Сеть (математика)

Обобщение последовательности точек

В математике , а точнее в общей топологии и смежных областях, сеть или последовательность Мура–Смита — это функция , областью определения которой является направленное множество . Областью определения этой функции обычно является некоторое топологическое пространство . Сети напрямую обобщают концепцию последовательности в метрическом пространстве . Сети в основном используются в областях анализа и топологии , где они используются для характеристики многих важных топологических свойств , которые (в общем случае) последовательности не могут характеризовать (этот недостаток последовательностей мотивировал изучение последовательных пространств и пространств Фреше–Урысона ). Сети находятся во взаимно-однозначном соответствии с фильтрами .

История

Понятие сети впервые было введено Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году. ^[1] Термин «сеть» был придуман Джоном Л. Келли . ^{[2] [3]}

Подобная концепция фильтра была разработана в 1937 году Анри Картаном .

Определения

Направленный набор — это непустой набор вместе с предпорядком , обычно автоматически обозначаемый (если не указано иное), со свойством, что он также ( вверх ) направлен , что означает, что для любого существует такой , что и На словах это свойство означает, что для любых двух элементов (из ), всегда найдется некоторый элемент, который находится «выше» их обоих (больше или равен каждому); таким образом, направленные наборы обобщают понятие «направления» математически строгим образом. Однако важно отметить, что направленные наборы не обязаны быть полными порядками или даже частичными порядками . Направленный набор может иметь наибольшие элементы и/или максимальные элементы . В этом случае условия и не могут быть заменены строгими неравенствами и , поскольку строгие неравенства не могут быть выполнены, если a или b максимальны. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle a<c}$ ${\displaystyle b<c}$

Сеть в , обозначаемая , является функцией формы , домен которой является некоторым направленным множеством, а значениями являются . Элементы домена сети называются ее индексами . Когда множество ясно из контекста, оно просто называется сетью , и предполагается, что это направленное множество с предпорядком Обозначение сетей может быть различным, например, с использованием угловых скобок . Как это принято в нотации алгебраической топологии , заполненный диск или «пуля» стоит на месте входной переменной или индекса . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:A\to X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(a)=x_{a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \,\leq .}$ ${\displaystyle \left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Пределы сетей

Говорят, что сеть в конечном итоге или остаточно находится в множестве, если существует такое , что для каждого с точкой A точка называется ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a,}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$предельная точка илипредел сетивлюбое время: ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$

для каждой открытой окрестности сети в конечном итоге находится в , ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle U}$

эквивалентно выражено как: чистаясходится к ${\displaystyle x}$илиимеетпредел ${\displaystyle x}$; и обозначается по-разному:Еслиэто ясно из контекста, то это можно опустить в обозначении. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X.\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle X}$

Если и этот предел уникален (т.е. только для ), то записывают: используя знак равенства вместо стрелки ^[4] В хаусдорфовом пространстве каждая сеть имеет не более одного предела, а предел сходящейся сети всегда уникален. ^[4] Некоторые авторы не различают обозначения и , но это может привести к неоднозначностям, если окружающее пространство не является хаусдорфовым. ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$ ${\displaystyle x=y}$ $${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$ ${\displaystyle \to .}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$

Точки скопления сетей

Говорят, что сеть — это ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$часто иликонфинально в , если для каждогосуществует некотороетакое, чтои^[5]Точканазывается ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in A}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle x_{b}\in S.}$ ${\displaystyle x\in X}$точка накопления илиточка кластерасети, если для каждой окрестностисетичасто/конфинально в^[5]Фактически,является точкой кластера тогда и только тогда, когда она имеет подмножество, которое сходится к^[6]Множествовсех точек кластеравравнодля каждого, где. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$

