Теорема Блоха

Fundamental theorem in condensed matter physics

Изоповерхность квадрата модуля блоховского состояния в решетке кремния

Сплошная линия: Схема реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия — от фактора e ^{i k · r} . Светлые кружки представляют атомы.

В физике конденсированного состояния теорема Блоха утверждает, что решения уравнения Шредингера в периодическом потенциале могут быть выражены в виде плоских волн, модулированных периодическими функциями . Теорема названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха , который открыл ее в 1929 году. ^[1] Математически они записываются ^[2]

Функция Блоха

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

где — положение, — волновая функция , — периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор — вектор импульса кристалла , — число Эйлера , — мнимая единица . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$

Функции этой формы известны как функции Блоха или состояния Блоха и служат подходящей основой для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах .

Описание электронов в терминах функций Блоха, называемых электронами Блоха (или реже волнами Блоха ), лежит в основе концепции электронных зонных структур .

Эти собственные состояния записываются с нижними индексами как , где — дискретный индекс, называемый индексом зоны , который присутствует, поскольку существует много различных волновых функций с одинаковым (каждая имеет разную периодическую составляющую ). Внутри зоны (т. е. при фиксированном ), непрерывно изменяется с , как и ее энергия. Кроме того, является уникальным только с точностью до постоянного вектора обратной решетки , или . Следовательно, волновой вектор можно ограничить первой зоной Бриллюэна обратной решетки без потери общности . ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Применение и последствия

Применимость

Наиболее распространенным примером теоремы Блоха является описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание волн Блоха применяется в более общем смысле к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам , а периодическая акустическая среда приводит к фононным кристаллам . Обычно она рассматривается в различных формах динамической теории дифракции .

Волновой вектор

Волновая функция Блоха (внизу) может быть разбита на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же состояние Блоха, разбитое двумя разными способами, с участием волнового вектора k ₁ (слева) или k ₂ (справа). Разность ( k ₁ − k ₂ ) является вектором обратной решетки . На всех графиках синий цвет — действительная часть, а красный — мнимая часть.

Предположим, что электрон находится в блоховском состоянии , где u является периодическим с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется , а не k или u напрямую. Это важно, поскольку k и u не являются уникальными. В частности, если можно записать, как указано выше, с использованием k , его также можно записать с использованием ( k + K ) , где K — любой вектор обратной решетки (см. рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, которые отличаются на вектор обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что они характеризуют один и тот же набор блоховских состояний. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Первая зона Бриллюэна — это ограниченный набор значений k, обладающий свойством, что никакие два из них не эквивалентны, однако каждое возможное k эквивалентно одному (и только одному) вектору в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k первой зоной Бриллюэна, то каждое состояние Блоха будет иметь уникальное k . Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех состояний Блоха без избыточности, например, в зонной структуре, и она используется по той же причине во многих вычислениях.

Когда k умножается на приведенную постоянную Планка , он равен кристаллическому импульсу электрона . В связи с этим групповая скорость электрона может быть рассчитана на основе того, как энергия блоховского состояния изменяется с k ; для получения более подробной информации см. кристаллический импульс.

Подробный пример

Подробный пример, в котором следствия теоремы Блоха применяются в конкретной ситуации, см. в статье Частица в одномерной решетке (периодический потенциал) .

Заявление

Теорема Блоха  —  Для электронов в идеальном кристалле существует базис волновых функций со следующими двумя свойствами:

• каждая из этих волновых функций является собственным энергетическим состоянием,
• каждая из этих волновых функций является блоховским состоянием, что означает, что эта волновая функция может быть записана в виде , где u ( r ) имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла, так что ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).}$$

Второй и эквивалентный способ сформулировать теорему следующий ^[3]

Теорема Блоха  —  Для любой волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, и для трансляции вектора решетки существует по крайней мере один вектор, такой что: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).}$$

Доказательство

Использование периодичности решетки

Поскольку теорема Блоха представляет собой утверждение о периодичности решетки, в этом доказательстве все симметрии закодированы как трансляционные симметрии самой волновой функции.

