Пентагон

Форма с пятью сторонами

В геометрии пентагон (от греч. πέντε (pente)  «пять» и γωνία (gonia)  «угол» [ ^1] ) — любой пятисторонний многоугольник или 5-угольник. Сумма внутренних углов в простом пентагоне равна 540°.

Пентагон может быть простым или самопересекающимся . Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездчатый пятиугольник ) называется пентаграммой .

Правильные пятиугольники

Сторона ( ), радиус описанной окружности ( ), радиус вписанной окружности ( ), высота ( ) , ширина/диагональ ( ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle \varphi t}$

Правильный пятиугольник имеет символ Шлефли {5} и внутренние углы 108° .

Правильный пятиугольник имеет пять линий зеркальной симметрии и вращательную симметрию 5-го порядка (через 72°, 144°, 216° и 288°). Диагонали выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотом сечении к его сторонам. Учитывая длину его стороны, его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины), ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, которое равно длине диагонали ) и радиус описанной окружности определяются следующим образом: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

Площадь выпуклого правильного пятиугольника со стороной длиной определяется по формуле ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

Если дан радиус описанной окружности правильного пятиугольника, то длина его стороны находится по выражению ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

и его площадь составляет

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

поскольку площадь описанной окружности равна площади правильного пятиугольника, он заполняет приблизительно 0,7568 площади описанной окружности. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Вывод формулы площади

Площадь любого правильного многоугольника равна:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

где P — периметр многоугольника, а r — вписанный радиус (эквивалентно апофеме ). Подстановка значений правильного пятиугольника вместо P и r дает формулу

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

с длиной стороны t .

Внутренний радиус

Подобно каждому правильному выпуклому многоугольнику, правильный выпуклый пятиугольник имеет вписанную окружность . Апофема , которая является радиусом r вписанной окружности, правильного пятиугольника связана с длиной стороны t соотношением

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Хорды ​​от описанной окружности до вершин

Как и каждый правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность . Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P — любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка на плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которой до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин равны и соответственно, имеем ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

Если — расстояния от вершин правильного пятиугольника до любой точки его описанной окружности, то ^[2] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

Геометрические построения

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , поскольку 5 — простое число Ферма . Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые из них обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда

Один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности описан Ричмондом ^[3] и более подробно обсуждается в работе Кромвеля «Многогранники» . ^[4]

Верхняя панель показывает конструкцию, используемую в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Окружность, определяющая пятиугольник, имеет единичный радиус. Ее центр расположен в точке C , а середина M отмечена на полпути вдоль ее радиуса. Эта точка соединяется с периферией вертикально над центром в точке D. Угол CMD делится пополам, и биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q. Горизонтальная линия, проходящая через Q, пересекает окружность в точке P , а хорда PD является искомой стороной вписанного пятиугольника.

Чтобы определить длину этой стороны, два прямоугольных треугольника DCM и QCM изображены под кругом. Используя теорему Пифагора и две стороны, гипотенуза большего треугольника находится как . Сторона h меньшего треугольника затем находится с помощью формулы половинного угла : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

где косинус и синус ϕ известны из большего треугольника. Результат:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Если DP действительно является стороной правильного пятиугольника, , то DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), и CQ = 1 − 2cos ² (54°), что равно −cos(108°) по формуле косинуса двойного угла . Это косинус 72°, который равен желаемому. ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

круги Карлейля

Метод с использованием кругов Карлейля

Круг Карлейля был изобретен как геометрический метод нахождения корней квадратного уравнения . ^[5] Эта методология приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие: ^[6]

1. Нарисуйте окружность , в которую впишите пятиугольник, и отметьте центральную точку O.
2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметьте левое пересечение с кругом как точку B.
3. Постройте вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с окружностью как точку A.
4. Постройте точку M как середину O и B.
5. Начертите окружность с центром в точке M через точку A. Отметьте ее пересечение с горизонтальной линией ( внутри исходной окружности) как точку W , а ее пересечение вне окружности как точку V.
6. Нарисуйте окружность радиусом OA с центром W. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника.
7. Нарисуйте окружность радиусом OA с центром V. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника.
8. Пятая вершина — самое правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной в анимации:

6а. Постройте точку F как середину O и W.

