Внутренняя норма прибыли

Метод расчета нормы прибыли от инвестиций

Внутренняя норма доходности ( IRR ) — это метод расчета нормы доходности инвестиций . Термин «внутренний» относится к тому факту, что расчет исключает внешние факторы, такие как безрисковая ставка , инфляция , стоимость капитала или финансовый риск .

Метод может применяться как ex-post , так и ex-ante . Применяемый ex-ante, IRR является оценкой будущей годовой нормы доходности. Применяемый ex-post, он измеряет фактически достигнутую инвестиционную доходность исторических инвестиций.

Его также называют нормой доходности дисконтированного денежного потока (DCFROR) ^[1] или ставкой доходности. ^[2]

Определение (IRR)

IRR инвестиций или проекта — это «годовая эффективная процентная ставка доходности» или норма прибыли , которая устанавливает чистую приведенную стоимость (NPV) всех денежных потоков (как положительных, так и отрицательных) от инвестиций, равную нулю. ^{[2] [3]} Эквивалентно, это процентная ставка , при которой чистая приведенная стоимость будущих денежных потоков равна первоначальным инвестициям, ^{[2] [3]} а также это процентная ставка, при которой общая приведенная стоимость затрат (отрицательные денежные потоки) равна общей приведенной стоимости выгод (положительные денежные потоки).

IRR представляет собой доходность инвестиций, достигнутую, когда проект достигает точки безубыточности, что означает, что проект лишь в незначительной степени оправдан как ценный. Когда NPV демонстрирует положительное значение, это указывает на то, что проект, как ожидается, будет генерировать ценность. И наоборот, если NPV показывает отрицательное значение, то проект, как ожидается, потеряет ценность. По сути, IRR означает норму прибыли, достигнутую, когда NPV проекта достигает нейтрального состояния, именно в точке, где NPV становится безубыточным. ^[4]

IRR учитывает временное предпочтение денег и инвестиций. Определенная доходность инвестиций, полученная в определенное время, стоит больше, чем та же доходность, полученная в более позднее время, поэтому последняя даст более низкую IRR, чем первая, если все остальные факторы равны. Инвестиции с фиксированным доходом, в которые деньги вносятся один раз, проценты по этому депозиту выплачиваются инвестору по определенной процентной ставке каждый период времени, и первоначальный депозит не увеличивается и не уменьшается, будут иметь IRR, равную указанной процентной ставке. Инвестиции, которые имеют такую ​​же общую доходность, как и предыдущие инвестиции, но задерживают доходность на один или несколько периодов времени, будут иметь более низкую IRR.

Использует

Сбережения и кредиты

В контексте сбережений и кредитов IRR также называется эффективной процентной ставкой .

Рентабельность инвестиций

IRR — это показатель прибыльности , эффективности, качества или доходности инвестиций. Это контрастирует с NPV , который является показателем чистой стоимости или величины, добавленной в результате инвестиций.

Чтобы максимизировать стоимость бизнеса, инвестиции следует делать только в том случае, если его прибыльность, измеряемая внутренней нормой доходности, больше минимально приемлемой нормы доходности . Если предполагаемая IRR проекта или инвестиции — например, строительство нового завода — превышает стоимость капитала фирмы , инвестированного в этот проект, то инвестиции являются прибыльными. Если предполагаемая IRR меньше стоимости капитала, предлагаемый проект не следует осуществлять. ^[5]

Выбор инвестиций может зависеть от бюджетных ограничений. Могут существовать взаимоисключающие конкурирующие проекты или ограничения на способность фирмы управлять несколькими проектами. По этим причинам корпорации используют IRR в бюджетировании капиталовложений для сравнения прибыльности набора альтернативных капитальных проектов . Например, корпорация будет сравнивать инвестиции в новый завод с расширением существующего завода на основе IRR каждого проекта. Чтобы максимизировать доходность , чем выше IRR проекта, тем более желательно его реализовать.

