Вычислительная анатомия

Междисциплинарная область биологии

Компьютерная анатомия — междисциплинарная область биологии , ориентированная на количественное исследование и моделирование изменчивости анатомических форм. ^{[1] [2]} Он включает в себя разработку и применение математических, статистических и аналитических методов для моделирования и моделирования биологических структур.

Эта область имеет широкое определение и включает в себя основы анатомии , прикладной математики и чистой математики , машинного обучения , вычислительной механики , вычислительной науки , биологической визуализации , нейробиологии , физики , теории вероятностей и статистики ; она также имеет тесную связь с механикой жидкости и геометрической механикой . Кроме того, он дополняет новые междисциплинарные области, такие как биоинформатика и нейроинформатика, в том смысле, что его интерпретация использует метаданные, полученные из исходных методов сенсорной визуализации (одним из примеров которых является магнитно-резонансная томография ). Основное внимание уделяется визуализируемым анатомическим структурам, а не медицинским устройствам визуализации. По духу это похоже на историю компьютерной лингвистики , дисциплины, которая фокусируется на лингвистических структурах, а не на сенсоре , действующем как средство передачи и коммуникации.

В вычислительной анатомии группа диффеоморфизмов используется для изучения различных систем координат посредством преобразований координат , генерируемых лагранжевой и эйлеровой скоростями потока в . Потоки между координатами в вычислительной анатомии ограничены геодезическими потоками, удовлетворяющими принципу наименьшего действия для кинетической энергии потока. Кинетическая энергия определяется через норму гладкости Соболева со строго более чем двумя обобщенными, интегрируемыми с квадратом производными для каждой компоненты скорости потока, что гарантирует, что потоки являются диффеоморфизмами. ^[3] Это также означает, что импульс диффеоморфной формы, взятый поточечно, удовлетворяющий уравнению Эйлера-Лагранжа для геодезических, определяется его соседями через пространственные производные по полю скорости. Это отличает данную дисциплину от случая несжимаемых жидкостей ^[4] , для которых импульс является точечной функцией скорости. Вычислительная анатомия пересекается с изучением римановых многообразий и нелинейным глобальным анализом , где в центре внимания находятся группы диффеоморфизмов. Появляющиеся многомерные теории формы ^[5] занимают центральное место во многих исследованиях в области вычислительной анатомии, как и вопросы, возникающие в молодой области статистики формы . Метрические структуры в вычислительной анатомии по духу связаны с морфометрикой , с той разницей, что вычислительная анатомия фокусируется на бесконечномерном пространстве систем координат, преобразованных диффеоморфизмом , отсюда и центральное использование терминологии диффеоморфометрия, исследование метрического пространства систем координат. через диффеоморфизмы. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Бытие

В основе компьютерной анатомии лежит сравнение форм путем распознавания в одной форме другой. Это связывает его с разработками Д'Арси Вентворта Томпсона «О росте и форме» , которые привели к научному объяснению морфогенеза , процесса формирования структур в биологии . Четыре книги Альбрехта Дюрера о пропорциях человека были, возможно, самыми ранними работами по вычислительной анатомии. ^{[6] [7] [8]} Усилия Ноама Хомского в его новаторстве в области компьютерной лингвистики вдохновили оригинальную формулировку компьютерной анатомии как генеративной модели формы и формы на основе образцов, на которые воздействуют посредством преобразований. ^[9]

Благодаря доступности плотных трехмерных измерений с помощью таких технологий, как магнитно-резонансная томография (МРТ), компьютерная анатомия превратилась в область медицинской визуализации и биоинженерии для извлечения анатомических систем координат в масштабе морфома в трехмерном пространстве. Дух этой дисциплины во многом пересекается с такими областями, как компьютерное зрение и кинематика твердых тел , где объекты изучаются путем анализа групп , ответственных за рассматриваемое движение. Вычислительная анатомия отличается от компьютерного зрения, уделяя особое внимание жестким движениям, поскольку группа бесконечномерных диффеоморфизмов занимает центральное место в анализе биологических форм. Это ветвь школы анализа изображений и теории паттернов в Университете Брауна ^[10], инициатором которой является Ульф Гренандер . В общей теории метрических паттернов Гренандера преобразование пространств паттернов в метрическое пространство является одной из фундаментальных операций, поскольку для кластеризации и распознавания анатомических конфигураций часто требуется метрика близких и далеких форм. Метрика диффеоморфометрии ^[11] компьютерной анатомии измеряет, насколько далеко друг от друга находятся два диффеоморфных изменения координат, что, в свою очередь, наводит метрику на формы и изображения, индексированные к ним. Модели теории метрических шаблонов, ^{[12] [13]} , в частности групповое действие на орбиту фигур и форм, являются центральным инструментом формальных определений в вычислительной анатомии.

История

Вычислительная анатомия - это изучение формы и формы на уровне морфома или грубой анатомии в миллиметрах или морфологическом масштабе с упором на изучение подмножеств точек , кривых поверхностей и подобъемов анатомии человека. Ранним современным компьютерным нейроанатомом был Дэвид Ван Эссен ^[14], выполнивший некоторые из ранних физических развертываний человеческого мозга, основанных на печати человеческой коры и разрезании. Публикация Жаном Талайрачом координат Талайраха является важной вехой на уровне морфомов, демонстрируя фундаментальную основу локальных систем координат в изучении нейроанатомии и, следовательно, четкую связь с диаграммами дифференциальной геометрии . Одновременно с этим виртуальное картирование в вычислительной анатомии с использованием координат плотного изображения с высоким разрешением уже происходило в самых ранних разработках Рузены Байчи ^[15] и Фреда Букштейна ^[16] , основанных на компьютерной аксиальной томографии и магнитно-резонансной томографии . Самое раннее использование потоков диффеоморфизмов для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинских визуализациях было сделано Кристенсеном, Джоши, Миллером и Рэббиттом. ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

Первая формализация вычислительной анатомии как орбиты образцовых шаблонов при действии группы диффеоморфизмов была в оригинальной лекции, прочитанной Гренандером и Миллером с таким названием в мае 1997 года на 50-летии отделения прикладной математики в Университете Брауна ^[20] и последующая публикация. ^[9] Это послужило основой для сильного отхода от большей части предыдущих работ по передовым методам пространственной нормализации и регистрации изображений , которые исторически были построены на понятиях сложения и расширения базы. Преобразования, сохраняющие структуру, центральные в современной области вычислительной анатомии, гомеоморфизмы и диффеоморфизмы плавно переносят гладкие подмногообразия. Они порождаются лагранжевыми и эйлеровыми потоками , которые удовлетворяют закону композиции функций, образующих групповое свойство, но не являются аддитивными.

Исходная модель компьютерной анатомии представляла собой тройку, группу , орбиту форм и форм , а также законы вероятности , которые кодируют изменения объектов на орбите. Шаблон или коллекция шаблонов — это элементы орбиты фигур. ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

Лагранжевы и гамильтоновы формулировки уравнений движения вычислительной анатомии появились после 1997 года с нескольких важных встреч, включая встречу Luminy 1997 года ^[21], организованную школой Азенкотта ^[22] в Ecole-Normale Cachan по «Математике распознавания форм». и Триместр 1998 года в Институте Анри Пуанкаре, организованный Дэвидом Мамфордом «Математические вопросы в области сигналов и изображения», который послужил катализатором групп Хопкинса-Брауна-ENS Качана и последующих разработок и связей вычислительной анатомии с разработками в глобальном анализе.

