Обобщения матриц Паули

Семейства матриц в математике, физике и квантовой информации

В математике и физике , в частности квантовой информации , термин обобщенные матрицы Паули относится к семействам матриц, которые обобщают (линейные алгебраические) свойства матриц Паули . Здесь суммируются несколько классов таких матриц.

Многокубитные матрицы Паули (эрмитовы)

Этот метод обобщения матриц Паули относится к обобщению от одной двухуровневой системы ( кубита ) до нескольких таких систем. В частности, обобщенные матрицы Паули для группы кубитов — это просто набор матриц, сгенерированных всеми возможными произведениями матриц Паули на любом из кубитов. ^[1] ${\displaystyle N}$

Векторным пространством одного кубита является , а векторным пространством кубитов является . Мы используем обозначение тензорного произведения ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}=\left(\mathbb {C} ^{2}\right)^{\otimes N}\cong \mathbb {C} ^{2^{N}}}$

${\displaystyle \sigma _{a}^{(n)}=I^{(1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(n-1)}\otimes \sigma _{a}\otimes I^{(n+1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(N)},\qquad a=1,2,3}$

для обозначения оператора на , который действует как матрица Паули на th кубите и тождество на всех других кубитах. Мы также можем использовать для тождества, т.е. для любого мы используем . Тогда многокубитные матрицы Паули являются матрицами вида ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sigma _{0}^{(n)}=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$

${\displaystyle \sigma _{\,{\vec {a}}}:=\prod _{n=1}^{N}\sigma _{a_{n}}^{(n)}=\sigma _{a_{1}}\otimes \dotsm \otimes \sigma _{a_{N}},\qquad {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{N})\in \{0,1,2,3\}^{\times N}}$,

т.е. для вектора целых чисел от 0 до 4. Таким образом, существуют такие обобщенные матрицы Паули, если мы включаем тождество и если мы этого не делаем. ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle 4^{N}}$ ${\textstyle I=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$ ${\displaystyle 4^{N}-1}$

Обозначения

В квантовых вычислениях принято обозначать матрицы Паули одной заглавной буквой.

${\displaystyle I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.}$

Это позволяет индексам на матрицах Паули указывать индекс кубита. Например, в системе с 3 кубитами,

${\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}$

Матрицы Паули с несколькими кубитами могут быть записаны как произведения однокубитных матриц Паули на непересекающихся кубитах. В качестве альтернативы, когда это ясно из контекста, символ тензорного произведения может быть опущен, т.е. матрицы Паули без индекса, записанные последовательно, представляют собой тензорное произведение, а не матричное произведение. Например: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}$

Матрицы высшего спина (эрмитовы)

Традиционные матрицы Паули являются матричными представлениями генераторов алгебры Ли , и в двумерном неприводимом представлении SU(2) , соответствующем частице со спином 1/2 . Они порождают группу Ли SU(2) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Для общей частицы со спином вместо этого используется -мерное неприводимое представление. ${\displaystyle s=0,1/2,1,3/2,2,\ldots }$ ${\displaystyle 2s+1}$

Обобщенные матрицы Гелл-Манна (эрмитовы)

Этот метод обобщения матриц Паули относится к обобщению от 2-уровневых систем (матрицы Паули, действующие на кубиты ) до 3-уровневых систем ( матрицы Гелл-Манна, действующие на кутриты ) и общих 3- уровневых систем (обобщенные матрицы Гелл-Манна, действующие на кудиты ). ${\displaystyle d}$

Строительство

Пусть будет матрицей с 1 в jk -м элементе и 0 в остальных местах. Рассмотрим пространство комплексных матриц, , для фиксированного . ${\displaystyle E_{jk}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d}$

Определим следующие матрицы:

${\displaystyle f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}}$

и

${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}}$

Набор матриц, определенных выше без единичной матрицы, называется обобщенными матрицами Гелл-Манна размерности . ^{[2] [3]} Символ ⊕ (используемый в подалгебре Картана выше) означает прямую сумму матриц . ${\displaystyle d}$