Существует по крайней мере два разных способа измерения IRR для инвестиций: IRR проекта и IRR акционерного капитала. IRR проекта предполагает, что денежные потоки напрямую приносят пользу проекту, тогда как IRR акционерного капитала учитывает доходы акционеров компании после обслуживания долга. ^[6]

Несмотря на то, что IRR является одним из самых популярных показателей, используемых для проверки жизнеспособности инвестиций и сравнения доходности альтернативных проектов, рассмотрение IRR в отдельности может быть не лучшим подходом для принятия инвестиционного решения. Некоторые предположения, сделанные при расчетах IRR, не всегда применимы к инвестициям. В частности, IRR предполагает, что проект либо не будет иметь промежуточных денежных потоков, либо промежуточные денежные потоки будут реинвестированы в проект, что не всегда так. Это несоответствие приводит к переоценке нормы прибыли, что может быть неверным представлением стоимости проекта. ^[7]

Фиксированный доход

IRR используется для оценки инвестиций в ценные бумаги с фиксированным доходом с использованием таких показателей, как доходность к погашению и доходность к досрочному погашению .

Обязательства

Как IRR, так и чистая текущая стоимость могут применяться как к обязательствам, так и к инвестициям. Для обязательства более низкий IRR предпочтительнее более высокого.

Управление капиталом

Корпорации используют IRR для оценки эмиссии акций и программ обратного выкупа акций . Выкуп акций осуществляется, если возврат капитала акционерам имеет более высокую IRR, чем потенциальные инвестиционные проекты или проекты по приобретению по текущим рыночным ценам. Финансирование новых проектов путем привлечения нового долга может также включать измерение стоимости нового долга с точки зрения доходности к погашению (внутренней нормы прибыли).

Частный капитал

IRR также используется для частного капитала , с точки зрения партнеров с ограниченной ответственностью, как мера эффективности работы генерального партнера в качестве инвестиционного менеджера. ^[8] Это связано с тем, что именно генеральный партнер контролирует денежные потоки, включая использование партнерами с ограниченной ответственностью выделенного капитала .

Расчет

При наличии набора пар ( время , денежный поток ), представляющих проект, NPV является функцией нормы прибыли . Внутренняя норма прибыли — это ставка, для которой эта функция равна нулю, т.е. внутренняя норма прибыли является решением уравнения NPV = 0 (при условии отсутствия условий арбитража).

Учитывая пары (период, денежный поток) ( , ), где — неотрицательное целое число, общее количество периодов , и , ( чистая приведенная стоимость ); внутренняя норма доходности определяется по формуле: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}=0}$

^{[2] [3]}

Этот рациональный многочлен можно преобразовать в обычный многочлен, имеющий те же корни, заменив g (прирост) на и умножив на , чтобы получить эквивалентное, но более простое условие ${\displaystyle 1+r}$ ${\displaystyle g^{N}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}C_{n}g^{N-n}=0}$

Возможные IRR — это реальные значения r , удовлетворяющие первому условию, и на 1 меньше реальных корней второго условия (то есть для каждого корня g ). Обратите внимание, что в обеих формулах — это отрицание первоначальных инвестиций в начале проекта, а — денежная стоимость проекта в конце, что эквивалентно снятию наличных, если проект должен был быть ликвидирован и выплачен, чтобы снизить стоимость проекта до нуля. Во втором условии — это ведущий коэффициент обычного многочлена в g , а — постоянный член. ${\displaystyle r=g-1}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{N}}$

Период обычно указывается в годах, но расчет можно упростить, если рассчитывать его с использованием периода, в котором определена большая часть проблемы (например, с использованием месяцев, если большая часть денежных потоков происходит с ежемесячными интервалами), а затем преобразовывать в годовой период. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

Вместо настоящего времени можно использовать любое фиксированное время (например, конец одного интервала аннуитета ) ; полученное значение равно нулю тогда и только тогда, когда NPV равна нулю.

В случае, если денежные потоки являются случайными величинами , как, например, в случае пожизненной ренты , ожидаемые значения подставляются в приведенную выше формулу.

Часто значение , удовлетворяющее приведенному выше уравнению, не может быть найдено аналитически . В этом случае необходимо использовать численные методы или графические методы . ${\displaystyle r}$

Пример

Если инвестиции могут быть заданы последовательностью денежных потоков

тогда IRR определяется как ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =-123400+{\frac {36200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {54800}{(1+r)^{2}}}+{\frac {48100}{(1+r)^{3}}}=0.}$

В этом случае ответ составляет 5,96% (то есть в расчетах r = 0,0596).