Развитие вычислительной анатомии включало установление условий гладкости Соболева на метрике диффеоморфометрии для обеспечения существования решений вариационных задач в пространстве диффеоморфизмов, ^{[23] [24]} вывод уравнений Эйлера-Лагранжа, характеризующих геодезические через группу и связанные с ними законы сохранения, ^{[25] [26] [27]} демонстрация метрических свойств правоинвариантной метрики, ^[28] демонстрация того, что уравнения Эйлера-Лагранжа имеют корректную начальную задачу с единственными решениями для всех time, ^[29] и с первыми результатами о секционных кривизнах для метрики диффеоморфометрии в отмеченных пространствах. ^[30] После встречи в Лос-Аламосе в 2002 году, ^[31] оригинальные сингулярные решения Джоши ^[32] большой деформации в вычислительной анатомии были связаны с остроконечными солитонами или пиконами ^[33] как решениями уравнения Камассы-Холма . Впоследствии были установлены связи между уравнениями Эйлера-Лагранжа вычислительной анатомии для плотностей импульса для правоинвариантной метрики, удовлетворяющей соболевской гладкости, с характеристикой Владимира Арнольда ^[4] уравнения Эйлера для несжимаемых потоков как описания геодезических в группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем. ^{[34] [35]} Первые алгоритмы, обычно называемые LDDMM, для диффеоморфного отображения большой деформации для вычисления связей между ориентирами в объемах ^{[32] [36] [37]} и сферических многообразиях, ^[38] кривых, ^[39] токах и поверхностях, Затем последовали ^{[40] [41] [42]} объёмы, ^[43] тензоры, ^[44] варифолды, ^[45] и временные ряды ^{[46] [47] [48] .}

Этот вклад вычислительной анатомии в глобальный анализ, связанный с бесконечномерными многообразиями подгрупп группы диффеоморфизмов, далеко не тривиален. Первоначальная идея создания дифференциальной геометрии, кривизны и геодезических на бесконечномерных многообразиях восходит к « Габилитации » Бернхарда Римана (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grundeliegen ^{[49] [50]} ); Ключевая современная книга, закладывающая основы таких идей в глобальном анализе, принадлежит Михору. ^[51]

Приложения в области медицинской визуализации компьютерной анатомии продолжали процветать после двух организованных встреч в рамках конференций Института чистой и прикладной математики ^{[52] [53]} в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе . Компьютерная анатомия оказалась полезной для создания точных моделей атрофии человеческого мозга в масштабе морфом, а также сердечных шаблонов ^[54] , а также для моделирования биологических систем. ^[55] С конца 1990-х годов компьютерная анатомия стала важной частью разработки новых технологий в области медицинской визуализации. Цифровые атласы являются фундаментальной частью современного медицинского образования ^{[56] [57]} и нейровизуализационных исследований на уровне морфом. ^{[58] [59]} Методы на основе атласов и виртуальные учебники ^[60] , которые учитывают вариации, например, в деформируемых шаблонах, находятся в центре многих платформ анализа нейроизображений, включая Freesurfer, ^[61] FSL, ^[62] MRIStudio, ^[63] SPM . ^[64] Диффеоморфная регистрация, ^[18] , представленная в 1990-х годах, в настоящее время является важным игроком с существующими базами кодов, организованными вокруг ANTS, ^[65] DARTEL, ^[66] DEMONS, ^[67] LDDMM, ^[68] StationaryLDDMM, ^[69] FastLDDMM, ^[70] являются примерами активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе разреженных признаков и плотных изображений. Морфометрия на основе вокселей — важная технология, основанная на многих из этих принципов.

Деформируемая модель орбиты шаблона вычислительной анатомии

Модель анатомии человека представляет собой деформируемый шаблон, орбиту экземпляров под групповым действием. Деформируемые модели шаблонов занимают центральное место в теории метрических шаблонов Гренандера, учитывая типичность через шаблоны и учитывая изменчивость через трансформацию шаблона. Орбита под действием группы как представление деформируемого шаблона — это классическая формулировка дифференциальной геометрии. Пространство форм обозначается группой с законом композиции ; обозначается действие группы на фигуры , где действие группы определяется так, чтобы удовлетворять ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

Орбитой шаблона становится пространство всех форм, будучи однородным под действием элементов . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

На рисунке изображены три медиальные структуры височной доли: миндалевидное тело, энторинальная кора и гиппокамп с изображенными реперными ориентирами, которые также встроены в фон МРТ.

Орбитальная модель компьютерной анатомии представляет собой абстрактную алгебру, которую можно сравнить с линейной алгеброй , поскольку группы действуют на формы нелинейно. Это обобщение классических моделей линейной алгебры, в котором множество конечномерных векторов заменено конечномерными анатомическими подмногообразиями (точками, кривыми, поверхностями и объемами) и их изображениями, а матрицы линейной алгебры имеют вид заменены координатными преобразованиями, основанными на линейных и аффинных группах и более общих многомерных группах диффеоморфизмов. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Формы и формы

Центральными объектами являются формы или формы в компьютерной анатомии, причем один набор примеров представляет собой 0,1,2,3-мерные подмногообразия , второй набор примеров представляет собой изображения, созданные с помощью медицинских изображений , таких как магнитно-резонансная томография (МРТ) и функциональная магнитно-резонансная томография . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Треугольные сетчатые поверхности, изображающие подкорковые структуры миндалины, гиппокампа, таламуса, хвостатого ядра, скорлупы, желудочков. Формы обозначены как треугольные сетки. ${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

0-мерные многообразия являются ориентирами или контрольными точками; Одномерные многообразия представляют собой кривые, такие как извилистые и извилистые кривые в мозге; Двумерные многообразия соответствуют границам подструктур в анатомии, таких как подкорковые структуры среднего мозга или извилистая поверхность неокортекса ; субобъемы соответствуют субобластям человеческого тела: сердцу , таламусу , почкам.

Ориентиры представляют собой наборы точек без какой-либо другой структуры, очерчивающие важные ориентиры в форме и форме человека (см. Соответствующее изображение ориентира). Формы подмногообразия , такие как поверхности, представляют собой наборы точек, смоделированные как параметризованные с помощью локальной диаграммы или погружения ( см. Рисунок, показывающий формы в виде сетчатых поверхностей) . Изображения, такие как изображения MR или изображения DTI , представляют собой плотные функции и являются скалярами, векторами и матрицами (см. Рисунок, показывающий скалярное изображение). ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

Группы и групповые действия

Показан срез МРТ трехмерного мозга, представляющий скалярное изображение на основе Т1-взвешивания. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Группы и групповые действия знакомы инженерному сообществу благодаря всеобщей популяризации и стандартизации линейной алгебры как базовой модели анализа сигналов и систем в машиностроении , электротехнике и прикладной математике . В линейной алгебре группы матриц (матрицы с обратными матрицами) являются центральной структурой, действие которой определяется обычным определением матрицы , действующей как векторы; орбита в линейной алгебре - это набор -векторов, заданных , который является групповым действием матриц через орбиту . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

Центральной группой в вычислительной анатомии, определенной на объемах, являются диффеоморфизмы , которые представляют собой отображения с 3-компонентами , законом композиции функций и обратными . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Diff}$ ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$

Наиболее популярны скалярные изображения с действием справа через обратное. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$.

Для подмногообразий , параметризованных картой или погружением , диффеоморфное действие — поток позиции ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U}$.

Определены несколько групповых действий в вычислительной анатомии . ^{[ нужна цитата ]}

Лагранжевы и эйлеровы потоки для генерации диффеоморфизмов

При изучении кинематики твердого тела в центре внимания были низкоразмерные матричные группы Ли . Группы матриц представляют собой маломерные отображения, которые представляют собой диффеоморфизмы, обеспечивающие взаимно-однозначные соответствия между системами координат с гладким обратным. Матричная группа вращений и масштабов может быть сгенерирована с помощью конечномерных матриц замкнутой формы, которые являются решением простых обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями, определяемыми матричной экспонентой.