Доказательство с использованием периодичности решетки

Источник: ^[4]

Предварительные сведения: симметрия кристаллов, решетка и обратная решетка

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия, что означает, что если кристалл сместить на соответствующую величину, то все его атомы окажутся на тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь идеальной трансляционной симметрии, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивных вектора решетки a ₁ , a ₂ , a ₃ . Если кристалл смещается на любой из этих трех векторов или на их комбинацию вида , где n _i — три целых числа, то атомы оказываются в том же наборе положений, в котором они находились изначально. $${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$$

Другим полезным ингредиентом в доказательстве являются векторы обратной решетки . Это три вектора b ₁ , b ₂ , b ₃ (с единицами обратной длины), со свойством, что a _i · b _i = 2 π , но a _i · b _j = 0 , когда i ≠ j . (Для формулы для b _i см. вектор обратной решетки .)

Лемма об операторах трансляции

Пусть обозначает оператор трансляции , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (как и выше, n _j — целые числа). Следующий факт полезен для доказательства теоремы Блоха: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$

Лемма  —  Если волновая функция ψ является собственным состоянием всех операторов трансляции (одновременно), то ψ является блоховским состоянием.

Доказательство леммы

Предположим, что у нас есть волновая функция ψ , которая является собственным состоянием всех операторов трансляции. Как частный случай этого, для j = 1, 2, 3 , где C _j — три числа ( собственные значения ), которые не зависят от r . Полезно записать числа C _j в другой форме, выбрав три числа θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ с e ^{2 πiθ _j} = C _j : Опять же, θ _j — три числа, которые не зависят от r . Определим k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b ₃ , где b _j — векторы обратной решетки (см. выше). Наконец, определим Тогда Это доказывает, что u имеет периодичность решетки. Поскольку это доказывает, что состояние является блоховским. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, обозначим оператор трансляции , который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ , где n _i — целые числа. Поскольку кристалл имеет трансляционную симметрию, этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона . Более того, каждый такой оператор трансляции коммутирует с любым другим. Следовательно, существует одновременный собственный базис оператора Гамильтона и каждого возможного оператора. Этот базис — то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными энергетическими состояниями (потому что они являются собственными состояниями гамильтониана), и они также являются состояниями Блоха (потому что они являются собственными состояниями операторов трансляции; см. лемму выше). ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Использование операторов

В этом доказательстве все симметрии закодированы как коммутационные свойства операторов трансляции.

Доказательство с использованием операторов

Источник: ^[5]

Мы определяем оператор трансляции с помощью Мы используем гипотезу среднего периодического потенциала и приближение независимых электронов с гамильтонианом Учитывая, что гамильтониан инвариантен для трансляций, он должен коммутировать с оператором трансляции , и два оператора должны иметь общий набор собственных функций. Поэтому мы начинаем рассматривать собственные функции оператора трансляции: Учитывая, что это аддитивный оператор Если мы подставим сюда уравнение собственных значений и разделим обе части на, то получим $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

Это справедливо для , где если мы используем условие нормировки по одной примитивной ячейке объема V и поэтому и где . Наконец, что справедливо для волны Блоха, т.е. для с $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$ $${\displaystyle s=ik}$$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

Использование теории групп

Помимо технических аспектов теории групп, это доказательство интересно тем, что оно проясняет, как обобщить теорему Блоха для групп, которые являются не только трансляциями. Обычно это делается для пространственных групп , которые являются комбинацией трансляции и точечной группы , и используется для вычисления зонной структуры, спектра и удельной теплоты кристаллов с учетом определенной симметрии кристаллической группы, такой как ГЦК или ОЦК, и, в конечном счете, дополнительного базиса . ^{[6] : 365–367  [7]} В этом доказательстве также можно заметить, как важно, чтобы дополнительная точечная группа управлялась симметрией в эффективном потенциале, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

Доказательство с теорией характера ^{[6] : 345–348}

Все переводы являются унитарными и абелевыми . Переводы могут быть записаны в терминах единичных векторов. Мы можем рассматривать их как коммутирующие операторы , где $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

Коммутативность операторов дает три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые бесконечны, одномерны и абелевы. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны. ^[8] ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$