Подсети

Аналогом «подпоследовательности» для сетей является понятие «подсети». Существует несколько различных неэквивалентных определений «подсети», и в этой статье будет использоваться определение, введенное в 1970 году Стивеном Уиллардом ^[7] , которое выглядит следующим образом: Если и являются сетями, то называется подсетью или ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$Подсеть Уилларда ^[7]для ,если существует сохраняющее порядок отображениетакое, чтоявляется конфинальным подмножествоми Отображениеназывается сохраняющим порядок игомоморфизмом порядка,если всякий раз, тоКонфинальность множества по означает, что для каждогосуществует некотороетакое, что ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.}$$ ${\displaystyle h:I\to A}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ ${\displaystyle h(I)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in h(I)}$ ${\displaystyle b\geq a.}$

Если является точкой кластера некоторой подсети , то является также точкой кластера ^[6] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Ультрасети

Сетка в наборе называется ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$универсальная сеть илиультрасеть , если для каждого подмножествав конечном итоге находится вилив конечном итоге находится в дополнении^[5] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$

Каждая константная сеть является (тривиальной) ультрасетью. Каждая подсеть ультрасети является ультрасетью. ^[8] Принимая аксиому выбора , каждая сеть имеет некоторую подсеть, которая является ультрасетью, но никакие нетривиальные ультрасети никогда не были построены явно. ^[5] Если является ультрасетью в и является функцией, то является ультрасетью в ^[5] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle Y.}$

Для кластеров ультрасети в тогда и только тогда, когда она сходится к ^[5] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Сети Коши

Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши на сети, определенные на равномерных пространствах . ^[9]

Сеть — это ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Сеть Коши, если для каждогоокружения существуеттакое, что для всехявляется членом^[9][10]В более общем смысле, впространстве Кошисетьявляется сетью Коши, если фильтр, генерируемый сетью, являетсяфильтром Коши. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

Топологическое векторное пространство (TVS) называется полным , если каждая сеть Коши сходится к некоторой точке. Нормированное пространство , которое является особым типом топологического векторного пространства, является полным TVS (эквивалентно, банаховым пространством ) тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши сходится к некоторой точке (свойство, которое называется последовательной полнотой ). Хотя сети Коши не нужны для описания полноты нормированных пространств, они нужны для описания полноты более общих (возможно, ненормируемых ) топологических векторных пространств.

Характеристика топологических свойств

Практически все концепции топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для руководства интуицией, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности . Следующий набор теорем и лемм помогает закрепить это сходство:

Закрытые множества и закрытие

Подмножество замкнуто в тогда и только тогда, когда каждая предельная точка в сети в обязательно лежит в . Явно это означает, что если есть сеть с для всех , и в то ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle s_{a}\in S}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$

В более общем случае, если — любое подмножество, то замыкание — это множество точек с для некоторой сети в . ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle S}$

Открытые множества и характеристики топологий

Подмножество открыто тогда и только тогда, когда никакая сеть в не сходится к точке ^[11] Кроме того, подмножество открыто тогда и только тогда, когда каждая сеть, сходящаяся к элементу из , в конечном итоге содержится в Именно эти характеристики «открытого подмножества» позволяют сетям характеризовать топологии . Топологии также могут быть охарактеризованы замкнутыми подмножествами, поскольку множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто. Таким образом, характеристики «замкнутого множества» в терминах сетей также могут быть использованы для характеризации топологий. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Непрерывность

Функция между топологическими пространствами непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для любой сети в области из влечет в ^[6] Вкратце, функция непрерывна тогда и только тогда, когда из влечет в В общем случае это утверждение было бы неверно, если бы слово «сеть» было заменено на «последовательность»; то есть необходимо допускать направленные множества, отличные от натуральных чисел, если — не является пространством с первой аксиомой счетности (или не является последовательным пространством ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$

Компактность

Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть в имеет подсеть с пределом в Это можно рассматривать как обобщение теоремы Больцано–Вейерштрасса и теоремы Гейне – Бореля . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Кластерные и предельные точки

Множество точек кластера сети равно множеству пределов ее сходящихся подсетей .

Сеть имеет предел тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют пределы. В этом случае каждый предел сети является также пределом каждой подсети.