Для изучения деформируемой формы в вычислительной анатомии была выбрана более общая группа диффеоморфизмов, которая является бесконечномерным аналогом. Многомерные группы диффеоморфизмов, используемые в вычислительной анатомии, генерируются посредством гладких потоков , которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потока , впервые введенной в ^{[17] , [19] [71]} , удовлетворяющей обыкновенному дифференциальному уравнению: ${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$

Показ лагранжева потока координат с соответствующими векторными полями, удовлетворяющими обыкновенному дифференциальному уравнению . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),\phi _{0}=id}$

с векторными полями, называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Векторные поля представляют собой функции в функциональном пространстве, смоделированные как гладкое гильбертово пространство высокой размерности, причем якобиан потока также является многомерным полем в функциональном пространстве, а не низкоразмерной матрицей, как в матрице группы. Впервые потоки были введены ^{[72] [73]} для больших деформаций при сопоставлении изображений; – мгновенная скорость частицы в момент времени . ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ D\phi \doteq ({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}})}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

Обратное, необходимое для группы, определяется на эйлеровом векторном поле с адвективным обратным потоком ${\displaystyle \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

Группа диффеоморфизмов вычислительной анатомии

Группа диффеоморфизмов очень велика. Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов, избегающие ударных решений для обратного, векторные поля должны быть как минимум 1-кратно непрерывно дифференцируемы в пространстве. ^{[74] [75]} Для диффеоморфизмов на векторные поля моделируются как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева , так что каждый элемент имеет строго больше двух обобщенных интегрируемых с квадратом пространственных производных (таким образом, достаточно), что дает 1-кратное непрерывно дифференцируемые функции. ^{[74] [75]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в соболевской норме:

где с линейным оператором , отображающим в дуальное пространство , с интегралом, вычисляемым интегрированием по частям, когда – обобщенная функция в дуальном пространстве. ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

Соболевская гладкость и воспроизведение ядра гильбертова пространства с ядром Грина

Условие гладкости Соболева на векторных полях, моделируемое в воспроизводящем ядерном гильбертовом пространстве

Подход моделирования, используемый в вычислительной анатомии, обеспечивает соблюдение условия непрерывной дифференцируемости векторных полей путем моделирования пространства векторных полей как воспроизводящего ядра Гильберта пространства (RKHS) с нормой, определяемой дифференциальным оператором 1-1, обратным Грину . Норма гильбертова пространства индуцируется дифференциальным оператором. Для обобщенной функции или распределения определите линейную форму как . Это определяет норму по ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot wdx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,\ v,w\in V\ .}$

Поскольку является дифференциальным оператором, конечность квадрата нормы включает производные от дифференциального оператора, предполагающие гладкость векторных полей. Аргументы теоремы вложения Соболева были приведены в ^{[74], [75],} демонстрируя, что для гладких потоков требуется 1-непрерывная производная. . Для правильного выбора тогда используется RKHS с оператором, называемым оператором Грина , созданным из функции Грина (скалярный случай) для случая векторного поля. Ядра Грина, связанные с дифференциальным оператором, сглаживаются, поскольку ядро ​​непрерывно дифференцируемо по обеим переменным, что означает ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Av|v)<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)}$

Когда , векторная плотность, . ${\displaystyle \sigma \doteq \mu dx}$ ${\displaystyle (\sigma |v)\doteq \int v\cdot \mu dx}$

Диффеоморфометрия: метрическое пространство форм и форм.

Изучение метрик на группах диффеоморфизмов и изучение метрик между многообразиями и поверхностями было областью значительных исследований. ^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]} Показатель диффеоморфометрии измеряет, насколько близки и далеки две формы или изображения друг от друга; метрическая длина — это кратчайшая длина потока, переносящего одну систему координат в другую.

Часто знакомая евклидова метрика неприменима напрямую, поскольку закономерности форм и изображений не образуют векторного пространства. В модели римановой орбиты вычислительной анатомии диффеоморфизмы, действующие на формы, не действуют линейно. Есть много способов определения метрик, и для множеств, связанных с фигурами, еще одним является метрика Хаусдорфа . Используемый нами метод индуцирования римановой метрики используется для индуцирования метрики на орбите фигур путем определения ее через длину метрики между преобразованиями диффеоморфной системы координат потоков. Измерение длин геодезического потока между системами координат на орбите фигур называется диффеоморфометрией . ${\displaystyle \phi \cdot m\in {\mathcal {M}},\phi \in Diff_{V},m\in {\mathcal {M}}}$

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Определим расстояние на группе диффеоморфизмов

это правоинвариантная метрика диффеоморфометрии, ^{[11] [28]} инвариантная к репараметризации пространства, поскольку для всех , ${\displaystyle \phi \in Diff_{V}}$

${\displaystyle d_{Diff_{V}}(\psi ,\varphi )=d_{Diff_{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi )}$.

Метрика форм и форм

Расстояние между формами и формами, ^[81] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

изображения ^[28] обозначаются орбитой как и метрикой . ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

Интеграл действия принципа Гамильтона на диффеоморфных потоках

В классической механике эволюция физических систем описывается решениями уравнений Эйлера–Лагранжа, связанных с принципом наименьшего действия Гамильтона . Это стандартный путь, например получения законов движения свободных частиц Ньютона . В более общем смысле уравнения Эйлера-Лагранжа можно вывести для систем обобщенных координат . Уравнение Эйлера-Лагранжа в вычислительной анатомии описывает потоки геодезических кратчайших путей между системами координат метрики диффеоморфизма. В вычислительной анатомии обобщенными координатами являются поток диффеоморфизма и его лагранжева скорость , которые связаны через эйлерову скорость . Принцип Гамильтона для создания уравнения Эйлера-Лагранжа требует интеграла действия на лагранжиан, определяемого формулой ${\displaystyle \phi ,{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle v\doteq {\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

лагранжиан определяется кинетической энергией:

Импульс диффеоморфной или эйлеровой формы

В вычислительной анатомии его впервые назвали эйлеровым или диффеоморфным импульсом формы ^[82], поскольку при интегрировании с эйлеровой скоростью получается плотность энергии, и поскольку сохраняется сохраняющийся импульс диффеоморфной формы. Оператор – это обобщенный момент инерции или инерционный оператор. ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

Уравнение Эйлера–Лагранжа о форм-импульсе геодезических на группе диффеоморфизмов

Классический расчет уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа Гамильтона требует возмущения лагранжиана векторного поля кинетической энергии по отношению к возмущению потока первого порядка. Это требует корректировки с помощью скобки Ли векторного поля , заданной оператором , который включает в себя якобиан, заданный формулой ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Определение сопряженного затем изменения первого порядка дает импульс эйлеровой формы, удовлетворяющий обобщенному уравнению: ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

значит все гладко ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot wdx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot wdx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

Вычислительная анатомия - это изучение движения подмногообразий, точек, кривых, поверхностей и объемов. Импульс, связанный с точками, кривыми и поверхностями, является сингулярным, что означает, что импульс сосредоточен на подмножествах, размерность которых равна мере Лебега . В таких случаях энергия все еще четко определена, поскольку, хотя она и является обобщенной функцией, векторные поля гладкие, а эйлеров импульс понимается через его действие на гладкие функции. Прекрасной иллюстрацией этого является то, что даже когда это суперпозиция дельта-дираков, скорость координат во всем объеме изменяется плавно. Уравнение Эйлера-Лагранжа ( EL-General ) о диффеоморфизмах для обобщенных функций было получено в ^[83] . В римановой метрике и скобках Ли. Интерпретация уравнения Эйлера-Лагранжа для вывода геодезических дается в терминах сопряженного оператора и уравнения Ли. скобка для группы диффеоморфизмов. Его стали называть уравнением EPDiff для диффеоморфизмов, связанных с методом Эйлера-Пуанкаре, которое изучалось в контексте оператора инерции для несжимаемых, бездивергентных жидкостей. ^{[35] [84]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$ ${\displaystyle Av_{t}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle A=identity}$

Импульс диффеоморфной формы: классическая вектор-функция

Для случая плотности импульса уравнение Эйлера–Лагранжа имеет классическое решение: ${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

Уравнение Эйлера-Лагранжа о диффеоморфизмах, классически определенное для плотностей импульса, впервые появилось в ^[85] для анализа медицинских изображений.

