Модель ценообразования биномиальных опционов

Численный метод оценки финансовых опционов

В финансах биномиальная модель ценообразования опционов ( BOPM ) представляет собой обобщаемый численный метод оценки опционов . По сути, модель использует модель «дискретного времени» ( на основе решетки ) изменяющейся во времени цены базового финансового инструмента, рассматривая случаи, когда формула Блэка-Шоулза в закрытой форме отсутствует.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в издании «Инвестиции» 1978 года ( ISBN  013504605X ), ^[1] и формализована Коксом , Россом и Рубинштейном в 1979 году ^[2] , а также Рендлманом и Бартером в том же году. ^[3]

О биномиальных деревьях применительно к производным инструментам с фиксированным доходом и процентной ставкой см. Решетчатую модель (финансы) § Производные по процентным ставкам .

Использование модели

Подход к модели ценообразования биномиальных опционов широко используется, поскольку он способен учитывать множество условий, к которым другие модели невозможно легко применить. Во многом это связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента за определенный период времени, а не на одной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов , которые можно исполнить в любой момент в течение заданного интервала, а также бермудских опционов , которые можно исполнить в определенные моменты времени. Будучи относительно простой, модель легко реализовать в компьютерном программном обеспечении (включая электронные таблицы ).

Хотя в вычислительном отношении она медленнее, чем формула Блэка-Шоулза , она более точна, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов . По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов. ^{[ нужна цитата ]}

Для опционов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные опционы ) и для опционов со сложными характеристиками (например, азиатские опционы ) биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели опционов Монте-Карло . При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет более трудоемким в вычислительном отношении, чем BOPM (см. Методы Монте-Карло в финансах ). Однако время выполнения BOPM в худшем случае будет O(2 ⁿ ) , где n — количество временных шагов в симуляции. Симуляции Монте-Карло обычно имеют полиномиальную временную сложность и выполняются быстрее при большом количестве шагов моделирования. Моделирование Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более верным, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод

Биномиальная решетка с формулами CRR

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию ключевых переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датой оценки и датой истечения срока действия. Каждый узел в решетке представляет возможную цену базового актива в данный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из последних узлов (тех, которые могут быть достигнуты на момент истечения срока действия), а затем продвигаясь назад по дереву к первому узлу (дате оценки). Стоимость, рассчитанная на каждом этапе, представляет собой стоимость опциона в данный момент времени.

Оценка опциона с использованием этого метода, как описано, представляет собой трехэтапный процесс:

1. Генерация дерева цен,
2. Расчет стоимости опциона на каждом конечном узле,
3. Последовательный расчет стоимости опциона в каждом предшествующем узле.

Шаг 1. Создайте биномиальное дерево цен.

Дерево цен создается путем движения вперед от даты оценки до истечения срока действия.

На каждом шаге предполагается, что базовый инструмент будет двигаться вверх или вниз на определенный коэффициент ( или ) за шаг дерева (где по определению и ). Итак, если – текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо равна, либо . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle 0<d\leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{up}=S\cdot u}$ ${\displaystyle S_{down}=S\cdot d}$

Факторы повышения и понижения рассчитываются с использованием базовой волатильности , и продолжительности шага , измеряемой в годах (с использованием соглашения о подсчете дней базового инструмента). Из условия, что дисперсия логарифма цены равна , имеем: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}t}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta }}t}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta }}t}={\frac {1}{u}}.}$

Выше представлен оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют и другие методы создания решетки, такие как дерево «равных вероятностей», см. ^{[4] [5]}

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, т.е. если базовый актив движется вверх, а затем вниз (u,d), цена будет такой же, как если бы он переместился вниз, а затем вверх (d,u) — здесь два пути сливаются или воссоединяются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и тем самым ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет рассчитывать стоимость базового актива в каждом узле непосредственно с помощью формулы и не требует предварительного построения дерева. Значение узла будет:

${\displaystyle S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},}$

Где количество тиков вверх и количество тиков вниз. ${\displaystyle N_{u}}$ ${\displaystyle N_{d}}$

Шаг 2. Найдите значение параметра в каждом конечном узле.

В каждом последнем узле дерева, т. е. при истечении срока действия опциона, стоимость опциона представляет собой просто его внутреннюю стоимость , или стоимость исполнения:

Макс [ ( S _n − K ), 0 ] для опциона колл

Макс [( K − S _n ), 0 ] , для опциона пут ,

Где K — цена исполнения и спотовая цена базового актива в n- ^м периоде. ${\displaystyle S_{n}}$

Шаг 3. Найдите значение параметра на более ранних узлах.

После завершения вышеуказанного шага значение опциона находится для каждого узла, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первому узлу дерева (дате оценки), где рассчитанный результат является значением опциона.

Вкратце: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием предположения о нейтральности риска ; см. Оценка, нейтральная к риску . Если в узле разрешено выполнение упражнений, то модель принимает большее из биномиального значения и значения исполнения в узле.

Шаги следующие:

1. Согласно предположению о нейтральности риска, сегодняшняя справедливая цена производного инструмента равна ожидаемой стоимости его будущих выплат, дисконтированной на безрисковую ставку . Таким образом, ожидаемая стоимость рассчитывается с использованием значений опционов из двух последних узлов ( Option up и Option down ), взвешенных по их соответствующим вероятностям — «вероятность» p движения базового актива вверх и «вероятность» (1−p ) движение вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по безрисковой ставке r , соответствующей сроку действия опциона.