Численное решение

Поскольку вышеизложенное является проявлением общей проблемы нахождения корней уравнения , существует много численных методов , которые можно использовать для оценки . Например, с использованием метода секущих , дается как ${\displaystyle \operatorname {NPV} (r)=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\cdot \left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right).}$

где рассматривается й ^{аппроксимация} IRR. ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Это может быть найдено с произвольной степенью точности . Различные бухгалтерские пакеты могут предоставлять функции для разных уровней точности. Например, Microsoft Excel и Google Sheets имеют встроенные функции для расчета IRR как для фиксированных, так и для переменных временных интервалов; "=IRR(...)" и "=XIRR(...)". ${\displaystyle r}$

Поведение сходимости следующее:

• Если функция имеет единственный действительный корень , то последовательность сходится воспроизводимо к . ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$
• Если функция имеет действительные корни , то последовательность сходится к одному из корней, а изменение значений начальных пар может изменить корень, к которому она сходится. ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \scriptstyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$
• Если функция не имеет действительных корней, то последовательность стремится к +∞ . ${\displaystyle \operatorname {NPV} (i)}$

Наличие когда или когда может ускорить сходимость к . ${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}>r_{0}}}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}>0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {r_{1}<r_{0}}}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{0}<0}$ ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle r}$

Численное решение для одиночного оттока и множественных притоков

Особый интерес представляет случай, когда поток платежей состоит из одного оттока, за которым следуют множественные притоки, происходящие в равные периоды. В приведенных выше обозначениях это соответствует:

${\displaystyle C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ for }}n\geq 1.\,}$

В этом случае NPV потока платежей является выпуклой , строго убывающей функцией процентной ставки. Для IRR всегда существует единственное уникальное решение.

При наличии двух оценок и для IRR уравнение метода секанса (см. выше) с всегда дает улучшенную оценку . Иногда это называют методом Hit and Trial (или Trial and Error). Также можно получить более точные формулы интерполяции: например, формула секанса с поправкой ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right)\left(1-1.4{\frac {\operatorname {NPV} _{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n-1}-3\operatorname {NPV} _{n}+2C_{0}}}\right),}$

(которая наиболее точна, когда ) показала себя почти в 10 раз точнее, чем формула секанса для широкого диапазона процентных ставок и начальных догадок. Например, использование потока платежей {−4000, 1200, 1410, 1875, 1050} и начальных догадок, а также формулы секанса с коррекцией дает оценку IRR в 14,2% (ошибка 0,7%) по сравнению с IRR = 13,2% (ошибка 7%) из метода секанса. ${\displaystyle 0>\operatorname {NPV} _{n}>\operatorname {NPV} _{n-1}}$ ${\displaystyle r_{1}=0.25}$ ${\displaystyle r_{2}=0.2}$

При итеративном применении либо метод секущих, либо улучшенная формула всегда сходятся к правильному решению.

Как метод секущей, так и улучшенная формула полагаются на начальные предположения для IRR. Могут быть использованы следующие начальные предположения:

${\displaystyle r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,}$

${\displaystyle r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,}$

где

${\displaystyle A={\text{ sum of inflows }}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,}$

${\displaystyle p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\operatorname {NPV} _{1,in})}}.}$

Здесь относится только к чистой приведенной стоимости притоков (то есть устанавливается и вычисляется чистая приведенная стоимость). ${\displaystyle \operatorname {NPV} _{1,in}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}=0}$

Точные даты денежных потоков

Денежный поток может возникнуть в любое время лет после начала проекта. может не быть целым числом. Денежный поток все равно должен быть дисконтирован на коэффициент . И формула такова ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(1+r)^{t_{n}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} =C_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{t_{n}}}}=0}$

Для численного решения можно использовать метод Ньютона.