Риманова экспонента (геодезическое положение) и риманов логарифм (геодезические координаты)

В медицинской визуализации и компьютерной анатомии позиционирование и координация форм являются фундаментальными операциями; система позиционирования анатомических координат и форм, построенная на метрике и уравнении Эйлера-Лагранжа, система геодезического позиционирования, впервые описанная Миллером Труве и Юнесом. ^[11] Решение геодезической из начального условия называется римановой экспонентой, тождественным отображением группы. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Exp_{\rm {id}}(\cdot ):V\to Diff_{V}}$

Риманова экспонента удовлетворяет начальным условиям , динамике векторного поля , ${\displaystyle Exp_{id}(v_{0})=\phi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},t\in [0,1]}$

• для классического уравнения диффеоморфной формы импульса , , тогда ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• для обобщенного уравнения тогда , , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot wdx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

Вычисление потока по координатам Риманов логарифм , ^{[11] [81]} отображение единицы из в векторное поле ; ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):Diff_{V}\to V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle Log_{id}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic }}{\dot {\phi }}_{0}=v_{0},\phi _{0}=id,\phi _{1}=\varphi \ .}$

Распространяясь на всю группу, они становятся

${\displaystyle \phi =Exp_{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq Exp_{id}(v_{0})\circ \varphi }$ ; . ${\displaystyle Log_{\varphi }(\phi )\doteq Log_{id}(\phi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

Они являются обратными друг другу для уникальных решений логарифма; первое называется геодезическим позиционированием, второе - геодезическими координатами ( конечномерную версию см. Экспоненциальную карту, риманову геометрию ). Геодезическая метрика представляет собой локальное уплощение римановой системы координат (см. рисунок).

Показ метрического локального уплощения координированных многообразий фигур и форм. Локальная метрика задается нормой векторного поля геодезического отображения ${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$ ${\displaystyle Exp_{id}(v_{0})\cdot m}$

Гамильтонова формулировка вычислительной анатомии

В вычислительной анатомии диффеоморфизмы используются для перемещения систем координат, а векторные поля используются в качестве управления внутри анатомической орбиты или морфологического пространства. Модель представляет собой модель динамической системы, потока координат и управления векторным полем, связанным через Гамильтонов взгляд ^{[81] [86] [87] [88] [89]} перепараметризует распределение импульса в терминах сопряженного импульса или канонический импульс , вводимый как множитель Лагранжа, ограничивающий лагранжеву скорость соответственно: ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=id.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx.}$

Эта функция является расширенным гамильтонианом. Принцип максимума Понтрягина [ ^81] дает оптимизирующее векторное поле, определяющее геодезический поток, удовлетворяющий, а также приведенному гамильтониану ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .}$

Множитель Лагранжа в своем действии как линейная форма имеет собственный внутренний продукт канонического импульса, действующего на скорость потока, которая зависит от формы, например, для ориентиров - сумма, для поверхностей - поверхностный интеграл и. для объемов это интеграл объема по on . Во всех случаях ядра Гринса имеют веса, которые представляют собой канонический импульс, развивающийся в соответствии с обыкновенным дифференциальным уравнением, которое соответствует EL, но представляет собой геодезическую перепараметризацию канонического импульса. Оптимизирующее векторное поле имеет вид ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \arg max_{v}H(\phi _{t},p_{t},v)}$

с динамикой канонического импульса, перепараметризирующей векторное поле вдоль геодезической

Стационарность гамильтониана и кинетическая энергия вдоль линии Эйлера–Лагранжа.

В то время как векторные поля распространяются на все фоновое пространство , геодезические потоки, связанные с подмногообразиями, имеют импульс эйлеровой формы, который развивается как обобщенная функция, сосредоточенная на подмногообразиях. Для ориентиров ^{[90] [91] [92]} геодезические имеют импульс эйлеровой формы, который представляет собой суперпозицию дельта-распределений, перемещающихся с конечным числом частиц; диффеоморфный поток координат имеет скорости в диапазоне взвешенных ядер Грина. Для поверхностей импульс представляет собой поверхностный интеграл дельта-распределений, движущихся вместе с поверхностью. ^[11] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

Геодезические, соединяющие системы координат, удовлетворяющие EL-General, обладают стационарностью лагранжиана. Гамильтониан задается экстремумом на пути , , равным лагранжиану-кинетической энергии и стационарен вдоль EL-General . Определяя геодезическую скорость в точке , затем вдоль геодезической ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle H(\phi ,p)=\max _{v}H(\phi ,p,v)}$ ${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\phi _{0},p_{0},v)}$

Стационарность гамильтониана демонстрирует интерпретацию множителя Лагранжа как импульса; интегрирование по скорости дает плотность энергии. Канонический импульс имеет много названий. При оптимальном управлении потоки интерпретируются как состояние и интерпретируются как сопряженное состояние или сопряженный импульс. ^[93] Геодезия EL подразумевает указание векторных полей или эйлерова импульса в точке , или указание канонического импульса определяет поток. ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Метрика геодезических потоков ориентиров, поверхностей и объемов внутри орбиты.

В вычислительной анатомии подмногообразия представляют собой наборы точек, кривые, поверхности и подобъемы, которые являются основными примитивами. Геодезические потоки между подмногообразиями определяют расстояние и образуют основные измерительные и транспортные инструменты диффеоморфометрии . На геодезической имеется векторное поле , определяемое сопряженным импульсом и ядром Грина инерционного оператора, определяющего эйлеров импульс . Метрическое расстояние между системами координат, соединенными геодезической, определяемое индуцированным расстоянием между единицей и элементом группы: ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{Diff_{V}}(id,\varphi )=\|Log_{id}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(id,p_{0})}}}$

Законы сохранения импульса диффеоморфной формы для вычислительной анатомии

Учитывая наименьшее действие, существует естественное определение импульса, связанного с обобщенными координатами; величина, действующая против скорости, дает энергию. В области изучались две формы: импульс, связанный с эйлеровым векторным полем, называемый импульсом эйлеровой диффеоморфной формы , и импульс, связанный с начальными координатами или каноническими координатами, называемый импульсом канонической диффеоморфной формы . У каждого есть закон сохранения. Сохранение импульса идет рука об руку с EL-General . В вычислительной анатомии это эйлеров импульс , поскольку его интегрирование с эйлеровой скоростью дает плотность энергии; оператор - обобщенный момент инерции или оператор инерции, который, действуя на эйлерову скорость, дает импульс, сохраняющийся вдоль геодезической: ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

Сохранение импульса эйлеровой формы было показано в ^[94] и следует из EL-General ; сохранение канонического импульса было показано в ^[81]

Доказательство сохранения

Доказательство следует из определения , подразумевая ${\displaystyle w_{t}=((D\phi _{t})w)\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(Av_{t}|((D\phi _{t})w)\circ \phi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}|((D\phi _{t})w)\circ \phi _{t}^{-1})+(Av_{t}|{\frac {d}{dt}}((D\phi _{t})w)\circ \phi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}|w_{t})+(Av_{t}|(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.}$

Доказательство канонического импульса показано на примере : ${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}}}^{T}p_{t}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(p_{t}|(D\phi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}|(D\phi _{t})w)+(p_{t}|{\frac {d}{dt}}(D\phi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}|(D\phi _{t})w)+(p_{t}|(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}}}(D\phi _{t})w)=0}$.

