Оценка облигаций

Справедливая цена облигации

Оценка облигаций ^[1] — это процесс, с помощью которого инвестор приходит к оценке теоретической справедливой стоимости или внутренней стоимости облигации . Как и в случае с любой ценной бумагой или капиталовложением, теоретическая справедливая стоимость облигации представляет собой приведенную стоимость потока денежных средств, который она, как ожидается, будет генерировать. Следовательно, стоимость облигации получается путем дисконтирования ожидаемых денежных потоков по облигации до текущих с использованием соответствующей ставки дисконтирования . ^{[2] [3]}

На практике эта ставка дисконтирования часто определяется со ссылкой на аналогичные инструменты, при условии, что такие инструменты существуют. Затем для данной цены рассчитываются различные связанные показатели доходности. Если рыночная цена облигации меньше ее номинальной стоимости , облигация продается с дисконтом . И наоборот, если рыночная цена облигации превышает ее номинальную стоимость, облигация продается с премией . Об этой и других взаимосвязях между ценой и доходностью см. ниже.

Если облигация включает в себя встроенные опционы , оценка становится более сложной и включает в себя оценку опционов с дисконтированием. В зависимости от типа опциона рассчитанная цена опциона либо добавляется к цене «прямой» части, либо вычитается из нее. ^[4] См . далее раздел «Облигационный опцион» . Эта сумма и есть стоимость облигации.

Оценка облигаций

Справедливая цена «прямой облигации» (облигации без встроенных опционов ; см. Облигация (финансы) § Характеристики ) обычно определяется путем дисконтирования ожидаемых денежных потоков по соответствующей ставке дисконтирования. Хотя это соотношение текущей стоимости отражает теоретический подход к определению стоимости облигации, на практике ее цена (обычно) определяется со ссылкой на другие, более ликвидные инструменты. Далее обсуждаются два основных подхода: относительное ценообразование и ценообразование без арбитража. Наконец, когда важно признать, что будущие процентные ставки являются неопределенными и что ставка дисконтирования не может быть адекватно представлена ​​одним фиксированным числом (например, когда на рассматриваемую облигацию выписан опцион), можно использовать стохастическое исчисление. ^[5]

Метод текущей стоимости

Основной метод расчета теоретической справедливой стоимости, или внутренней стоимости облигации, использует формулу приведенной стоимости (PV), показанную ниже, с использованием единой рыночной процентной ставки для дисконтирования денежных потоков во всех периодах. Более сложный подход предполагает использование разных процентных ставок для денежных потоков в разные периоды. ^{[3] : 294} В приведенной ниже формуле предполагается, что купонная выплата только что была произведена (поправки на другие даты см. ниже).

${\displaystyle {\begin{aligned}TFV&={\begin{matrix}\left({\frac {C}{1+i}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+...+{\frac {C}{(1+i)^{N}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {C}{(1+i)^{n}}}\right)+{\frac {M}{(1+i)^{N}}}\end{matrix}}\\&={\begin{matrix}C\left({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}}\right)+M(1+i)^{-N}\end{matrix}}\end{aligned}}}$

где:

${\displaystyle F=}$Номинальная стоимость

${\displaystyle i_{F}=}$договорная процентная ставка

${\displaystyle C=F*i_{F}=}$купонная выплата (периодическая выплата процентов)

${\displaystyle N=}$количество платежей

${\displaystyle i=}$рыночная процентная ставка, или требуемая доходность, или наблюдаемая/соответствующая доходность к погашению (см. ниже)

${\displaystyle M=}$стоимость при погашении, обычно равна номинальной стоимости

${\displaystyle TFV=}$теоретическая справедливая стоимость

Относительный ценовой подход

В соответствии с этим подходом (расширением или применением вышеизложенного) облигация будет оцениваться относительно эталона, обычно государственной ценной бумаги ; см. Относительная оценка . Здесь доходность к погашению облигации определяется на основе кредитного рейтинга облигации по отношению к государственной ценной бумаге с аналогичным сроком погашения или продолжительностью ; см. Кредитный спред (облигация) . Чем лучше качество облигации, тем меньше разница между ее требуемой доходностью и доходностью эталона. Эта требуемая доходность затем используется для дисконтирования денежных потоков по облигациям, заменяя ее в приведенной выше формуле, чтобы получить цену. ^[6] ${\displaystyle i}$