Учитывая, что они одномерны, матричное представление и характер совпадают. Характер — это представление над комплексными числами группы или также след представления , которое в этом случае является одномерной матрицей. Все эти подгруппы, учитывая, что они циклические, имеют характеры, которые являются соответствующими корнями из единицы . Фактически, у них есть один генератор , который должен подчиняться , и, следовательно, характер . Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечной циклической группы (т. е. группы трансляций здесь) существует предел для , при котором характер остается конечным. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$ ${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Учитывая, что характер является корнем из единицы, для каждой подгруппы характер можно записать как $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

Если ввести граничное условие Борна-фон Кармана для потенциала: где L — макроскопическая периодичность в направлении , которое также можно рассматривать как кратное , где $${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Эта замена в не зависящем от времени уравнении Шредингера простым эффективным гамильтонианом индуцирует периодичность с волновой функцией: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

И для каждого измерения оператор перевода с периодом L $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

Отсюда мы можем видеть, что характер также должен быть инвариантным при переносе : и из последнего уравнения мы получаем для каждого измерения периодическое условие: где — целое число, а ${\displaystyle L_{i}}$ $${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$ $${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$ ${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

Волновой вектор определяет неприводимое представление таким же образом , как и , и является макроскопической периодической длиной кристалла в направлении . В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора трансляции. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Мы можем обобщить это для трех измерений , и общая формула для волновой функции станет такой: т.е. конкретизируем ее для трансляции , и мы докажем теорему Блоха. ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, т.е. разложение волновой функции, обобщается из дискретного преобразования Фурье , которое применимо только к циклическим группам и, следовательно, трансляциям, в разложение волновой функции по характерам , где характеры задаются из конкретной конечной точечной группы .

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) могут рассматриваться как фундаментальные строительные блоки вместо самих неприводимых представлений. ^[9]

Скорость и эффективная масса

Если применить к волновой функции Блоха не зависящее от времени уравнение Шредингера, то с граничными условиями получим : Принимая это за конечное число, мы ожидаем бесконечного семейства собственных значений; здесь — параметр гамильтониана, и, следовательно, мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений, зависящих от непрерывного параметра, и, таким образом, к основному понятию электронной зонной структуры. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$

Доказательство ^[10]

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$$

Мы остаемся с $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$$

Это показывает, как эффективный импульс можно рассматривать как состоящий из двух частей, стандартного импульса и кристаллического импульса . Точнее, кристаллический импульс не является импульсом, но он представляет собой импульс таким же образом, как электромагнитный импульс в минимальной связи , и как часть канонического преобразования импульса. $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,}$$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$

Для эффективной скорости мы можем вывести

средняя скорость блоховского электрона

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }$

Доказательство ^[11]

Мы вычисляем производные и , учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q , где q считается малым по сравнению с k Даны собственные значения Мы можем рассмотреть следующую задачу возмущения по q: Теория возмущений второго порядка утверждает, что Для вычисления линейного порядка по q , где интегрирование ведется по примитивной ячейке или всему кристаллу, заданному, если интеграл нормирован по ячейке или кристаллу. ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$$ $${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$$

Мы можем упростить по q, чтобы получить и можем заново вставить полные волновые функции $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$$

Для эффективной массы

теорема об эффективной массе

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Доказательство ^[11]

Член второго порядка. Снова исключаем , и получаем теорему $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$$

Величина справа, умноженная на коэффициент, называется тензором эффективной массы ^[12] , и мы можем использовать ее для записи полуклассического уравнения для носителя заряда в зоне ^[13] ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}$

Полуклассическое уравнение движения второго порядка для носителя заряда в зоне

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)}$

где - ускорение . Это уравнение аналогично приближению типа волны де Бройля ^[14] ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Полуклассическое уравнение движения электрона в зоне первого порядка

${\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

В качестве интуитивной интерпретации оба предыдущих уравнения формально напоминают и находятся в полуклассической аналогии со вторым законом Ньютона для электрона во внешней силе Лоренца .