Другие свойства

В общем случае сеть в пространстве может иметь более одного предела, но если является хаусдорфовым пространством , то предел сети, если он существует, является единственным. И наоборот, если не является хаусдорфовым, то существует сеть на с двумя различными пределами. Таким образом, уникальность предела эквивалентна условию Хаусдорфа на пространстве, и, действительно, это можно принять за определение. Этот результат зависит от условия направленности; множество, индексированное общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Отношение к фильтрам

Фильтр — это связанная идея в топологии, которая допускает общее определение сходимости в общих топологических пространствах. Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию сходимости. ^[12] Более конкретно, каждая база фильтра индуцирует связанную сеть, используя точечные множества фильтра, а сходимость базы фильтра подразумевает сходимость связанной сети. Аналогично, любая сеть в индуцирует базу фильтра хвостов , где фильтр в , сгенерированный этой базой фильтра, называется фильтром событийности сети . Сходимость сети подразумевает сходимость фильтра событийности. ^[13] Это соответствие позволяет доказать любую теорему, которая может быть доказана с помощью одной концепции, с помощью другой. ^[13] Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может быть охарактеризована либо сходимостью сети в области, подразумевающей сходимость соответствующей сети в кодомене, либо тем же утверждением с базами фильтров. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}}$ ${\displaystyle X}$

Роберт Г. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции. ^[13] Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы делать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно те, которые используют последовательные элементы, такие как распространены в анализе , в то время как фильтры наиболее полезны в алгебраической топологии . В любом случае, он показывает, как эти две концепции могут использоваться в сочетании для доказательства различных теорем в общей топологии .

Кривая обучения использованию сетей обычно гораздо менее крутая, чем для фильтров, поэтому многие математики, особенно аналитики , предпочитают их фильтрам. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют некоторые важные технические преимущества перед сетями, которые в конечном итоге приводят к тому, что сети встречаются гораздо реже, чем фильтры за пределами областей анализа и топологии.

Как обобщение последовательностей

Каждое непустое полностью упорядоченное множество является направленным. Следовательно, каждая функция на таком множестве является сетью. В частности, натуральные числа вместе с обычным предварительным порядком сравнения целых чисел образуют архетипический пример направленного множества. Последовательность является функцией от натуральных чисел, поэтому каждую последовательность в топологическом пространстве можно считать сетью в , определенной на Наоборот, любая сеть, областью определения которой являются натуральные числа, является последовательностью , поскольку по определению последовательность в является просто функцией из в Именно таким образом сети являются обобщениями последовательностей: вместо того, чтобы быть определенной на счетном линейно упорядоченном множестве ( ), сеть определяется на произвольном направленном множестве . Сети часто обозначаются с использованием нотации, которая похожа на ту, которая используется с последовательностями (и вдохновлена ​​ею). Например, подстрочная нотация взята из последовательностей. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{a}}$

Аналогично, каждый предел последовательности и предел функции можно интерпретировать как предел сети. В частности, сеть в конечном итоге находится в подмножестве , если существует такое , что для каждого целого числа точка находится в Поэтому тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети в конечном итоге находится в Сеть часто находится в подмножестве , если и только тогда, когда для каждого существует некоторое целое число такое , что то есть тогда и только тогда, когда бесконечно много элементов последовательности находятся в Таким образом, точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много элементов последовательности. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \lim {}_{n}a_{n}\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\in S,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$

В контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функциях между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия, в общем случае, не эквивалентны для отображения между топологическими пространствами и : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

1. Отображение непрерывно в топологическом смысле ; ${\displaystyle f}$
2. Для любой точки в и любой последовательности в , сходящейся к композиции с этой последовательностью, сходящейся к (непрерывной в последовательном смысле) . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

В то время как условие 1 всегда гарантирует условие 2, обратное не обязательно верно. Пространства, для которых оба условия эквивалентны, называются последовательными пространствами . Все пространства с первой счетностью , включая метрические пространства , являются последовательными пространствами, но не все топологические пространства являются последовательными. Сети обобщают понятие последовательности, так что условие 2 читается следующим образом:

2. Для любой точки в и любой сети в , сходящейся к композиции с этой сетью, сходится к (непрерывно в сетевом смысле). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

С этим изменением условия становятся эквивалентными для всех карт топологических пространств, включая топологические пространства, которые не обязательно имеют счетный или линейно упорядоченный базис соседства вокруг точки. Таким образом, в то время как последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети ее кодируют, поскольку коллекции открытых множеств в топологических пространствах во многом похожи на направленные множества по поведению.