Геодезическая интерполяция информации между системами координат посредством вариационных задач

Построение диффеоморфных соответствий между фигурами рассчитывает исходные координаты векторного поля и связанные с ними веса по ядрам Гринса . Эти начальные координаты определяются путем сопоставления форм, называемого диффеоморфным метрическим картированием большой деформации (LDDMM) . LDDMM была решена для ориентиров с соответствием и без него ^{[32] [95] [96] [97] [98]} и для плотных сопоставлений изображений. ^{[99] [100]} кривые, ^[101] поверхности, ^{[41] [102]} плотные векторные ^[103] и тензорные ^[104] изображения, а также варифолды, удаляющие ориентацию. ^[105] LDDMM вычисляет геодезические потоки EL-General по целевым координатам, добавляя к интегралу действия условие соответствия конечной точки , измеряющее соответствие элементов на орбите при преобразовании системы координат. Существование решений было проверено для сопоставления изображений. ^[24] Решение вариационной задачи удовлетворяет EL-General для граничных условий. ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt}$ ${\displaystyle E:\phi _{1}\rightarrow R^{+}}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$

Сопоставление на основе минимизации действия кинетической энергии с условием конечной точки

${\displaystyle {\text{min}}_{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1},\phi _{0}=id}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+E(\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler Conservation}}\ \ \ \ \ \ \ \ &\ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary Condition}}&\ \ \ \phi _{0}=id,Av_{1}=-{\frac {\partial E(\phi )}{\partial \phi }}|_{\phi =\phi _{1}}\ .\end{cases}}}$

Сохранение от EL-General расширяет БК на остальную часть пути . Проблема неточного соответствия с термином соответствия конечной точки имеет несколько альтернативных форм. Одна из ключевых идей стационарности гамильтониана вдоль геодезического решения заключается в том, что интегральная стоимость эксплуатации снижается до начальной стоимости при t=0, геодезические EL -General определяются их начальным состоянием . ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle E(\phi _{1})}$ ${\displaystyle v_{0}}$

Эксплуатационные расходы уменьшаются до первоначальной стоимости, определенной с помощью Kernel -Surf.-Land.-Geodesics . ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

Сопоставление на основе геодезической съемки

${\displaystyle \min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\ ;}$

${\displaystyle \min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})}$

Задача согласования, явно привязанная к начальному условию, называется стрельбой, которую также можно перепарамеризовать через сопряженный импульс . ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии

Плотное сопоставление изображений имеет долгую историю: самые ранние попытки ^{[106] [107]} использовали структуру небольшой деформации. Большие деформации начались в начале 1990-х годов, ^{[18] [19]} с первым существованием решений вариационной задачи для потоков диффеоморфизмов для плотного сопоставления изображений, установленных в ^[24] . Бег решил с помощью одного из самых ранних алгоритмов LDDMM, основанных на решении вариационное сопоставление с конечной точкой, определяемой плотными изображениями по отношению к векторным полям, с учетом вариаций по отношению к векторным полям. ^[99] Другое решение для плотного сопоставления изображений перепараметризует задачу оптимизации с точки зрения состояния, дающего решение с точки зрения бесконечно малого действия, определенного уравнением переноса . ^{[11] [27] [100]} ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

Плотное сопоставление изображений LDDMM

Для LDDMM Бега обозначим Изображение с групповым действием . Рассматривая это как задачу оптимального управления, состояние системы представляет собой диффеоморфный поток координат с динамикой, связывающей управление с состоянием, заданным выражением . Условие соответствия конечных точек дает вариационную задачу ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle \phi \cdot I\doteq I\circ \phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}=v\circ \phi }$ ${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \|I\circ \phi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}&{\text{Endpoint Condition:}}\ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}dx,\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ ,\\&{\text{Conservation:}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\phi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \phi _{t}^{-1}|D\phi _{t}^{-1}|\ .\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \phi _{1})\nabla I|D\phi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

Итерационный алгоритм LDDMM Бега имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора. Итерационный алгоритм приведен в алгоритме LDDMM Бега для плотного сопоставления изображений .

Гамильтониан LDDMM в приведенном адвективном состоянии

Обозначим Образ , причем состояние и динамика, связанные с состоянием и контролем, заданы адвективным термином . Конечная точка дает вариационную задачу ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

Итерационный гамильтониан Виаллара LDDMM имеет фиксированные точки, которые удовлетворяют необходимым условиям оптимизатора.

Сопоставление изображений тензора диффузии в вычислительной анатомии

Изображение, показывающее изображение тензора диффузии с тремя уровнями цвета, изображающими ориентации трех собственных векторов матричного изображения , матричного изображения; каждый из трех цветов представляет направление. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Плотное сопоставление тензоров LDDMM ^{[104] [108]} принимает изображения в виде векторов 3x1 и тензоров 3x3, решая вариационную задачу сопоставления между системами координат на основе основных собственных векторов диффузионного тензора МРТ- изображения (DTI), обозначаемых как состоящие из -тензора в каждом вокселе. . Некоторые групповые действия определены на основе матричной нормы Фробениуса между квадратными матрицами . На сопроводительном рисунке показано изображение DTI, проиллюстрированное с помощью его цветовой карты, изображающей ориентации собственных векторов матрицы DTI в каждом вокселе с цветом, определяемым ориентацией направлений. Обозначим тензорное изображение собственными элементами , . ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq traceA^{T}A}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

Преобразование системы координат на основе изображений DTI использует два действия: одно основано на принципе собственного вектора или всей матрицы .

Сопоставление LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии принимает изображение как поле единичного вектора, определяемое первым собственным вектором. Групповое действие становится ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Сопоставление LDDMM, основанное на всей тензорной матрице, имеет групповое действие и становится преобразованными собственными векторами. ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Вариационная задача сопоставления главного собственного вектора или матрицы описана LDDMM Tensor Image Matching .

Сопоставление диффузионных изображений высокого углового разрешения (HARDI) в вычислительной анатомии

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокон в каждом месте. HARDI измеряет диффузию вдоль равномерно распределенных направлений на сфере и может характеризовать более сложную геометрию волокон. HARDI можно использовать для восстановления функции распределения ориентации (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF — это функция, определенная на единичной сфере . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

Плотное сопоставление ODF LDDMM ^[109] принимает данные HARDI как ODF в каждом вокселе и решает вариационную задачу LDDMM в пространстве ODF. В области информационной геометрии ^[110] пространство ОДФ образует риманово многообразие с метрикой Фишера-Рао . Для целей отображения ODF LDDMM выбирается представление с квадратным корнем, поскольку оно является одним из наиболее эффективных представлений, найденных на сегодняшний день, поскольку различные римановы операции, такие как геодезические, экспоненциальные карты и карты логарифмов, доступны в закрытой форме. Далее обозначайте ODF с квадратным корнем ( ) как , где неотрицательно для обеспечения уникальности и . Вариационная задача сопоставления предполагает, что два объема ФРО могут быть порождены друг из друга посредством потоков диффеоморфизмов , которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с тождественного отображения . Обозначим действие диффеоморфизма на шаблон как , , соответственно координаты единичной сферы и области изображения с аналогичной индексацией цели , , . ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \phi _{0}={id}}$ ${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается по формуле

${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,

где – якобиан аффинно преобразованной ФРО и определяется как ${\displaystyle (D\phi _{1})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

Это групповое действие диффеоморфизмов на ФРО переориентирует ФРО и отражает изменения как в величине, так и в направлениях дискретизации вследствие аффинного преобразования. Это гарантирует, что объемная доля волокон, ориентированных в сторону небольшого участка, должна оставаться неизменной после преобразования участка. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}C(v)=\inf _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

где логарифм определяется как ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

где – нормальное скалярное произведение между точками сферы под метрикой. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

Этот алгоритм картирования LDDMM-ODF широко использовался для изучения дегенерации белого вещества головного мозга при старении, болезни Альцгеймера и сосудистой деменции. ^[111] Атлас белого вещества головного мозга, созданный на основе ODF, построен с помощью байесовской оценки. ^[112] Регрессионный анализ ODF разработан в пространстве многообразий ODF в. ^[113]

Метаморфоза

Демонстрация метаморфозы, позволяющая как диффеоморфные изменения в преобразовании координат, так и изменение интенсивности изображения, связанное с ранними технологиями морфинга, такими как видео Майкла Джексона. Обратите внимание на вставку интенсивности уровня серого опухоли, которой нет в шаблоне.