История и связанные с ней уравнения

Концепция состояния Блоха была разработана Феликсом Блохом в 1928 году ^[15] для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же самая базовая математика была открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877), ^[16] Гастоном Флоке (1883), ^[17] и Александром Ляпуновым (1892). ^[18] В результате распространены различные номенклатуры: применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям она называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова–Флоке ). Общая форма одномерного периодического потенциального уравнения — это уравнение Хилла : ^[19] где f ( t ) — периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают модель Кронига–Пенни и уравнение Матье . $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$$

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров решетчатой ​​группы и применяется к спектральной геометрии . ^{[20] [21] [22]}

Смотрите также

• Блоховские колебания
• Волна Блоха – метод MoM
• Электронная структура полосы
• Модель почти свободных электронов
• Периодические граничные условия
• Симметрии в квантовой механике
• Модель с плотным переплетом
• Функция Ванье

Ссылки

1. Блох, Ф. (1929). Сверх квантовая механика электронов в кристаллическом кристалле. Zeitschrift für Physik, 52(7), 555-600.
2. Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-14286-7.
3. Займан, Дж. М. (1972). Принципы теории твердых тел (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 17–20. ISBN 0521297338.
4. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 134
5. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 137
6. Dresselhaus, MS (2002). "Приложения теории групп к физике твердых тел" (PDF) . MIT . Архивировано (PDF) из оригинала 1 ноября 2019 г. . Получено 12 сентября 2020 г. .
7. Колебательный спектр и удельная теплоемкость гранецентрированного кубического кристалла, Роберт Б. Лейтон [1]
8. Рой, Рики (2 мая 2010 г.). «Теория представлений» (PDF) . Университет Пьюджет-Саунд.
9. Представления групп и гармонический анализ от Эйлера до Ленглендса, часть II [2]
10. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 140
11. Ashcroft & Mermin 1976, стр. 765 Приложение Е
12. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 228
13. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 229
14. Эшкрофт и Мермин 1976, с. 227
15. Феликс Блох (1928). «Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 52 (7–8): 555–600. Бибкод : 1929ZPhy...52..555B. дои : 10.1007/BF01339455. S2CID  120668259.
16. Джордж Уильям Хилл (1886). «О части движения лунного перигея, которая является функцией средних движений Солнца и Луны». Acta Math . 8 : 1–36. doi : 10.1007/BF02417081 .Это произведение было впервые опубликовано и распространено частным образом в 1877 году.
17. Гастон Флоке (1883). «Sur les équations différentielles linéaires à periodiques periodiques». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. дои : 10.24033/asens.220 .
18. Александр Михайлович Ляпунов (1992). Общая задача об устойчивости движения . Лондон: Тейлор и Фрэнсис.Перевод А. Т. Фуллера с французского перевода Эдуарда Даво (1907) оригинальной русской диссертации (1892).
19. Магнус, В .; Винклер, С. (2004). Уравнение Хилла. Courier Dover. стр. 11. ISBN 0-486-49565-5.
20. Кучмент, П. (1982), Теория Флоке для уравнений с частными производными , РОССИЙСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ НАУКА, 37, 1–60
21. Katsuda, A.; Sunada, T (1987). «Гомологии и замкнутые геодезические на компактной римановой поверхности». Amer. J. Math . 110 (1): 145–156. doi :10.2307/2374542. JSTOR  2374542.
22. Котани М.; Сунады Т. (2000). «Отображения Альбанезе и недиагональная долговременная асимптотика для теплового ядра». Comm. Math. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode :2000CMaPh.209..633K. doi :10.1007/s002200050033. S2CID  121065949.

Дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Дрессельхаус, М.С. (2010). Теория групп: применение к физике конденсированного состояния. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC  692760083.
• Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха – лекции по курсу «Полупроводники I». Кильский университет.
• MSP Eastham (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений . Тексты по математике. Эдинбург: Scottish Academic Press.
• J. Gazalet; S. Dupont; JC Kastelik; Q. Rolland & B. Djafari-Rouhani (2013). «Учебный обзор волн, распространяющихся в периодических средах: электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в вещественной, так и в фурье-областях». Wave Motion . 50 (3): 619–654. doi :10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.