми плитками , без наложений и зазоров. Примером может служить знакомая мозаичная плитка евклидовой плоскости квадратами , встречающимися ребром к ребру, [2], как это можно увидеть, например, во многих ванных комнатах. [3] Когда все плитки имеют одинаковую форму и размер (они все конгруэнтны ), мозаичная плитка называется моноэдральной мозаичной плиткой , а форма плиток называется протоплиткой мозаичной плитки. [2] Бинарные мозаичные плитки — это моноэдральные мозаичные плитки гиперболической плоскости , разновидности неевклидовой геометрии с другими понятиями длины, площади, конгруэнтности и симметрии, чем у евклидовой плоскости. [4]
Две общие модели для гиперболической плоскости — модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . В них точки гиперболической плоскости моделируются точками в евклидовой плоскости, в открытом диске или полуплоскости над горизонтальной линией соответственно. Гиперболические линии моделируются теми евклидовыми окружностями и линиями, которые пересекают границу модели перпендикулярно . Граничные точки модели называются идеальными точками , а гиперболическая линия, проходящая через идеальную точку, называется асимптотической к ней. Модель полуплоскости имеет еще одну идеальную точку, точку на бесконечности , асимптотическую ко всем вертикальным линиям. Другой важный класс гиперболических кривых, называемых орициклами , моделируется как окружности, которые касаются границы модели, или как горизонтальные линии в модели полуплоскости. Орициклы асимптотически относятся к своей точке касания или к точке на бесконечности, если у них ее нет. [5] [6]
В одной из версий бинарной мозаики каждая плитка представляет собой форму, ограниченную двумя гиперболическими линиями и двумя орициклами. Эти четыре кривые должны быть асимптотическими к одной и той же идеальной точке, с двумя орициклами на гиперболическом расстоянии друг от друга. При таком выборе плитка имеет четыре прямых угла, как прямоугольник, со сторонами, чередующимися между сегментами гиперболических линий и дугами орициклов. Выбор в качестве расстояния между двумя орициклами приводит к тому, что одна из двух дуг орициклов (дальше от асимптотической точки) имеет в два раза большую гиперболическую длину, чем противоположная дуга. Копии этой формы, встречающиеся ребром к ребру вдоль своих сторон сегмента линии, могут замостить область в форме плиты или полумесяца между двумя орициклами. Вложенное семейство этих плит или полумесяцев может затем замостить всю гиперболическую плоскость, выстроившись так, чтобы длинная дуга каждой плитки в одной плите была покрыта короткими дугами двух плиток в следующей плите. Результатом является бинарная мозаика. [1]
В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии каждая плитка может быть смоделирована как квадрат или прямоугольник, параллельный оси. [4] [7] В этой модели лучи, проходящие через вертикальные стороны плитки, моделируют гиперболические прямые, асимптотические к точке на бесконечности, а прямые, проходящие через горизонтальные стороны плитки, моделируют орициклы, асимптотические к той же точке. [5] Гиперболическая длина дуги горизонтального орицикла равна ее евклидовой длине, деленной на ее -координату, в то время как гиперболическое расстояние между точками с одинаковой -координатой равно логарифму отношения их -координат. [6] Из этих фактов можно вычислить, что последовательные орициклы бинарной мозаики на гиперболическом расстоянии моделируются горизонтальными линиями, евклидово расстояние которых от -оси удваивается на каждом шаге, и что две нижние полудуги бинарной плитки равны верхней дуге.