Безарбитражный подход к ценообразованию

В отличие от двух связанных подходов, описанных выше, облигацию можно рассматривать как «пакет денежных потоков» - купон или лицевую сторону - причем каждый денежный поток рассматривается как инструмент с нулевым купоном, срок погашения которого наступает в дату его получения. Таким образом, вместо использования единой ставки дисконтирования следует использовать несколько ставок дисконтирования, дисконтируя каждый денежный поток по своей собственной ставке. ^[5] Здесь каждый денежный поток отдельно дисконтируется по той же ставке, что и облигация с нулевым купоном , соответствующая дате купона, и с эквивалентной кредитоспособностью (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация, или, если нет, с соответствующим кредитным спредом ).

При таком подходе цена облигации должна отражать ее « безарбитражную » цену, поскольку любое отклонение от этой цены будет использовано, и затем облигация быстро переоценится до правильного уровня. Здесь мы применяем логику рационального ценообразования , относящуюся к «Активам с идентичными денежными потоками» . Подробно: (1) даты купонов и суммы купонов достоверно известны. Следовательно, (2) можно указать несколько кратных (или долей) облигаций с нулевым купоном, каждая из которых соответствует датам купона по облигации, чтобы обеспечить идентичные потоки денежных средств по облигации. Таким образом, (3) цена облигации сегодня должна быть равна сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по ставке дисконтирования, подразумеваемой стоимостью соответствующего ZCB.

Подход стохастического исчисления

При моделировании опциона на облигацию или другого производного процентного инструмента (IRD) важно признать, что будущие процентные ставки являются неопределенными, и, следовательно, ставка(и) дисконтирования, упомянутая выше, во всех трех случаях, т. е. для всех ли купонов или для каждого отдельного купона — не представлено адекватно фиксированным ( детерминированным ) числом. В таких случаях применяется стохастическое исчисление .

Ниже приводится дифференциальное уравнение в частных производных (УЧП) в стохастическом исчислении, которому, согласно аргументам арбитража , ^[7] удовлетворяет любая облигация с нулевым купоном в течение (мгновенного) времени для соответствующих изменений в , краткосрочной ставки . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}$

Решение PDE (т.е. соответствующая формула для стоимости облигаций) - приведено в Cox et al. ^[8] — это:

${\displaystyle P[t,T,r(t)]=E_{t}^{\ast }[e^{-R(t,T)}]}$

где – математическое ожидание относительно нейтральных к риску вероятностей и – случайная величина, представляющая ставку дисконтирования; см. также цены на Мартингейл . ${\displaystyle E_{t}^{\ast }}$ ${\displaystyle R(t,T)}$

Чтобы фактически определить цену облигации, аналитик должен выбрать конкретную модель краткосрочной ставки , которую он будет использовать. Обычно используются следующие подходы:

• модель CIR
• модель Блэка –Дермана–Той
• модель Халла – Уайта
• структура HJM
• Модель Чена .

Обратите внимание, что в зависимости от выбранной модели решение в закрытой форме ( «черное» ) может быть недоступно, и тогда используется реализация рассматриваемой модели на основе решетки или моделирования . См. также Опцион облигации § Оценка .