Основным способом изменения, представленным моделью орбиты, является изменение координат. Для условий, в которых пары изображений не связаны диффеоморфизмами, но имеют фотометрические вариации или вариации изображения, не представленные шаблоном, было введено активное моделирование внешнего вида , первоначально Эдвардсом-Кутсом-Тейлором ^[114] и в 3D-медицинской визуализации ^{. 115]} В контексте вычислительной анатомии, в которой изучались метрики анатомической орбиты, метаморфоза для моделирования структур, таких как опухоли, и фотометрических изменений, которые не присутствуют в шаблоне, была введена в ^[28] для моделей магнитно-резонансных изображений, со многими последующие разработки, расширяющие рамки метаморфозы. ^{[116] [117] [118]}

Для сопоставления изображений структура метаморфозы изображения увеличивает действие, так что с действием . В этом контексте метаморфоза сочетает в себе как диффеоморфную трансформацию системы координат компьютерной анатомии, так и ранние технологии морфинга , которые только уменьшали или изменяли только фотометрию или интенсивность изображения. ${\displaystyle t\mapsto (\phi _{t},I_{t})}$ ${\displaystyle \phi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \phi _{t}^{-1}}$

Тогда задача согласования принимает вид с граничными условиями равенства:

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \phi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \phi _{0}=id,I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

Сопоставление ориентиров, кривых, поверхностей

Преобразование систем координат на основе особенностей ориентирной точки или реперных маркеров восходит к ранней работе Букштейна по методам сплайнов малой деформации ^[119] для интерполяции соответствий, определенных реперными точками, в двумерное или трехмерное фоновое пространство, в котором определены реперные точки. Методы ориентиров большой деформации появились в конце 1990-х годов. ^{[26] [32] [120]} На рисунке выше изображен ряд ориентиров, связанных с тремя структурами мозга: миндалевидным телом, энторинальной корой и гиппокампом.

Сопоставление геометрических объектов, таких как немаркированные распределения точек, кривые или поверхности, является еще одной распространенной проблемой в вычислительной анатомии. Даже в дискретной настройке, где они обычно задаются как вершины с сетками, между точками нет заранее определенных соответствий, в отличие от ситуации с ориентирами, описанной выше. С теоретической точки зрения, хотя любое подмногообразие в может быть параметризовано в локальных картах , все репараметризации этих карт дают геометрически одно и то же многообразие. Таким образом, на ранних этапах компьютерной анатомии исследователи определили необходимость параметризации инвариантных представлений. Одним из необходимых требований является то, чтобы термин соответствия конечной точки между двумя подмногообразиями сам по себе не зависел от их параметризации. Этого можно достичь с помощью концепций и методов, заимствованных из геометрической теории меры , в частности токов ^[40] и варифолдов ^[45] , которые широко использовались для сопоставления кривых и поверхностей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle d=1,2,3}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$

Сопоставление ориентира или точки с соответствием

Иллюстрация геодезического потока для одного ориентира, демонстрирующая диффеоморфное движение фонового пространства. Красная стрелка показывает , синяя кривая показывает , черная сетка показывает ${\displaystyle p_{0}(1)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(x_{1})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$

На рисунке показано соответствие ориентиров соответствию. Левая и правая панели изображают два разных ядра с решениями.

Обозначая ориентирную форму с конечной точкой , вариационная задача становится ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\phi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

Геодезический эйлеров импульс — это обобщенная функция , поддерживаемая на ориентирном множестве в вариационной задаче. Условие конечной точки с сохранением подразумевает начальный импульс при идентичности группы: ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{cases}&{\text{Endpoint Condition:}}\ \ \ \ \ Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\phi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\phi _{1}(x_{i}))\ ,\\&{\text{Conservation:}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\phi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\phi _{t1})_{|\phi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}\ ,\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{with}}\ \ p_{0}(i)=(D\phi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\phi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Приведен итерационный алгоритм диффеоморфного метрического отображения ориентиров большой деформации .

Сопоставление показателей: незарегистрированные ориентиры

Глаунес и его коллеги впервые представили диффеоморфное сопоставление наборов точек в общей ситуации совпадающих распределений. ^[121] В отличие от ориентиров, это включает в себя, в частности, ситуацию взвешенных облаков точек без заранее определенных соответствий и, возможно, с разной мощностью. Дискретные облака точек шаблона и цели представлены как две взвешенные суммы Дирака и живут в пространстве знаковых мер . Пространство оснащено гильбертовой метрикой, полученной из действительного положительного ядра на , дающей следующую норму: ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

Затем проблема сопоставления между шаблоном и целевым облаком точек может быть сформулирована с использованием этой метрики ядра для термина сопоставления конечных точек:

${\displaystyle \min _{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\phi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

где – распределение, переносимое деформацией. ${\displaystyle \mu _{\phi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\phi _{1}(x_{i})}}$

Сопоставление кривых

В одномерном случае кривая в 3D может быть представлена ​​вложением , а групповое действие Diff становится . Однако соответствие между кривыми и вложениями не является однозначным, поскольку любая репараметризация для диффеоморфизма интервала [0,1] представляет геометрически одну и ту же кривую. Чтобы сохранить эту инвариантность в термине сопоставления конечной точки, можно рассмотреть несколько расширений предыдущего подхода к сопоставлению 0-мерных мер. ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \phi \cdot m=\phi \circ m}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Согласование кривой с токами

В случае ориентированных кривых токи дают эффективную возможность построить инвариантные члены согласования. В таком представлении кривые интерпретируются как элементы функционального пространства, двойственного векторным полям пространства, и сравниваются по нормам ядра в этих пространствах. Сопоставление двух кривых и в конечном итоге записывается как вариационная задача. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$

${\displaystyle \min _{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\phi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

с конечной точкой член получается из нормы ${\displaystyle E(\phi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\phi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

производная Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/» :): {\displaystyle \partial m(u)} — касательный вектор к кривой и заданному матричному ядру . Такие выражения инвариантны к любой положительной репараметризации и , таким образом, все еще зависят от ориентации двух кривых. ${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$

• Сопоставление кривых с варифолдами

Varifold является альтернативой токам, когда ориентация становится проблемой, например, в ситуациях, связанных с несколькими пучками кривых, для которых невозможно определить «последовательную» ориентацию. Варифолды напрямую расширяют 0-мерные меры, добавляя дополнительное направление касательного пространства к положению точек, что приводит к представлению кривых как мер произведения и грассманиана всех прямых линий в . Тогда проблема сопоставления двух кривых состоит в замене члена сопоставления конечных точек на варифолдные нормы вида: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\phi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\phi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{cur}^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