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}-{\frac {\operatorname {NPV} _{k}}{\operatorname {NPV} '_{k}}}}$

где производная и определяется выражением ${\displaystyle \operatorname {NPV} '}$ ${\displaystyle \operatorname {NPV} }$

${\displaystyle \operatorname {NPV} '=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}\cdot t_{n}}{(1+r)^{t_{n}+1}}}}$

Начальное значение может быть задано как ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}={\frac {-1}{C_{0}}}\sum _{n=1}^{N}C_{n}-1}$

Проблемы с использованием

Сравнение с критерием выбора инвестиций NPV

В качестве инструмента, применяемого для принятия инвестиционного решения о том, добавляет ли проект ценность или нет, сравнение IRR одного проекта с требуемой нормой доходности, в отрыве от любых других проектов, эквивалентно методу NPV. Если соответствующая IRR (если ее можно правильно найти) больше требуемой нормы доходности, то при использовании требуемой нормы доходности для дисконтирования денежных потоков до их текущей стоимости NPV этого проекта будет положительным, и наоборот. Однако использование IRR для сортировки проектов в порядке предпочтения не приводит к тому же порядку, что и использование NPV.

Максимизация чистой приведенной стоимости

Одной из возможных целей инвестиций является максимизация общей чистой приведенной стоимости проектов.

Когда целью является максимизация общей стоимости, рассчитанный IRR не следует использовать для выбора между взаимоисключающими проектами.

Сравнение NPV и ставки дисконтирования для двух взаимоисключающих проектов. Проект «A» имеет более высокую NPV (для определенных ставок дисконтирования), хотя его IRR (=  ось x -пересечение) ниже, чем у проекта «B» (кликните, чтобы увеличить)

В случаях, когда один проект имеет более высокие первоначальные инвестиции, чем второй взаимоисключающий проект, первый проект может иметь более низкую IRR (ожидаемую доходность), но более высокую NPV (увеличение благосостояния акционеров) и, таким образом, должен быть принят вместо второго проекта (при условии отсутствия ограничений по капиталу).

Когда целью является максимизация общей стоимости, IRR не следует использовать для сравнения проектов разной продолжительности. Например, NPV, добавленный проектом с большей продолжительностью, но более низкой IRR, может быть больше, чем у проекта аналогичного размера, с точки зрения общих чистых денежных потоков, но с меньшей продолжительностью и более высокой IRR.

Практикующие предпочитают IRR вместо NPV

Несмотря на сильное академическое предпочтение NPV, опросы показывают, что руководители предпочитают IRR вместо NPV. ^[9] По-видимому, менеджеры предпочитают сравнивать инвестиции разных размеров с точки зрения прогнозируемой эффективности инвестиций, используя IRR, а не максимизировать ценность для фирмы с точки зрения NPV. Это предпочтение имеет значение при сравнении взаимоисключающих проектов.

Максимизация долгосрочной прибыли

Максимизация общей стоимости — не единственная возможная инвестиционная цель. Альтернативной целью может быть, например, максимизация долгосрочной доходности. Такая цель рационально приведет к принятию в первую очередь тех новых проектов в рамках бюджета капиталовложений, которые имеют самую высокую IRR, поскольку добавление таких проектов будет иметь тенденцию максимизировать общую долгосрочную доходность.

Пример

Чтобы увидеть это, рассмотрим двух инвесторов, Max Value и Max Return. Max Value хочет, чтобы ее чистый капитал вырос как можно больше, и вложит все до последнего цента, чтобы достичь этого, в то время как Max Return хочет максимизировать свою норму прибыли в долгосрочной перспективе и предпочел бы выбирать проекты с меньшими капиталовложениями, но более высокой доходностью. Max Value и Max Return могут каждый из них получить до 100 000 долларов США из своего банка под годовую процентную ставку 10 процентов, выплачиваемую в конце года.

Инвесторам Max Value и Max Return представлены два возможных проекта для инвестирования, которые называются Big-Is-Best и Small-Is-Beautiful. Big-Is-Best требует капиталовложений в размере 100 000 долларов США сегодня, и счастливому инвестору будет выплачено 132 000 долларов США через год. Small-Is-Beautiful требует всего лишь 10 000 долларов США капитала, которые должны быть инвестированы сегодня, и вернет инвестору 13 750 долларов США через год.