Альтернативная и комбинаторно эквивалентная версия мозаики размещает свои вершины в тех же точках, но соединяет их гиперболическими отрезками вместо дуг орициклов, так что каждая плитка становится гиперболическим выпуклым пятиугольником. Это делает мозаику правильной пятиугольной мозаикой . [7] [8] Гиперболические линии, проходящие через невертикальные стороны этих плиток, моделируются в модели полуплоскости полуокружностями с центром на оси , а стороны образуют дуги этих полуокружностей. [6]
В квадратной мозаике евклидовой плоскости каждые две плитки расположены одинаково: есть симметрия всей мозаики ( трансляция ), которая переводит одну плитку в другую. Но бинарная мозаика не имеет симметрий, которые переводят каждую плитку в каждую другую плитку. Например, для четырех плиток на два уровня ниже любой данной плитки, никакая симметрия не переводит среднюю плитку во внешнюю плитку. Кроме того, есть только один способ замостить евклидову плоскость квадратными плитками, которые встречаются ребром к ребру, но существует несчетное количество бинарных мозаик ребром к ребру. [1] Протоплитка бинарной мозаики может быть изменена, чтобы заставить мозаику быть ребром к ребру, путем добавления небольших выступов к некоторым сторонам и сопоставления углублений с другими. [4]
Некоторые бинарные мозаики имеют одномерную бесконечную группу симметрии. Например, когда бинарная мозаика рассматривается в модели полуплоскости, может быть возможно масштабировать модель на любую степень двойки без изменения мозаики. Когда это возможно, мозаика имеет бесконечно много симметрий, по одной на каждую степень двойки. [1] Однако ни одна бинарная мозаика не имеет двумерной группы симметрии. Это можно выразить математически, сказав, что невозможно найти конечный набор плиток, такой, что все плитки могут быть отображены в конечный набор симметрией мозаики. Более технически, ни одна бинарная мозаика не имеет кокомпактной группы симметрии . [ 4]
Как плитка, все мозаики которой не полностью периодические, протоплитка бинарной мозаики решает аналог проблемы Эйнштейна в гиперболической плоскости. Эта проблема требует единственной протоплитки, которая мозаика только апериодически; спустя долгое время после открытия бинарных мозаик она была решена в евклидовой плоскости открытием мозаик «шляпка» и «спектр». Однако бинарные мозаики являются лишь слабо апериодическими , что означает, что ни одна мозаика не имеет двумерной группы симметрий. Поскольку они могут иметь одномерные симметрии, бинарные мозаики не являются строго апериодическими . [9]
В бинарных мозаиках, сильнее, чем когда все плитки имеют одинаковую форму, все первые короны плиток имеют одинаковую форму (возможно, после отражения). Первая корона — это набор плиток, касающихся одной центральной плитки. Здесь короны считаются одинаковыми, если они являются отражениями друг друга. Для мозаик евклидовой плоскости, когда все первые короны одинаковы, это означает, что мозаика периодическая и изоэдральная , то есть все плитки симметричны друг другу. Бинарные мозаики показывают, что в гиперболической плоскости мозаика может иметь конгруэнтные короны, не будучи изоэдральной. [10]
Двойственные плитки бинарных плиток формируются путем выбора опорной точки внутри каждой плитки бинарной плитки и соединения пар опорных точек плиток, которые имеют общее ребро друг с другом. Они не являются моноэдральными: бинарные плитки имеют вершины, где встречаются три или четыре плитки, и соответственно двойные плитки имеют некоторые плитки, которые являются треугольниками, и некоторые плитки, которые являются четырехугольниками. Тот факт, что бинарные плитки непериодичны, но моноэдральны (имеют только одну форму плитки), переводит эквивалентный факт о двойных плитках: они непериодичны, но монокорональны , имея тот же узор плиток, окружающих каждую вершину. [7]
Бинарные мозаики были впервые изучены математически в 1974 году Кароем Бёрёцким . [4] [11] [12] Бёрёцки исследовал плотность дискретного плоского набора точек, среднее число точек на единицу площади. Эта величина используется, например, для изучения множеств Данцера . Для точек, размещенных по одной на плитке в моноэдральной мозаике евклидовой плоскости, плотность обратна площади плитки. Но для гиперболической плоскости возникают парадоксальные проблемы. [4] [12] Плитки бинарной мозаики можно сгруппировать в трехплиточные субъединицы, причем каждая субъединица состоит из одной плитки над двумя другими (как показано в модели полуплоскости Пуанкаре). Точки, центрированные внутри верхней плитки каждой субъединицы, имеют одну точку на субъединицу, для кажущейся плотности, равной одной трети площади бинарной плитки. Однако те же самые точки и та же самая бинарная мозаика могут быть перегруппированы другим способом, с двумя точками на субъединицу, центрированными в двух нижних плитках каждой субъединицы, с двойной видимой плотностью. Этот пример показывает, что невозможно определить плотность гиперболического множества точек из мозаик таким способом. [12] [13]