где – неориентированная линия, направленная касательным вектором и двумя скалярными ядрами соответственно на и грассманиане. Из-за присущей грассмановскому представлению неориентированной природы такие выражения инвариантны к положительным и отрицательным репараметризациям. ${\displaystyle [\partial m(u)]}$ ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Соответствие поверхностей

Сопоставление поверхностей имеет много общего со случаем кривых. Поверхности в локальных картах параметризуются вложениями , причем все репараметризации с диффеоморфизмом U геометрически эквивалентны. Токи и варифолды также можно использовать для формализации сопоставления поверхностей. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Согласование поверхностей с токами

Ориентированные поверхности можно представить как 2-токи, двойственные дифференциальным 2-формам. В дальнейшем можно идентифицировать 2-формы с векторными полями с помощью стандартного клинового произведения 3D-векторов. В этой настройке сопоставление поверхностей снова пишет: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \min _{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\phi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

с конечным сроком , заданным через норму ${\displaystyle E(\phi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\phi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

с вектором нормали к поверхности, параметризованным . ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$ ${\displaystyle m}$

Этот алгоритм картирования поверхностей был проверен на поверхностях коры головного мозга с помощью CARET и FreeSurfer. ^[122] Картирование LDDMM для многомасштабных поверхностей обсуждается в ^{[123] .}

• Сопоставление поверхностей с варифолдами

Для неориентируемых или неориентированных поверхностей часто более подходящим является варифолдный каркас. Отождествляя параметрическую поверхность с варифолдом в пространстве мер произведения и грассманиана, просто заменяют предыдущую текущую метрику на: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

где – (неориентированная) линия, направленная вектором нормали к поверхности. ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$

Рост и атрофия из продольных временных рядов

Существует множество настроек, в которых используется серия измерений, временной ряд, с которым будут сопоставляться и перетекать в базовые системы координат. Это происходит, например, в моделях динамического роста и атрофии и отслеживания движения, которые были исследованы в ^{[46] [124] [125] [126].} Дана наблюдаемая временная последовательность, и цель состоит в том, чтобы сделать вывод о временном потоке геометрических изменений. координат, переносящих экземпляры или тамплиеры через период наблюдений.

Общая задача сопоставления временных рядов предполагает, что временной ряд равен . Поток оптимизируется по ряду затрат, что дает оптимизационные задачи вида ${\displaystyle 0<t_{1}<\dots t_{K}=1}$ ${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\dots ,K}$

${\displaystyle \min _{\phi :v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1},\phi _{0}=id}C(\phi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\phi _{t_{k}})}$.

На данный момент было предложено как минимум три решения: кусочно-геодезическая, ^[46] главная геодезическая ^[126] и сплайны. ^[127]

Модель случайной орбиты вычислительной анатомии

Орбиты мозга, связанные с действием диффеоморфной группы на шаблоны, изображенные посредством плавного потока, связанного с геодезическими потоками со случайным распылением, связанным со случайной генерацией начального векторного поля касательного пространства ; опубликовано в ^[11] ${\displaystyle v_{0}\in V}$

Модель случайной орбиты вычислительной анатомии впервые появилась в ^{[128] [129] [130]} для моделирования изменения координат, связанного со случайностью группы, действующей на шаблоны, что индуцирует случайность в источнике изображений на анатомической орбите формы и формы и результирующие наблюдения с помощью устройств медицинской визуализации. Такая модель случайной орбиты , в которой случайность в группе вызывает случайность в изображениях, была исследована для Специальной евклидовой группы распознавания объектов в ^{[131] .}

На рисунке изображены случайные орбиты вокруг каждого экземпляра , генерируемые путем рандомизации потока путем генерации начального векторного поля касательного пространства в единице , а затем генерации случайного объекта . ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle n\doteq Exp_{id}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

Модель случайной орбиты индуцирует априорные формы и изображения, обусловленные конкретным атласом . Для этого генеративная модель генерирует среднее поле как случайное изменение координат шаблона согласно , где диффеоморфное изменение координат генерируется случайным образом посредством геодезических потоков. Приор случайных преобразований индуцируется потоком , построенным как гауссово случайное поле . Плотность случайных наблюдаемых на выходе датчика определяется выражением ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle \pi _{Diff}(d\phi )}$ ${\displaystyle Diff_{V}}$ ${\displaystyle Exp_{id}(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

На рисунке показано случайное распыление синтезированных подкорковых структур, расположенных в двумерной сетке, представляющей дисперсию собственной функции, используемой для определения импульса для синтеза.

${\displaystyle p(I^{D}|I_{a})=\int _{V}p(I^{D}|Exp_{id}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

На рисунке справа показана мультяшная орбита, представляющая собой случайный набор подкорковых многообразий, созданный путем рандомизации векторных полей, поддерживаемых над подмногообразиями. ${\displaystyle v_{0}}$

Байесовская модель вычислительной анатомии

Модель исходного канала, показывающая источник изображений, деформируемый шаблон и выходной канал, связанный с датчиком МРТ. ${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

Центральной статистической моделью вычислительной анатомии в контексте медицинской визуализации была модель источника-канала теории Шеннона ; ^{[128] [129] [130]} источником является деформируемый шаблон изображений , выходами канала являются датчики изображения с наблюдаемыми (см. рисунок). ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

См. «Байесовскую модель вычислительной анатомии» для обсуждений (i) оценка MAP с помощью нескольких атласов, (ii) сегментация MAP с помощью нескольких атласов, оценка MAP шаблонов из популяций.

Статистическая теория формы в вычислительной анатомии

Форма в вычислительной анатомии — это локальная теория, индексирующая формы и структуры в шаблонах, с которыми они биективно сопоставляются. Статистическая форма в вычислительной анатомии - это эмпирическое исследование диффеоморфных соответствий между популяциями и общими шаблонными системами координат. Это сильное отклонение от анализа Прокруста и теорий формы, впервые предложенных Дэвидом Кендаллом ^[132] в том смысле, что центральной группой теорий Кендалла являются конечномерные группы Ли, тогда как теории формы в вычислительной анатомии ^{[133] [134] [135]} сосредоточились на группе диффеоморфизмов, которую в первом порядке по якобиану можно рассматривать как поле (а значит, бесконечномерное) низкомерных групп Ли масштаба и вращений.

На рисунке показаны сотни подкорковых структур, встроенных в двумерное импульсное пространство, сгенерированных на основе первых двух собственных векторов эмпирической ковариации, оцененной на основе совокупности форм.

Модель случайной орбиты обеспечивает естественные условия для понимания эмпирической формы и статистики форм в рамках вычислительной анатомии, поскольку нелинейность индуцированного закона вероятности анатомических форм и форм вызывается путем сведения к векторным полям в касательном пространстве при тождестве группа диффеоморфизмов. Последовательный поток уравнения Эйлера порождает случайное пространство фигур и форм . ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle Exp_{id}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$

Выполнение эмпирической статистики этого касательного пространства в точке идентичности является естественным способом установления законов вероятности для статистики формы. Поскольку и векторные поля, и эйлеров импульс находятся в гильбертовом пространстве, естественная модель представляет собой модель гауссовского случайного поля, так что при заданной тестовой функции внутренние продукты с тестовыми функциями распределяются по Гауссу со средним значением и ковариацией. ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle w\in V}$

Это показано на прилагаемом рисунке, где подкорковые структуры мозга изображены в двумерной системе координат, основанной на скалярных произведениях их исходных векторных полей, которые генерируют их из шаблона, показанного в двумерном диапазоне гильбертова пространства.