Решение

Стоимость капитала для обоих инвесторов составляет 10 процентов.

Оба подхода — «Большой — значит лучший» и «Маленький — значит красивый» — имеют положительную чистую приведенную стоимость:

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.1}}-100,000=20,000}$

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.1}}-10,000=2,500}$

и внутренняя норма доходности каждого из них (конечно) больше стоимости капитала:

${\displaystyle {\mathit {NPV}}({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.32}}-100,000=0}$

поэтому IRR Big-Is-Best составляет 32 процента, и

${\displaystyle \operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.375}}-10,000=0}$

Таким образом, внутренняя норма доходности Small-Is-Beautiful составляет 37,5 процента.

Оба варианта инвестиций были бы приемлемы для обоих инвесторов, но поворот в этой истории заключается в том, что это взаимоисключающие проекты для обоих инвесторов, поскольку их капитальный бюджет ограничен 100 000 долларов США. Как инвесторы будут рационально выбирать между ними?

Счастливый результат заключается в том, что Max Value выбирает Big-Is-Best, у которого более высокий NPV в 20 000 долларов США, а не Small-Is-Beautiful, у которого всего лишь скромный NPV в 2500, тогда как Max Return выбирает Small-Is-Beautiful из-за его превосходной доходности в 37,5 процентов по сравнению с привлекательной (но не такой уж привлекательной) доходностью в 32 процента, предлагаемой Big-Is-Best. Таким образом, нет никаких ссор из-за того, кто получит какой проект, каждый из них счастлив выбрать разные проекты.

Как это может быть рациональным для обоих инвесторов? Ответ заключается в том, что инвесторам не нужно инвестировать все 100 000 долларов США. Макс Ренверт довольствуется тем, что инвестирует только 10 000 долларов США на данный момент. В конце концов, Макс Ренверт может рационализировать результат, думая, что, возможно, завтра появятся новые возможности инвестировать оставшиеся 90 000 долларов США, которые банк готов предоставить Макс Ренверт, по еще более высоким IRR. Даже если появится всего семь проектов, идентичных Small-Is-Beautiful, Макс Ренверт сможет сравняться с NPV Big-Is-Best при общих инвестициях всего в 80 000 долларов США, с 20 000 долларов США в бюджете, которые останутся для действительно непревзойденных возможностей. Макс Вэлью также счастлива, потому что она сразу же заполнила свой капитальный бюджет и решает, что может взять остаток года без инвестирования.

Несколько IRR

Когда знак денежных потоков меняется более одного раза, например, когда за положительными денежными потоками следуют отрицательные, а затем положительные (+ + − − − +), IRR может иметь несколько реальных значений. В серии денежных потоков, таких как (−10, 21, −11), человек изначально инвестирует деньги, поэтому высокая норма прибыли является лучшей, но затем получает больше, чем имеет, поэтому он должен денег, поэтому теперь низкая норма прибыли является лучшей. В этом случае даже не ясно, высокая или низкая IRR лучше.

Для одного проекта может быть даже несколько реальных IRR, как в примере 0% и 10%. Примерами такого типа проектов являются карьеры и атомные электростанции, где обычно наблюдается большой отток денежных средств в конце проекта.

IRR удовлетворяет полиномиальному уравнению. Теорему Штурма можно использовать для определения, имеет ли это уравнение единственное действительное решение. В общем случае уравнение IRR не может быть решено аналитически, а только итерацией.

При наличии нескольких внутренних норм доходности подход IRR все еще можно интерпретировать таким образом, чтобы он соответствовал подходу текущей стоимости, если базовый инвестиционный поток правильно определен как чистые инвестиции или чистое заимствование. ^[10]

См. ^[11] для определения соответствующего IRR из набора нескольких решений IRR.