7а. Постройте вертикальную линию через F. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина — самое правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

8а. Постройте две другие вершины, используя циркуль и длину вершины, найденную на шаге 7а.

Метод Евклида

Метод Евклида для пятиугольника в заданной окружности с использованием золотого треугольника , анимация 1 мин 39 сек.

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , либо вписав его в заданную окружность, либо построив его на заданном ребре. Этот процесс был описан Евклидом в его «Началах» около 300 г. до н. э. ^{[7] [8]}

Физические методы строительства

Узел, завязанный сверху полоски бумаги

• Правильный пятиугольник можно создать из полоски бумаги, завязав на ней узел сверху и аккуратно распрямив узел, потянув за концы бумажной полоски. Если сложить один из концов назад над пятиугольником, то при подсветке сзади будет видна пентаграмма . [ ^9]
• Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сделайте сгиб по трем диаметрам между противоположными вершинами. Разрежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный клапан. Зафиксируйте этот клапан под соседним, чтобы получилась пятиугольная пирамида . Основание пирамиды — правильный пятиугольник.

Симметрия

Симметрии правильного пятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркальные линии проведены через вершины и ребра. Порядки вращения указаны в центре.

Правильный пятиугольник имеет симметрию Dih ₅ порядка 10. Поскольку 5 — простое число, то существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih ₁ и 2 циклические группы симметрии: Z ₅ и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[10] Полная симметрия правильной формы — r10 , и ни одна симметрия не обозначена a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центрального порядка инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Правильная пентаграмма

Пентаграмма или пентаграмма — правильный звездчатый пятиугольник. Его символ Шлефли — {5/2}. Его стороны образуют диагонали правильного выпуклого пятиугольника — в этом расположении стороны двух пятиугольников находятся в золотом сечении .

Равносторонние пятиугольники

Равносторонний пятиугольник, построенный из четырех равных кругов, расположенных в цепочке.

Равносторонний пятиугольник — это многоугольник с пятью сторонами одинаковой длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать ряд наборов значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален с точностью до подобия, поскольку он равносторонний и равноугольный (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники

Циклический пятиугольник — это такой, у которого окружность, называемая описанной окружностью, проходит через все пять вершин. Правильный пятиугольник является примером циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или нет, может быть выражена как одна четвертая квадратного корня одного из корней септического уравнения , коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника. ^{[11] [12] [13]}

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса . Было доказано, что диагонали пятиугольника Роббинса должны быть либо все рациональными, либо все иррациональными, и предполагается, что все диагонали должны быть рациональными. ^[14]

Общие выпуклые пятиугольники

Для всех выпуклых пятиугольников со сторонами и диагоналями справедливо следующее неравенство: ^{[15] : с.75, #1854} ${\displaystyle a,b,c,d,e}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

Пятиугольники в мозаике

Наиболее известная упаковка правильных пятиугольников одинакового размера на плоскости представляет собой двойную решетчатую структуру, которая покрывает 92,131% плоскости.

Правильный пятиугольник не может появиться ни в какой мозаике правильных многоугольников. Во-первых, чтобы доказать, что пятиугольник не может образовать правильную мозаику (такую, в которой все грани конгруэнтны, таким образом требуя, чтобы все многоугольники были пятиугольниками), заметьте, что 360° / 108° = 3 1 ⁄ 3 (где 108° — внутренний угол), что не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, имеющих общую вершину и не оставляющих между собой зазоров. Более сложным является доказательство того, что пятиугольник не может быть ни в какой мозаике, образованной ребром-к-ребру правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника составляет , достигаемая показанной двойной решетчатой ​​упаковкой. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Веден Куснер объявили о доказательстве того, что эта двойная решетчатая упаковка правильного пятиугольника (известная как китайская решетчатая конструкция «пентагональный ледяной луч», датируемая примерно 1900 годом) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. ^[16] ${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$

Не существует комбинаций правильных многоугольников с 4 или более, встречающимися в вершине, которые содержат пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечетное число сторон, остальные 2 должны быть конгруэнтными. Причина этого в том, что многоугольники, которые касаются краев пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного числа сторон пятиугольника. Для пятиугольника это приводит к многоугольнику, все углы которого равны (360 − 108) / 2 = 126° . Чтобы найти количество сторон этого многоугольника, результат равен 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 , что не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике, сделанной правильными многоугольниками.