Другое применение включает площадь плиток в моноэдральной мозаике. При определении бинарных мозаик есть свободный параметр — расстояние между вертикальными сторонами плиток. Все плитки в одной мозаике имеют равные гиперболические площади, но если это расстояние изменяется, (равная) площадь всех плиток также изменится пропорционально. Выбор этого расстояния как произвольно малого показывает, что гиперболическая плоскость имеет мозаики из конгруэнтных плиток произвольно малой площади. [11]
Яркко Кари использовал систему раскраски плиток из бинарной мозаики, аналогичной плиткам Вана , чтобы доказать, что определение того, может ли данная система гиперболических протоплиток замостить гиперболическую плоскость, является неразрешимой проблемой . [8] Подразделения бинарной мозаики, которые заменяют каждую плитку графом сетки, использовались для получения строгих границ мелкозернистой сложности алгоритмов графа . [14] Рекурсивные структуры данных , напоминающие квадродеревья, основанные на бинарной мозаике, использовались для приблизительных запросов ближайшего соседа в гиперболической плоскости. [15]
В гравюре 1957 года М. К. Эшера « Регулярное разделение плоскости VI» эта мозаика лежит в основе структуры, при этом каждая квадратная плитка бинарной мозаики (как видно в ее форме квадродерева) подразделяется на три равнобедренных прямоугольных треугольника . [16] Это одна из нескольких гравюр Эшера, основанных на модели полуплоскости гиперболической плоскости. [17] Сама гравюра заменяет каждый треугольник стилизованной ящерицей. [16]
Диаграмма Смита , графический метод визуализации параметров в радиотехнике , напоминает бинарную мозаику на модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости и была проанализирована на предмет ее связи с гиперболической геометрией и гиперболическими мозаиками Эшера. [18] Впервые она была разработана в конце 1930-х годов Тосаку Мидзухаси, [19] Филиппом Хагаром Смитом , [20] и Амиэлем Р. Вольпертом. [21]
Граф Кэли группы Баумслага–Солитера имеет элементы группы в качестве вершин, соединенных ребрами, представляющими умножение на стандартные порождающие элементы этой группы. Этот граф можно разложить на «листы», вершины и ребра которых образуют бинарную мозаику. На каждом уровне бинарной мозаики есть два варианта продолжения мозаики на следующем более высоком уровне. Любые два листа будут совпадать на протяжении некоторого количества уровней, пока не разделятся друг от друга, следуя различным выборам на одном из этих уровней, придавая листам структуру бесконечного бинарного дерева. [22] [23]
Связанную мозаику гиперболической плоскости Роджера Пенроуза можно интерпретировать как образованную смежными парами бинарных плиток, одна над другой, чьи объединения образуют плитки в форме буквы L. Как и бинарная мозаика, она слабо апериодична. [24] Чарльз Радин описывает другую модификацию бинарной мозаики, в которой угловой выступ добавляется к двум нижним сторонам каждой плитки с соответствующим углублением, вырезанным с верхней стороны каждой плитки. Эти измененные плитки могут образовывать обычные бинарные мозаики, но их также можно использовать для формирования различных мозаик, которые заменяют каждую грань апейрогональной мозаики подмножеством бинарной мозаики, которая лежит внутри орицикла. (Для горизонтальных орициклов в полуплоскости Пуанкаре внутренняя часть находится над орициклом.) Эти смешанные бинарные и апейрогональные мозаики избегают парадоксов плотности бинарной мозаики. [4]
Двойственный граф бинарной мозаики имеет вершину для каждой плитки и ребро для каждой пары плиток, которые имеют общее ребро. Он принимает форму бесконечного бинарного дерева (расширяющегося бесконечно как вверх, так и вниз, без корня) с добавленными боковыми связями между узлами дерева на том же уровне, что и друг друга. [1] Аналогичная структура для конечных полных бинарных деревьев , с боковыми связями на каждом уровне, расширенными от путей до циклов, была изучена как топология сети в параллельных вычислениях , кольцевое дерево . [25] Кольцевые деревья также были изучены с точки зрения их гиперболических метрических свойств в связи с сетями малого мира . [26] Исключение боковых связей дает вложение бесконечного бинарного дерева как гиперболического дерева . [15]