Чистая и грязная цена

Если облигация не оценена точно на дату купона, рассчитанная цена с использованием методов, описанных выше, будет включать в себя начисленные проценты : т.е. любые проценты, причитающиеся владельцу облигации в течение « периода погашения » с предыдущей даты купона ( см. соглашение о подсчете ). Цена облигации, которая включает в себя начисленные проценты, известна как « грязная цена » (или «полная цена», или «все в цене», или «цена за наличные»). « Чистая цена » — это цена, исключающая любые начисленные проценты. Чистые цены, как правило, более стабильны во времени, чем грязные цены. Это связано с тем, что грязная цена внезапно упадет, когда облигация будет продана «без процентов», и покупатель больше не будет иметь права на получение следующей купонной выплаты. На многих рынках принято котировать облигации по чистой цене. Когда покупка оплачивается, начисленные проценты добавляются к заявленной чистой цене, чтобы получить фактическую сумму, подлежащую выплате.

Отношения доходности и цены

После расчета цены или стоимости можно определить различные уровни доходности , связывающие цену облигации с ее купонами.

Доходность к погашению

Доходность к погашению (YTM) — это ставка дисконтирования, которая возвращает рыночную цену облигации без встроенной опциональности; он идентичен (требуемый возврат) в приведенном выше уравнении. Таким образом, доходность к доходности — это внутренняя норма доходности инвестиций в облигации, сделанных по наблюдаемой цене. Поскольку доходность к погашению можно использовать для определения цены облигации, цены на облигации часто указываются в терминах доходности к погашению. ${\displaystyle i}$

Для достижения доходности, равной YTM, т.е. требуемой доходности облигации, владелец облигации должен:

• купить облигацию по цене , ${\displaystyle P_{0}}$
• удерживать облигацию до погашения и
• погасить облигацию по номиналу.

Купонная ставка

Купонная ставка представляет собой купонную выплату в процентах от номинальной стоимости . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\text{Coupon rate}}={\frac {C}{F}}}$

Купонный доход также называют номинальным доходом .

Текущий доход

Текущая доходность представляет собой купонную выплату в процентах от ( текущей ) цены облигации . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\text{Current yield}}={\frac {C}{P_{0}}}.}$

Отношение

Концепция текущей доходности тесно связана с другими концепциями облигаций, включая доходность к погашению и купонную доходность. Связь между доходностью к погашению и ставкой купона следующая:

Чувствительность к цене

Чувствительность рыночной цены облигации к изменениям процентной ставки (т.е. доходности) измеряется ее дюрацией и, кроме того, ее выпуклостью .

Дюрация — это линейная мера того, как меняется цена облигации в ответ на изменение процентной ставки. Оно примерно равно процентному изменению цены при данном изменении доходности, и его можно рассматривать как эластичность цены облигации по отношению к ставке дисконтирования. Например, при небольших изменениях процентной ставки дюрация представляет собой приблизительный процент, на который упадет стоимость облигации при увеличении рыночной процентной ставки на 1% в год. Таким образом, рыночная цена 17-летней облигации с дюрацией 7 упадет примерно на 7%, если рыночная процентная ставка (или, точнее, соответствующая сила процента ) увеличится на 1% в год.

Выпуклость является мерой « кривизны » изменений цен. Это необходимо, потому что цена не является линейной функцией ставки дисконтирования, а скорее выпуклой функцией ставки дисконтирования. В частности, дюрацию можно сформулировать как первую производную цены по процентной ставке, а выпуклость — как вторую производную (см.: Формула закрытой формы длительности облигации ; Формула замкнутой формы выпуклости облигации ; Ряд Тейлора ). Продолжая приведенный выше пример, для более точной оценки чувствительности показатель выпуклости следует умножить на квадрат изменения процентной ставки, а результат прибавить к значению, полученному по приведенной выше линейной формуле.

Для встроенных опций см. эффективную длительность и эффективную выпуклость .