Обобщенные матрицы Гелл-Манна являются эрмитовыми и бесследовыми по построению, как и матрицы Паули. Можно также проверить, что они ортогональны во внутреннем произведении Гильберта-Шмидта на . По подсчету размерностей видно, что они охватывают векторное пространство комплексных матриц, . Затем они обеспечивают базис генератора алгебры Ли, действующий на фундаментальное представление . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(d)}$

В размерностях = 2 и 3 приведенная выше конструкция восстанавливает матрицы Паули и Гелл-Манна соответственно. ${\displaystyle d}$

Обобщенные матрицы Паули Сильвестра (неэрмитовы)

Особенно примечательное обобщение матриц Паули было построено Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1882 году. ^[4] Они известны как «матрицы Вейля–Гейзенберга», а также «обобщенные матрицы Паули». ^{[5] [6]}

Обрамление

Матрицы Паули и удовлетворяют следующим условиям: ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.}$

Так называемая матрица сопряжения Уолша-Адамара имеет вид

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Подобно матрицам Паули, является одновременно эрмитовой и унитарной и удовлетворяет соотношению ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

Теперь цель состоит в том, чтобы распространить вышесказанное на более высокие измерения . ${\displaystyle d}$

Конструкция: Матрицы часов и сдвига

Зафиксируем размерность, как и прежде. Пусть , корень из единицы. Так как и , сумма всех корней аннулируется: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/d)}$ ${\displaystyle \omega ^{d}=1}$ ${\displaystyle \omega \neq 1}$

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

Затем целочисленные индексы могут быть циклически идентифицированы по модулю d .

Теперь определим с помощью Сильвестра матрицу сдвига

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

и матрица часов ,

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Эти матрицы обобщают и , соответственно. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Обратите внимание, что унитарность и бесследность двух матриц Паули сохраняется, но не эрмитовость в размерностях выше двух. Поскольку матрицы Паули описывают кватернионы , Сильвестр окрестил более многомерные аналоги «нонионами», «седенионами» и т. д.

Эти две матрицы также являются краеугольным камнем квантово-механической динамики в конечномерных векторных пространствах ^{[7] [8] [9],} как это сформулировал Герман Вейль , и они находят повседневное применение во многих областях математической физики. ^[10] Матрица часов представляет собой экспоненту положения в «часах» часов, а матрица сдвига — это просто оператор трансляции в этом циклическом векторном пространстве, то есть экспонента импульса. Они являются (конечномерными) представлениями соответствующих элементов группы Вейля-Гейзенберга в -мерном гильбертовом пространстве. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Следующие соотношения повторяют и обобщают соотношения матриц Паули:

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

и отношение плетения,

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

формулировка Вейля CCR , и может быть переписана как

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

С другой стороны, чтобы обобщить матрицу Уолша–Адамара , отметим, что ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Определим, снова с помощью Сильвестра, следующую аналоговую матрицу ^[11] , по-прежнему обозначаемую как , слегка искажая обозначения, ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

Очевидно, что уже не эрмитово, но все еще унитарно. Прямой расчет дает ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

что является желаемым аналоговым результатом. Таким образом, , матрица Вандермонда , выстраивает собственные векторы , которые имеют те же собственные значения, что и . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

Когда , — это в точности матрица дискретного преобразования Фурье , преобразующая координаты положения в координаты импульса и наоборот. ${\displaystyle d=2^{k}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

Определение

Полное семейство унитарных (но неэрмитовых) независимых матриц определяется следующим образом: ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}}$

${\displaystyle \sigma _{k,j}:=\left(\Sigma _{1}\right)^{k}\left(\Sigma _{3}\right)^{j}=\sum _{m=0}^{d-1}|m+k\rangle \omega ^{jm}\langle m|.}$

Это обеспечивает хорошо известный след-ортогональный базис Сильвестра для , известный как «нонионы» , «седенионы» и т. д. ^{[12] [13]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )}$

Этот базис может быть систематически связан с вышеуказанным эрмитовым базисом. ^[14] (Например, степени , подалгебры Картана , отображаются в линейные комбинации матриц .) Его можно далее использовать для идентификации , как , с алгеброй скобок Пуассона . ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ ${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle d\to \infty }$

Характеристики

Относительно скалярного произведения Гильберта–Шмидта на операторах обобщенные операторы Паули Сильвестра ортогональны и нормализованы к : ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}}$.