Для примера, когда последовательности недостаточны, интерпретируйте множество всех функций с прототипом как декартово произведение (отождествляя функцию с кортежем и наоборот) и наделите его топологией произведения . Эта топология (произведения) на идентична топологии поточечной сходимости . Пусть обозначает множество всех функций , которые равны всюду, за исключением не более конечного числа точек (то есть таких, что множество конечно). Тогда постоянная функция принадлежит замыканию в то есть, ^[8] Это будет доказано путем построения сети в , которая сходится к Однако не существует никакой последовательности в , которая сходится к ^[14] , что делает этот случай единственным, где должны использоваться (не последовательности) сети, поскольку одни последовательности не могут достичь желаемого вывода. Сравниваем элементы поточечно обычным способом, объявляя, что если и только если для всех Это поточечное сравнение является частичным порядком, который создает направленный набор, поскольку для любого их поточечный минимум принадлежит и удовлетворяет и Этот частичный порядок превращает тождественное отображение (определенное с помощью ) в -значную сеть. Эта сеть сходится поточечно к в , что подразумевает, что принадлежит замыканию в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x:f(x)=0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} };}$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle f\geq g}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (E,\geq )}$ ${\displaystyle f,g\in E,}$ ${\displaystyle m:=\min\{f,g\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\geq m}$ ${\displaystyle g\geq m.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(E,\geq )\to E}$ ${\displaystyle f\mapsto f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.}$

В более общем смысле, подсеть последовательности не обязательно является последовательностью. ^{[5] [a]} Более того, подсеть последовательности может быть последовательностью, но не подпоследовательностью. ^[b] Но в конкретном случае последовательного пространства каждая сеть индуцирует соответствующую последовательность, и это отношение отображает подсети в подпоследовательности. В частности, для пространства с первой счетностью сеть индуцирует последовательность , где определяется как наименьшее значение в  – то есть, пусть и пусть для каждого целого числа . ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h_{1}:=\inf A}$ ${\displaystyle h_{n}:=\inf\{a\in A:a>h_{n-1}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

Примеры

Топология подпространства

Если множество наделено топологией подпространства, индуцированной на нем к , то в тогда и только тогда, когда в Таким образом, вопрос о том, сходится ли сеть к данной точке или нет, зависит исключительно от этого топологического подпространства, состоящего из и образа (то есть точек) сети ${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Системы соседства

Интуитивно, сходимость сети означает, что значения приходят и остаются настолько близкими, насколько мы хотим, для достаточно больших Для данной точки в топологическом пространстве пусть обозначим множество всех окрестностей, содержащих Тогда — направленное множество, где направление задается обратным включением, так что тогда и только тогда, когда содержится в Для Пусть будет точкой в ​​Тогда — сеть. По мере увеличения относительно точек в сети ограничиваются тем, чтобы лежать в убывающих окрестностях . Следовательно, в этой системе окрестностей точки , действительно сходится к согласно определению сходимости сети. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle S\geq T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle S\in N_{x},}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle x}$

Если задана подбаза для топологии на (где следует отметить, что каждая база для топологии также является подбазой), а задана точка, то сеть в сходится к тогда и только тогда, когда она в конечном итоге находится в каждой окрестности этой точки. Эта характеристика распространяется на подбазы окрестностей (а также на базы окрестностей ) заданной точки. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x.}$

Пределы в декартовом произведении

Сеть в пространстве произведений имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.