Бухгалтерский учет

При учете обязательств любые скидки или премии по облигациям должны амортизироваться в течение срока действия облигации. Для этого можно использовать несколько методов в зависимости от применимых правил бухгалтерского учета. Одна из возможностей заключается в том, что сумма амортизации в каждом периоде рассчитывается по ^{следующей формуле :}

${\displaystyle n\in \{0,1,...,N-1\}}$

${\displaystyle a_{n+1}}$= сумма амортизации в периоде номер «n+1»

${\displaystyle a_{n+1}=|iP-C|{(1+i)}^{n}}$

Скидка по облигации или премия по облигации = = ${\displaystyle |F-P|}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+...+a_{N}}$

Скидка по облигации или премия по облигации = ${\displaystyle F|i-i_{F}|({\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}})}$

Смотрите также

• Список тем оценки облигаций
• Спред обмена активами
• Выпуклость связи
• Срок действия облигации
• Бонд-опцион
• Чистая цена
• Купонная доходность
• Текущий доход
• Грязная цена
• Я распространяю
• Спред с учетом опционов
• Доходность к погашению
• Z-спред

Рекомендации

1. Что такое оценка облигаций (цена облигаций)?
2. Малкиел, Бертон Г. (1962). «Ожидания, цены на облигации и временная структура процентных ставок». Ежеквартальный экономический журнал . 76 (2): 197–218. дои : 10.2307/1880816. ISSN  0033-5533. JSTOR  1880816.
3. Боди, Цви; Кейн, Алекс; Маркус, Алан Дж. (2010). Основы инвестиций (восьмое изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл/Ирвин. ISBN 978-0-07-338240-1.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Калотай, Эндрю Дж.; Уильямс, Джордж О.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (1993). «Модель оценки облигаций и встроенных опционов». Журнал финансовых аналитиков . 49 (3): 35–46. дои : 10.2469/faj.v49.n3.35. ISSN  0015-198X – через Тейлора и Фрэнсиса.
5. Фабоцци, 1998 г.
6. Джонс, Э. Филип; Мейсон, Скотт П.; Розенфельд, Эрик (1984). «Анализ условных претензий структур корпоративного капитала: эмпирическое исследование». Журнал финансов . 39 (3): 611–625. дои : 10.2307/2327919. ISSN  0022-1082. JSTOR  2327919.
7. Вывод, аналогичный выводу Блэка-Шоулза , см.: Дэвид Мандель (2015). «Понимание рыночной цены риска», Университет штата Флорида.
8. Джон К. Кокс , Джонатан Э. Ингерсолл и Стивен А. Росс (1985). Теория временной структуры процентных ставок. Архивировано 3 октября 2011 г. в Wayback Machine , Econometrica 53:2.

Избранная библиография

• Гильермо Л. Думрауф (2012). «Глава 1: Цены и возврат». Облигации, пошаговый анализ с помощью Excel . Киндл издание.
• Фрэнк Фабоцци (1998). Оценка ценных бумаг с фиксированным доходом и деривативов (3-е изд.). Джон Уайли . ISBN 978-1-883249-25-0.
• Фрэнк Дж. Фабоцци (2005). Математика фиксированного дохода: аналитические и статистические методы (4-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0071460736.
• Р. Стаффорд Джонсон (2010). Оценка, отбор и управление облигациями (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0470478356.
• Мэйл, Январь (1993), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для определения цены, доходности и начисленных процентов , vol. 1 (3-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков , ISBN 1-882936-01-9
• Дональд Дж. Смит (2011). Математика Бонда: теория, лежащая в основе формул . Джон Уайли. ISBN 978-1576603062.
• Брюс Такман (2011). Ценные бумаги с фиксированным доходом: инструменты для сегодняшних рынков (3-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0470891698.
• Пьетро Веронези (2010). Ценные бумаги с фиксированным доходом: оценка, риск и управление рисками . Джон Уайли. ISBN 978-0470109106.
• Бертон Малкиел (1962). «Ожидания, цены на облигации и временная структура процентных ставок» . Ежеквартальный экономический журнал.
• Марк Мебиус (2012). Облигации: введение в основные концепции . Джон Уайли. ISBN 978-0470821473.

Внешние ссылки

• Оценка облигаций, профессор Кэмпбелл Р. Харви, Университет Дьюка
• Учебник по временной стоимости денег, профессор Асват Дамодаран , Школа бизнеса Стерна
• Волатильность цен на облигации Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки
• Дюрация и выпуклость Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки