Центрированное треугольное число

Центрированное фигурное число, представляющее собой треугольник с точкой в ​​центре.

Центрированное (или центрированное ) треугольное число — это центрированное фигурное число , представляющее собой равносторонний треугольник с точкой в ​​центре и всеми остальными его точками, окружающими центр, в последовательных равносторонних треугольных слоях .

Это также число точек гексагональной решетки со связью ближайших соседей, расстояние которых от заданной точки меньше или равно . ${\displaystyle n}$

На следующем рисунке показано построение центрированных треугольных чисел с использованием связанных фигур: на каждом шаге предыдущий треугольник (показан красным) окружается треугольным слоем новых точек (синим).

Первые восемь центрированных треугольных чисел на шестигранной сетке

Характеристики

• Гномон n - го центрированного треугольного числа, соответствующего ( n + 1)-му треугольному слою, равен:

${\displaystyle C_{3,n+1}-C_{3,n}=3(n+1).}$

• N - е центрированное треугольное число, соответствующее n слоям плюс центр, определяется по формуле:

${\displaystyle C_{3,n}=1+3{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.}$

• Каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1, а частное (если оно положительное) равно предыдущему правильному треугольному числу.

• Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, представляет собой сумму трех последовательных правильных треугольных чисел .

• При n > 2 сумма первых n центрированных треугольных чисел является магической константой для нормального магического квадрата n на n .

Связь с центрированными квадратными числами

Центрированные треугольные числа можно выразить через центрированные квадратные числа:

${\displaystyle C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}},}$

где

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n+1)^{2}.}$

Списки центрированных треугольных чисел

Первые центрированные треугольные числа ( C _{3, n} < 3000) равны:

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, , 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, … (последовательность A005448 в OEIS ).

Первые одновременно треугольные и центрированные треугольные числа ( C _{3, n} = T _N < 10 ⁹ ) равны:

1, 10, 136, 1 891, 26 335, 366 796, 5 108 806, 71 156 485, 991 081 981, … (последовательность A128862 в OEIS ).

Производящая функция

Если центрированные треугольные числа рассматривать как коэффициенты ряда Маклорена функции, то эта функция сходится для всех , и в этом случае ее можно выразить как мероморфную производящую функцию ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle 1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+~...={\frac {1-x^{3}}{(1-x)^{4}}}={\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}~.}$

Ссылки

• Ланселот Хогбен : Математика для миллиона (1936), переиздано WW Norton & Company (сентябрь 1993), ISBN  978-0-393-31071-9
• Вайсштейн, Эрик В. «Центрированное треугольное число». MathWorld .