Явно, пусть будут топологическими пространствами, наделим их декартовым произведением топологию произведения и для каждого индекса обозначим каноническую проекцию на через ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ $${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ ${\displaystyle l\in I,}$ ${\displaystyle X_{l}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

Пусть будет сетью, направленной по и для каждого индекса пусть обозначает результат «вставки в », что приводит к сети Иногда полезно думать об этом определении в терминах композиции функций : сеть равна композиции сети с проекцией , то есть, ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Для любой заданной точки сеть сходится к в пространстве произведений тогда и только тогда, когда для каждого индекса сходится к в ^[15] И всякий раз, когда сеть кластеризуется в , то кластеризуется в для каждого индекса ^[8] Однако обратное в общем случае не выполняется. ^[8] Например, предположим, что и пусть обозначают последовательность , которая чередуется между и Тогда и являются точками кластеризации как и в , но не являются точкой кластеризации , поскольку открытый шар радиуса с центром в не содержит ни одной точки ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle L_{1}:=0}$ ${\displaystyle L_{2}:=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$

Теорема Тихонова и ее связь с аксиомой выбора

Если не задано, но для каждого существует некоторое такое, что в то кортеж, определяемый с помощью , будет пределом в Однако, аксиома выбора может потребоваться для того, чтобы заключить, что этот кортеж существует; аксиома выбора не нужна в некоторых ситуациях, например, когда является конечным или когда каждое является уникальным пределом сети (потому что тогда выбирать не между чем), что происходит, например, когда каждое является хаусдорфовым пространством . Если является бесконечным и не пустым, то аксиома выбора (в общем случае) все еще будет необходима для заключения, что проекции являются сюръективными отображениями . ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$

Аксиома выбора эквивалентна теореме Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Но если каждое компактное пространство также является хаусдорфовым, то вместо этого можно использовать так называемую «теорему Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтре и, таким образом, строго слабее аксиомы выбора . Сети можно использовать для предоставления коротких доказательств обеих версий теоремы Тихонова, используя характеристику сетевой сходимости, данную выше, вместе с тем фактом, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть имеет сходящуюся подсеть .

Предел выше/ниже

Верхний и нижний предел сети действительных чисел можно определить таким же образом, как и для последовательностей. ^{[16] [17] [18]} Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем действительная линия, например, с полными решетками. ^[19]

Для чистого пут ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$ $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

Предел, превышающий сеть действительных чисел, имеет много свойств, аналогичных случаю последовательностей. Например, равенство имеет место всякий раз, когда одна из сетей сходится. $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$

Интеграл Римана

Определение значения интеграла Римана можно интерпретировать как предел сети сумм Римана , где направленное множество сети представляет собой множество всех разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченных по включению.

Метрические пространства

Предположим, что является метрическим пространством (или псевдометрическим пространством ) и наделено метрической топологией . Если является точкой и является сетью, то в тогда и только тогда, когда в , где является сетью действительных чисел . На простом языке эта характеристика гласит, что сеть сходится к точке в метрическом пространстве тогда и только тогда, когда расстояние между сетью и точкой сходится к нулю. Если является нормированным пространством (или полунормированным пространством ), то в тогда и только тогда, когда в , где ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$ ${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

Если имеет по крайней мере две точки, то мы можем зафиксировать точку (например, с евклидовой метрикой , являющейся началом координат) и направить множество обратно в соответствии с расстоянием от , объявив, что тогда и только тогда, когда Другими словами, отношение «имеет по крайней мере такое же расстояние до как», так что «достаточно большой» по отношению к этому отношению означает «достаточно близкий к ». Для любой функции с областью определения ее ограничение на может быть канонически интерпретировано как сеть, направленная ^[8] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle (I,\leq ).}$

Сеть в конечном итоге находится в подмножестве топологического пространства тогда и только тогда, когда существует такое , что для каждого удовлетворяющего точка находится в Такая сеть сходится в к заданной точке тогда и только тогда, когда в обычном смысле (это означает, что для каждой окрестности в конечном итоге находится в ). ^[8] ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$