Ограничения в контексте частного капитала

По словам Людовика Фалиппу , в контексте ошибки выживаемости , из-за которой высокая внутренняя норма доходности крупных частных инвестиционных компаний не отражает средний показатель,

«... заглавная цифра, которая часто отображается в качестве нормы прибыли в презентациях и документах, на самом деле является IRR. IRR не являются нормами прибыли. Что объединяет крупные компании прямых инвестиций, так это то, что их ранние инвестиции были успешными. Эти ранние победители установили IRR этих компаний с момента их основания на искусственно застывшем и высоком уровне. Математика IRR означает, что их IRR останутся на этом уровне навсегда, пока компании избегают крупных катастроф. Попутно это порождает некоторую вопиющую несправедливость, поскольку легче играть с IRR на LBO в западных странах, чем с любыми другими инвестициями прямых инвестиций. Это означает, что остальная часть отрасли прямых инвестиций (например, капитал роста развивающихся рынков) обречена вечно выглядеть относительно плохо, без какой-либо причины, кроме использования метрики производительности, которую можно обыграть». ^[12]

Также,

«Еще одна проблема с представлением результатов деятельности пенсионных фондов заключается в том, что для PE, взвешенные по времени доходы... не являются наиболее уместным показателем эффективности. Вопрос о том, сколько пенсионные фонды дали и получили обратно в долларовом выражении от PE, т. е. MoM, был бы более уместен. Я просмотрел 15 крупнейших веб-сайтов фондов, чтобы собрать информацию об их результатах. Немногие из них публикуют в Интернете доходность своих фондов PE. В большинстве случаев они публикуют информацию о своих прошлых результатах в PE, но ничего, что позволяло бы провести какой-либо значимый сравнительный анализ. Например , CalSTRS [государственный пенсионный фонд Калифорнии] предоставляет только чистую IRR для каждого фонда, в который они инвестируют. Поскольку IRR часто вводит в заблуждение и никогда не может быть агрегирована или сравнена с доходностью фондового рынка, такая информация в основном бесполезна для оценки результатов». ^[13]

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR)

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) учитывает стоимость капитала и призвана обеспечить лучшее представление о вероятной доходности проекта. Она применяет ставку дисконтирования для заимствования денежных средств, а IRR рассчитывается для инвестиционных денежных потоков. Это применимо в реальной жизни, например, когда клиент делает депозит до того, как будет построена определенная машина.

Когда проект имеет несколько IRR, может быть удобнее вычислить IRR проекта с реинвестированными выгодами. ^[14] Соответственно, используется MIRR, которая имеет предполагаемую ставку реинвестирования, обычно равную стоимости капитала проекта.

Средняя внутренняя норма доходности (AIRR)

Magni (2010) представил новый подход, названный подходом AIRR, основанный на интуитивном понятии среднего, который решает проблемы IRR. ^[15] Однако вышеупомянутые трудности — это лишь некоторые из многих недостатков, присущих IRR. Magni (2013) предоставил подробный список из 18 недостатков IRR и показал, как подход AIRR не влечет за собой проблем IRR. ^[16]

Математика

Математически предполагается, что стоимость инвестиций будет расти или уменьшаться по экспоненте в соответствии с некоторой нормой доходности (любое значение больше -100%) с разрывами для денежных потоков, а внутренняя норма доходности серии денежных потоков определяется как любая норма доходности, которая приводит к нулевой чистой приведенной стоимости (или, что эквивалентно, норма доходности, которая приводит к правильному нулевому значению после последнего денежного потока).

Таким образом, внутренняя норма(ы) доходности вытекают из NPV как функции нормы доходности. Эта функция непрерывна . В направлении нормы доходности −100% NPV стремится к бесконечности со знаком последнего денежного потока, а в направлении нормы доходности положительной бесконечности NPV стремится к первому денежному потоку (текущему). Следовательно, если первый и последний денежный поток имеют разные знаки, то существует IRR. Примеры временных рядов без IRR:

• Только отрицательные денежные потоки — чистая приведенная стоимость отрицательна для любой нормы прибыли.
• (−1, 1, −1), довольно небольшой положительный денежный поток между двумя отрицательными денежными потоками; NPV является квадратичной функцией 1/(1 +  r ), где r — норма прибыли, или, другими словами, квадратичной функцией ставки дисконтирования r /(1 +  r ); наивысшее значение NPV составляет −0,75 для r = 100%.