Это можно проверить непосредственно из приведенного выше определения . ${\displaystyle \sigma _{k,j}}$

Смотрите также

• Физический портал

• Группа Гейзенберга § Группа Гейзенберга по модулю нечетного простого числа p
• Эрмитова матрица
• сфера Блоха
• Дискретное преобразование Фурье
• Обобщенная алгебра Клиффорда
• Матрицы Вейля–Брауэра
• Циркулярная матрица
• Оператор смены
• Квантовое преобразование Фурье
• Группа 3D-вращений § Заметка об алгебрах Ли

Примечания

1. Браун, Адам Р.; Сасскинд, Леонард (2018-04-25). "Второй закон квантовой сложности". Physical Review D. 97 ( 8): 086015. arXiv : 1701.01107 . Bibcode : 2018PhRvD..97h6015B. doi : 10.1103/PhysRevD.97.086015. S2CID  119199949.
2. Кимура, Г. (2003). «Вектор Блоха для систем N-уровня». Physics Letters A. 314 ( 5–6): 339–349. arXiv : quant-ph/0301152 . Bibcode : 2003PhLA..314..339K. doi : 10.1016/S0375-9601(03)00941-1. S2CID  119063531.
3. Бертлманн, Рейнхольд А.; Филипп Краммер (2008-06-13). "Векторы Блоха для кудитов". Журнал физики A: Математический и теоретический . 41 (23): 235303. arXiv : 0806.1174 . Bibcode :2008JPhA...41w5303B. doi :10.1088/1751-8113/41/23/235303. ISSN  1751-8121. S2CID  118603188.
4. Sylvester, JJ, (1882), Johns Hopkins University Circulars I : 241-242; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Резюмировано в The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . онлайн и далее.
5. Appleby, DM (май 2005 г.). «Симметричные информационно полные–положительные операторно-значные меры и расширенная группа Клиффорда». Журнал математической физики . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Bibcode : 2005JMP....46e2107A. doi : 10.1063/1.1896384. ISSN  0022-2488.
6. Howard, Mark; Vala, Jiri (2012-08-15). "Qudit-версии кубитового π / 8-вентиля". Physical Review A. 86 ( 2): 022316. arXiv : 1206.1598 . Bibcode : 2012PhRvA..86b2316H. doi : 10.1103/PhysRevA.86.022316. ISSN  1050-2947. S2CID  56324846.
7. Вейль, Х. , «Квантенмеханика и группентеория», Zeitschrift für Physik , 46 (1927), стр. 1–46, doi : 10.1007/BF02055756.
8. Вейль, Г., Теория групп и квантовая механика (Довер, Нью-Йорк, 1931)
9. Сантханам, ТС; Текумалла, А.Р. (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики . 6 (5): 583. Bibcode : 1976FoPh....6..583S. doi : 10.1007/BF00715110. S2CID  119936801.
10. Для полезного обзора см. Vourdas A. (2004), «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством», Rep. Prog. Phys. 67 267. doi :10.1088/0034-4885/67/3/R03.
11. Сильвестр, Дж. Дж. (1867). «Мысли об обратных ортогональных матрицах, одновременной последовательности знаков и мозаичных мостовых в два или более цветов с приложениями к правилу Ньютона, орнаментальной плитке и теории чисел». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 34 (232): 461–475. doi :10.1080/14786446708639914.
12. Патера, Дж.; Цассенхаус, Х. (1988). «Матрицы Паули в n измерениях и самые тонкие градуировки простых алгебр Ли типа An−1». Журнал математической физики . 29 (3): 665. Bibcode :1988JMP....29..665P. doi :10.1063/1.528006.
13. Поскольку все индексы определены циклически по модулю d , . ${\displaystyle \mathrm {tr} \Sigma _{1}^{j}\Sigma _{3}^{k}\Sigma _{1}^{m}\Sigma _{3}^{n}=\omega ^{km}d~\delta _{j+m,0}\delta _{k+n,0}}$
14. Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). «Бесконечномерные алгебры и тригонометрический базис для классических алгебр Ли». Журнал математической физики . 31 (5): 1088. Bibcode : 1990JMP....31.1088F. doi : 10.1063/1.528788.