Сеть часто находится в подмножестве тогда и только тогда, когда для каждого существует некоторое с таким, что входит в Следовательно, точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети часто входит в ${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$ ${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$ ${\displaystyle f(m)}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle L\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle V.}$

Функция из вполне упорядоченного множества в топологическое пространство

Рассмотрим вполне упорядоченное множество с предельной точкой и функцию из в топологическое пространство Эта функция является сетью на ${\displaystyle [0,c]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle [0,t).}$

В конечном итоге он находится в подмножестве , если существует такое , что для каждого точка находится в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle V.}$

Так что если и только если для каждой окрестности в конечном итоге находится в ${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V.}$

Сеть часто находится в подмножестве тогда и только тогда, когда для каждого существует такое , что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in [0,t)}$ ${\displaystyle s\in [r,t)}$ ${\displaystyle f(s)\in V.}$

Точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда для каждой окрестности сети часто встречается ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle V.}$

Первый пример — это частный случай этого ${\displaystyle c=\omega .}$

См. также порядково-индексированная последовательность .

Смотрите также

• Характеристика категории топологических пространств
• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Предварительный порядок  – рефлексивное и транзитивное бинарное отношение
• Последовательное пространство  – Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Ультрафильтр (теория множеств)  – Максимальный собственный фильтрPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Например, пусть и пусть для каждого так, что — постоянная нулевая последовательность. Пусть будет направлена ​​обычным порядком и пусть для каждого Определим , положив будет потолком Отображение — это морфизм порядка, образ которого конфинален в своей области значений и выполняется для каждого Это показывает, что — подсеть последовательности (где эта подсеть не является подпоследовательностью, потому что она даже не является последовательностью, поскольку ее область определения — несчетное множество ). ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle s_{r}=0}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \varphi (r)=\lceil r\rceil }$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle \varphi :I\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}}$ ${\displaystyle r\in R.}$ ${\displaystyle \left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi }$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$
2. Последовательность не является подпоследовательностью , хотя она является подсетью, поскольку отображение, определенное с помощью , является отображением, сохраняющим порядок, образ которого является и удовлетворяет для всех Действительно, это происходит потому, что и для каждого , другими словами, если рассматривать его как функции на последовательности , то это просто тождественное отображение на , в то время как ${\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor }$ ${\displaystyle h(\mathbb {N} )=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle s_{i}=h(i)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle s_{\bullet }=h.}$

Цитаты

1. Мур, Э. Х.; Смит , Х. Л. (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики . 44 (2): 102–121. doi :10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
2. (Сундстрём 2010, стр. 16n)
3. Меггинсон, стр. 143
4. Kelley 1975, стр. 65–72.
5. Уиллард 2004, стр. 73–77.
6. Уиллард 2004, стр. 75.
7. Шехтер 1996, стр. 157–168.
8. Уиллард 2004, стр. 77.
9. Willard, Stephen (2012), Общая топология, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 260, ISBN 9780486131788.
10. Джоши, КД (1983), Введение в общую топологию, New Age International, стр. 356, ISBN 9780852264447.
11. Хоус 1995, стр. 83–92.
12. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-24 . Получено 2013-01-15 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
13. RG Bartle, Сети и фильтры в топологии, American Mathematical Monthly, т. 62, № 8 (1955), стр. 551–557.
14. Уиллард 2004, стр. 71–72.
15. Уиллард 2004, стр. 76.
16. Алипрантис-Бордер, стр. 32
17. Меггинсон, стр. 217, стр. 221, Упражнения 2.53–2.55
18. Пиво, стр. 2
19. Шехтер, Разделы 7.43–7.47

Ссылки

• Сундстрём, Манья Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].
• Aliprantis, Charalambos D. ; Border, Kim C. (2006). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. МР  2378491.
• Бир, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. стр. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. МР  1269778.
• Howes, Norman R. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. OL  1272666M.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Springer. ISBN 3-540-90125-6.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахова пространства . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 193. New York: Springer. ISBN 0-387-98431-3.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press. ISBN 9780080532998. Получено 22 июня 2013 г.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.