В случае серии исключительно отрицательных денежных потоков, за которой следует серия исключительно положительных, результирующая функция нормы прибыли непрерывна и монотонно убывает от положительной бесконечности (когда норма прибыли приближается к -100%) до значения первого денежного потока (когда норма прибыли приближается к бесконечности), поэтому существует уникальная норма прибыли, для которой она равна нулю. Следовательно, IRR также уникальна (и равна). Хотя сама функция NPV не обязательно монотонно убывает на всей своей области определения, она равна IRR.

Аналогично, в случае серии исключительно положительных денежных потоков, за которой следует серия исключительно отрицательных денежных потоков, IRR также является уникальным.

Наконец, по правилу знаков Декарта число внутренних норм доходности никогда не может превышать число изменений знака денежного потока.

Дебаты о реинвестировании

Часто утверждается, что IRR предполагает реинвестирование всех денежных потоков до самого конца проекта. Это утверждение стало предметом дискуссий в литературе.

Источники, утверждающие, что существует такое скрытое предположение, были процитированы ниже. ^{[14] [17]} Другие источники утверждают, что не существует предположения о реинвестировании IRR. ^{[18] [19] [20] [21] [22] [23]}

Чтобы понять источник этой путаницы, давайте рассмотрим пример с 3-летней облигацией номинальной стоимостью 1000 долларов и ставкой купона 5% (или 50 долларов).

Как можно видеть, хотя общая доходность отличается, IRR остается прежней. Другими словами, IRR нейтрален к реинвестированию по той же ставке. Неважно, изымаются ли деньги рано или реинвестируются по той же ставке и изымаются поздно — ставка та же.

Чтобы понять, почему, нам нужно рассчитать текущую стоимость (ТС) наших будущих денежных потоков, фактически воспроизведя расчеты IRR вручную:

В личных финансах

IRR можно использовать для измерения взвешенной по деньгам доходности финансовых инвестиций, таких как брокерский счет индивидуального инвестора. Для этого сценария эквивалентное, ^[24] более интуитивное определение IRR таково: «IRR — это годовая процентная ставка по счету с фиксированной ставкой (как несколько идеализированный сберегательный счет), который при тех же депозитах и ​​снятиях, что и фактические инвестиции, имеет тот же конечный баланс, что и фактические инвестиции». Этот счет с фиксированной ставкой также называется реплицирующим счетом с фиксированной ставкой для инвестиций. Существуют примеры, когда реплицирующий счет с фиксированной ставкой сталкивается с отрицательными балансами, несмотря на то, что фактические инвестиции этого не делали. ^[24] В этих случаях расчет IRR предполагает, что та же процентная ставка, которая выплачивается по положительным балансам, взимается и по отрицательным балансам. Было показано, что этот способ взимания процентов является основной причиной проблемы множественных решений IRR. ^{[25] [26]} Если модель модифицируется таким образом, что, как это происходит в реальной жизни, внешняя стоимость заимствования (возможно, меняющаяся со временем) взимается с отрицательных остатков, проблема множественных решений исчезает. ^{[25] [26]} Результирующая ставка называется эквивалентом фиксированной ставки ( FREQ ). ^[24]

Негодовая внутренняя норма доходности

В контексте измерения эффективности инвестиций иногда возникает двусмысленность в терминологии между периодической нормой доходности , такой как IRR, как определено выше, и доходностью периода удержания. Термин внутренняя норма доходности ( IRR) или внутренняя норма доходности с момента начала ( SI-IRR) в некоторых контекстах используется для обозначения неаннуализированной доходности за период, особенно для периодов менее года. ^[27]

Смотрите также

• Учетная ставка доходности
• Бюджетирование капиталовложений
• Дисконтированный денежный поток
• Модифицированный метод Дитца
• Модифицированная внутренняя норма доходности
• Чистая текущая стоимость
• Норма прибыли
• Простой метод Дитца
• Предельная эффективность капитала
• Возврат инвестиций