   Следующая формула для расчета ожидаемого значения применяется в каждом узле:

   ${\displaystyle {\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)}$, или

   ${\displaystyle C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,}$

   где

   ${\displaystyle C_{t,i}\,}$— значение опции для узла в момент времени t , ${\displaystyle i^{th}\,}$

   ${\displaystyle p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}}$выбирается таким образом, чтобы соответствующее биномиальное распределение моделировало геометрическое броуновское движение базового запаса с параметрами r и σ ,

   q — дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Отсюда следует, что в нейтральном к риску мире цена фьючерса должна иметь ожидаемую нулевую скорость роста, и поэтому мы можем рассматривать фьючерсы. ${\displaystyle q=r}$

   Обратите внимание, что для того, чтобы p находился в интервале, должно быть выполнено следующее условие on . ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

   (Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, безарбитражное ценообразование, дает идентичные результаты; см. « Дельта-хеджирование ».)

2. Этот результат и есть «биномиальное значение». Он представляет собой справедливую цену дериватива в определенный момент времени (т. е. в каждом узле) с учетом изменения цены базового актива к этому моменту. Это стоимость опциона, если бы он был удержан, а не исполнен в этот момент.
3. В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения в каждом узле: если (1) опцион может быть исполнен и (2) стоимость исполнения превышает биномиальное значение, то (3) стоимость в узле равна ценность упражнения.
   • Для европейского опциона нет возможности досрочного исполнения, и биномиальное значение применяется на всех узлах.
   • Для американского опциона , поскольку опцион может быть удержан или исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле равно: Макс (биномиальное значение, значение исполнения).
   • Для бермудского опциона стоимость в узлах, где разрешено досрочное исполнение, равна: Макс (биномиальное значение, значение исполнения); в узлах, где раннее исполнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При расчете стоимости на следующем рассчитанном временном шаге (т.е. на один шаг ближе к оценке) модель должна использовать выбранное здесь значение для «Варианта вверх» или «Варианта вниз» в зависимости от ситуации в формуле в узле. Алгоритм в стороне демонстрирует подход к расчету цены американского пут-опциона, хотя его легко обобщить для колл-опционов, а также для европейских и бермудских опционов:

Отношения с Блэком-Скоулзом

Подобные предположения лежат в основе как биномиальной модели, так и модели Блэка-Шоулза , и, таким образом, биномиальная модель обеспечивает аппроксимацию дискретного времени непрерывного процесса, лежащего в основе модели Блэка-Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логарифмически нормальному распределению, предполагаемому Блэком – Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится к значению формулы Блэка-Шоулза по мере увеличения количества временных шагов. ^{[4] [5]}

Кроме того, при анализе как численной процедуры биномиальный метод CRR можно рассматривать как частный случай явного метода конечных разностей для УЧП Блэка – Шоулза ; см. методы конечных разностей для определения цены опционов . ^[6]

Смотрите также

• Триномиальное дерево , аналогичная модель с тремя возможными путями на узел.
• Дерево (структура данных)
• Решетчатая модель (финансы) для более общего обсуждения и применения к другим основам.
• Блэка-Шоулза : биномиальные решетки способны обрабатывать множество условий, для которых невозможно применить Блэка-Шоулза.
• Опционная модель Монте-Карло , используемая при оценке опционов со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку другими методами.
• Анализ реальных опционов , где широко используется BOPM.
• Квантовые финансы , квантовая биномиальная модель ценообразования.
• Математические финансы , где есть список связанных статей.
• Опцион на акции для сотрудников § Оценка , где широко используется BOPM.
• Подразумеваемое биномиальное дерево
• Биномиальное дерево Эджворта

Рекомендации

1. Уильям Ф. Шарп, биографический, nobelprize.org
2. Кокс, Джей Си ; Росс, ЮАР ; Рубинштейн, М. (1979). «Ценообразование опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . дои : 10.1016/0304-405X(79)90015-1. 
3. Ричард Дж. Рендлман-младший и Брит Дж. Бартер. 1979. «Ценообразование опционов с двумя состояниями». Финансовый журнал 24: 1093-1110. дои : 10.2307/2327237
4. Марк с. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для определения цены американского пут-опциона
5. Chance, Дон М. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования опционов для логнормально распределенных активов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, Vol. 18
6. Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальными и триномиальными моделями ценообразования опционов». Журнал деривативов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . дои : 10.3905/jod.2000.319149. S2CID  11743572. Архивировано из оригинала 22 июня 2007 г. 

Внешние ссылки

• Биномиальная модель вариантов ценообразования, профессор Тайер Уоткинс
• Биномиальное ценообразование опционов ( PDF ), профессор Роберт М. Конрой
• Модель ценообразования биномиальных опционов, автор Фиона Маклахлан, Демонстрационный проект Wolfram
• О несущественности ожидаемой доходности акций при ценообразовании опционов в биномиальной модели: Педагогическая заметка Валерия Закамулина
• Простой вывод нейтральной к риску вероятности в биномиальной модели ценообразования опционов Грега Ороси