Существует 15 классов пятиугольников, которые могут моноэдрально замостить плоскость . Ни один из пятиугольников не имеет симметрии в общем случае, хотя некоторые имеют особые случаи с зеркальной симметрией.

Пятиугольники в многогранниках

Пятиугольники в природе

Растения

• 
  Пятиугольное поперечное сечение бамии .
• 
  Ипомея , как и многие другие цветы, имеет пятиугольную форму.
• 
  Перигональная трубка цветка раффлезии .
• 
  Гинецей яблока содержит пять плодолистиков, расположенных в форме пятиконечной звезды .
• 
  Карамбола — еще один фрукт с пятикратной симметрией.

Животные

• 
  Морская звезда . Многие иглокожие имеют пятикратную радиальную симметрию.
• 
  Еще один пример иглокожих — эндоскелет морского ежа .
• 
  Иллюстрация офиур , также иглокожих, имеющих пятиугольную форму.

Минералы

• 
  Ho-Mg-Zn икосаэдрический квазикристалл, сформированный как пентагональный додекаэдр . Грани представляют собой правильные пятиугольники.
• 
  Пиритоэдрический кристалл пирита . Пиритоэдр имеет 12 одинаковых пятиугольных граней , которые не обязаны быть правильными.
• 
  Золотой пятачок ростом в полсантиметра.

Другие примеры

• 
  Пентагон , штаб-квартира Министерства обороны США .
• 
  Домашняя база бейсбольного поля

Смотрите также

• Ассоциаэдр ; Пентагон — это ассоциаэдр 4-го порядка.
• Додекаэдр , многогранник, правильная форма которого состоит из 12 пятиугольных граней.
• Золотое сечение
• Список геометрических фигур
• Пятиугольные числа
• Пентаграмма
• Карта пентаграммы
• Pentastar , логотип Chrysler
• Теорема Пифагора
• Тригонометрические константы для пятиугольника

Встроенные примечания и ссылки

1. "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, июнь 2014 г. Веб. 17 августа 2014 г.
2. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355.
3. Ричмонд, Герберт В. (1893). «Построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 26 : 206–207.
4. Питер Р. Кромвель (22 июля 1999 г.). Многогранники . Cambridge University Press. стр. 63. ISBN 0-521-66405-5.
5. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). CRC Press. стр. 329. ISBN 1-58488-347-2.
6. DeTemple, Duane W. (февраль 1991 г.). «Круги Карлейля и простота Лемуана в построении многоугольников» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–108. doi :10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Архивировано из оригинала (PDF) 21.12.2015.
7. Джордж Эдвард Мартин (1998). Геометрические построения. Springer. стр. 6. ISBN 0-387-98276-0.
8. Фицпатрик, Ричард (2008). Элементы геометрии Евклида, Книга 4, Предложение 11 (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. Lulu.com. стр. 119. ISBN 978-0-615-17984-1.
9. Математические модели Х. Мартина Канди и А. П. Роллетта, второе издание, 1961 (Oxford University Press), стр. 57.
10. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278) 
11. Вайсштейн, Эрик В. «Циклический пятиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]
12. Роббинс, Д. П. (1994). «Площади многоугольников, вписанных в окружность». Дискретная и вычислительная геометрия . 12 (2): 223–236. doi : 10.1007/bf02574377 .
13. Роббинс, Д. П. (1995). «Площади многоугольников, вписанных в окружность». The American Mathematical Monthly . 102 (6): 523–530. doi :10.2307/2974766. JSTOR  2974766.
14. * Бухгольц, Ральф Х.; Макдугалл, Джеймс А. (2008), «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью», Журнал теории чисел , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
15. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2].
16. Хейлз, Томас ; Куснер, Вёден (сентябрь 2016 г.), Упаковки правильных пятиугольников на плоскости , arXiv : 1602.07220

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Пентагон". MathWorld .
• Анимированная демонстрация построения вписанного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.
• Как построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку.
• Как сложить правильный пятиугольник, используя только полоску бумаги
• Определение и свойства пятиугольника с интерактивной анимацией
• Приблизительные конструкции правильных пятиугольников, созданные художниками эпохи Возрождения
• Пентагон. Как рассчитать различные размеры правильных пятиугольников.