Ссылки

1. Экономика проекта и анализ решений, Том I: Детерминированные модели, MAMain, Страница 269
2. Келлисон, Стивен Г. (2009). Теория интереса (Третье изд.). Бостон: McGraw-Hill Irwin. С. 251–252. ISBN 978-0-07-338244-9. OCLC  182552985.
3. Броверман, Сэмюэл А. (2010). Математика инвестиций и кредита (5-е изд.). Winsted, CT: ACTEX Publications, Inc. стр. 264–265. ISBN 978-1-56698-767-7. OCLC  651487023.
4. "Калькулятор IRR: расчет внутренней нормы доходности онлайн - калькулятор NPV". 2023-05-21 . Получено 2023-06-02 .
5. Эхсан, Никбахт, Эхсан и Гроппелли, А.А. (2012). Финансы (шестое изд.). Хауппагге, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэррона. п. 201. ИСБН 978-0-7641-4759-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. «Инструментарий ГЧП».^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
7. «Внутренняя норма доходности: поучительная история | McKinsey».
8. "Глобальные стандарты эффективности инвестиций". Институт CFA . Получено 31 декабря 2015 г.
9. Pogue, M. (2004). Оценка инвестиций: новый подход. Журнал управленческого аудита. Том 19 № 4, 2004. С. 565–570
10. Хазен, ГБ, «Новый взгляд на множественные внутренние нормы доходности», The Engineering Economist 48(1), 2003, 31–51.
11. Хартман, Дж. К. и Шафрик, И. К., «Соответствующая внутренняя норма доходности», The Engineering Economist 49(2), 2004, 139–158.
12. Фалиппу, Людовик (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Саид Бизнес-школа Оксфордского университета». SSRN Paper : 4. SSRN  3623820.
13. Phalippou, Ludovic (10 июня 2020 г.). «Профессор финансовой экономики Said Business School Oxford University». SSRN Paper : 15, 16. SSRN  3623820.
14. "CFO | Новости для финансовых директоров". www.cfo.com .
15. Magni, CA (2010) «Средняя внутренняя норма доходности и инвестиционные решения: новая перспектива». The Engineering Economist, 55(2), 150‒181.
16. Магни, Калифорния (2013) «Подход внутренней нормы доходности и парадигма AIRR: опровержение и подтверждение» The Engineering Economist, 58(2), 73‒111.
17. [1] Измерение инвестиционной доходности
18. Дадли, CL, «Заметка о предположениях о реинвестировании при выборе между чистой приведенной стоимостью и внутренней нормой доходности». Журнал финансов 27(4), 1972, 907–15.
19. Кин, SM, «Внутренняя норма доходности и заблуждение реинвестирования». Abacus 15(1), 1979, 48–55.
20. Ломанн, Дж. Р., «IRR, NPV и ошибочность предположений о ставке реинвестирования». The Engineering Economist 33(4), 1988, 303–30.
21. Киф, С.П. и М.Л. Рауш, «Методы дисконтирования денежных потоков и ошибочные предположения о реинвестировании: обзор последних текстов». Бухгалтерское образование 10(1), 2001, 105-116.
22. Рич, С. П. и Дж. Т. Роуз, «Пересматривая старый вопрос: подразумевает ли метод IRR ставку реинвестирования?» Журнал финансового образования 10(1), 2014, 105-116.
23. Дадли, Магни, Карло Альберто и Мартин, Джон Д., «Ошибочное предположение о ставке реинвестирования для IRR и NPV: педагогическое примечание» 'https://mpra.ub.uni-muenchen.de/83889/' ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} , 2017
24. Математика эквивалента фиксированной ставки ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} , Белая книга GreaterThanZero.
25. Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., Математический анализ норм прибыли в условиях определенности, Management Science Vol. 11 Nr. 3, январь 1965, 395–403.
26. Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., Анализ критериев принятия инвестиционных и финансовых решений в условиях определенности, Management Science Vol. 12 Nr. 3, ноябрь 1965 г., 151–179.
27. [2] Глобальные стандарты эффективности инвестиций

Дальнейшее чтение

• Брюс Дж. Фейбел. Измерение эффективности инвестиций . Нью-Йорк: Wiley, 2003. ISBN 0-471-26849-6 
• Рэй Мартин, ПЕРЕСМОТР ВНУТРЕННЕЙ СТАВКИ ДОХОДНОСТИ

Внешние ссылки

• Интерактивная лекция по экономике от Университета Южной Каролины