Оценка шаблона по совокупности

Изображение оценки шаблона по множественным подкорковым поверхностям в популяциях МР-изображений с использованием решения EM-алгоритма Ма. ^[136]

Изучение формы и статистики популяций представляет собой локальные теории, индексирующие формы и структуры по шаблонам, с которыми они биективно отображаются. Статистическая форма — это исследование диффеоморфных соответствий относительно шаблона. Основная операция — создание шаблонов на основе совокупностей, оценивающих форму, соответствующую совокупности. Существует несколько важных методов создания шаблонов, включая методы, основанные на усреднении Фреше ^[137] и статистические подходы, основанные на алгоритме максимизации ожидания и моделях байесовской случайной орбиты вычислительной анатомии. ^{[136] [138]} На сопроводительном рисунке показана реконструкция подкоркового шаблона по популяции пациентов, прошедших МРТ. ^[139]

Программное обеспечение для диффеоморфного картографирования

Пакеты программного обеспечения , содержащие различные алгоритмы диффеоморфного отображения, включают следующее:

• МУРАВЬИ ^[65]
• DARTEL ^[66] Воксельная морфометрия
• ДЕФОРМЕТРИКА ^[140]
• ДЕМОНЫ ^[67]
• LDDMM ^[68] Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации.
• LDDMM на основе кадрового ядра ^[141]
• СтационарныйLDDMM ^[69]

Облачное программное обеспечение

• МРТОблако ^[142]

Смотрите также

• Байесовская оценка шаблонов в вычислительной анатомии
• Вычислительная нейроанатомия
• Анализ геометрических данных
• Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации
• Прокрустов анализ
• Риманова метрика и скобки Лия в вычислительной анатомии
• Анализ формы (значения)
• Статистический анализ формы

Рекомендации

1. «Вычислительная анатомия - Асклепий». команда.inria.fr . Проверено 1 января 2018 г.
2. "JHU - Институт вычислительной медицины | Вычислительная анатомия" . icm.jhu.edu . Проверено 1 января 2018 г.
3. Дюпюи, Поль; Гренандер, Ульф; Миллер, Майкл. «Вариационные задачи о потоках диффеоморфизмов для сопоставления изображений». Исследовательские ворота . Проверено 20 февраля 2016 г.
4. Арнольд, В. (1966). «Sur la géomérie différentielle des groupes de Lie de size infinie et ses application à l'гидродинамика жидкостей парфе». Анна. Инст. Фурье (на французском языке). 16 (1): 319–361. дои : 10.5802/aif.233 . МР  0202082.
5. Лоран Юнес (25 мая 2010 г.). Формы и диффеоморфизмы . Спрингер. ISBN 9783642120541.
6. Дюрер, Альбрехт (1528). Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion durch Albrechten Durer von Nurerberg [так в оригинале] erfunden und beschuben zu nutz allen denen so zu diser kunstlieb tragen. Иероним Андреа Формшнейдер.
7. Библиотека, штат Техас, Центр медицинских наук Техасского университета в Сан-Антонио (27 марта 2012 г.). «Человеческие пропорции Альбрехта Дюрера» Библиотека Центра медицинских наук UT. Library.uthscsa.edu . Проверено 16 марта 2016 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. "Альбрехт Дюрер". Библиотека и музей Моргана . 07.01.2014 . Проверено 16 марта 2016 г.
9. Гренандер, Ульф; Миллер, Майкл И. (1 декабря 1998 г.). «Вычислительная анатомия: новая дисциплина». В. Прил. Математика . 56 (4): 617–694. дои : 10.1090/qam/1668732 .
10. "Университет Брауна - Группа теории закономерностей: Дом" . www.dam.brown.edu . Проверено 27 декабря 2015 г.
11. Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01 марта 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технологии . 2 (1): 36–43. дои : 10.1142/S2339547814500010. ПМК 4041578 . ПМИД  24904924. 
12. Гренандер, Ульф (1993). Общая теория закономерностей: математическое исследование регулярных структур . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198536710.
13. У. Гренандер и М. И. Миллер (8 февраля 2007 г.). Теория шаблонов: от представления к выводу . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199297061.
14. Ван Эссен, округ Колумбия; Маунселл, Дж. Х. (15 мая 1980 г.). «Двумерные карты коры головного мозга». Журнал сравнительной неврологии . 191 (2): 255–281. doi : 10.1002/cne.901910208. PMID  7410593. S2CID  25729587.
15. Байчи, Рузена; Ковачич, Стейн (1 апреля 1989 г.). «Эластичное сопоставление с несколькими разрешениями». Вычислить. График зрения. Процесс изображения . 46 (1): 1–21. дои : 10.1016/S0734-189X(89)80014-3.
16. Букштейн, Флорида (1 июня 1989 г.). «Основные деформации: тонкие пластинчатые сплайны и разложение деформаций». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 11 (6): 567–585. дои : 10.1109/34.24792. S2CID  47302.
17. Кристенсен, Гэри; Рэббитт, Ричард; Миллер, Майкл И. (1 января 1993 г.). Джерри Принс (ред.). Учебник по деформируемой нейроанатомии, основанный на механике вязкой жидкости: материалы ... конференции по информационным наукам и системам. Кафедра электротехники Университета Джонса Хопкинса.
18. Кристенсен, GE; Рэббитт, РД; Миллер, Мичиган (1 октября 1996 г.). «Деформируемые шаблоны с использованием кинематики большой деформации». Транзакции IEEE при обработке изображений . 5 (10): 1435–1447. Бибкод : 1996ITIP....5.1435C. дои : 10.1109/83.536892. ПМИД  18290061.
19. Миллер, Майкл; Джоши, Саранг; Кристенсен; Книга «Искажение мозга» Автор: Тога, Артур (1997). Мозговая деформация: Глава 7: Диффеоморфизмы большой деформационной жидкости для сопоставления ориентиров и изображений. Эльзевир. п. 115. ИСБН 9780080525549. {{cite book}}: |last4=имеет общее имя ( справка )
20. Уолтер Фрайбергер (ред.). «Текущие и будущие проблемы в приложениях математики». Ежеквартальный журнал прикладной математики .
21. "Математический разговор и разведка форм" . www.ceremade.dauphine.fr . Проверено 19 декабря 2015 г.
22. "Роберт Азенкотт, математический полиглот | La Recherche" . www.larecherche.fr . Проверено 20 февраля 2016 г.
23. Труве, Ален. «Подход к распознаванию образов посредством бесконечномерного диффеоморфизма» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.
24. Дюпюи, Поль; Гренандер, Ульф (1 сентября 1998 г.). «Вариационные задачи о потоках диффеоморфизмов для сопоставления изображений». В. Прил. Математика . ЛВИ (3): 587–600. дои : 10.1090/qam/1632326 .
25. Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2002 г.). «О метрике и уравнениях Эйлера-Лагранжа вычислительной анатомии». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 4 : 375–405. CiteSeerX 10.1.1.157.6533 . doi : 10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733. ПМИД  12117763. 
26. Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (28 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии». Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0. ПМК 2897162 . ПМИД  20613972. 
27. Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (07 декабря 2015 г.). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со времен Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 : 447–509. doi : 10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. ПМИД  26643025.
28. Миллер, Мичиган; Юнес, Л. (1 января 2001 г.). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие принципы». Межд. Дж. Компьютер. Вис . 41 (1–2): 61–84. дои : 10.1023/А: 1011161132514. S2CID  15423783.
29. Труве, А.; Юнес, Л. (1 января 2005 г.). «Локальная геометрия деформируемых шаблонов». SIAM Journal по математическому анализу . 37 (1): 17–59. CiteSeerX 10.1.1.158.302 . дои : 10.1137/S0036141002404838. 
30. Микели, Марио; Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (01 марта 2012 г.). «Секционная кривизна в терминах кометрики с приложениями к римановым многообразиям ориентиров». СИАМ J. Imaging Sci . 5 (1): 394–433. arXiv : 1009.2637 . дои : 10.1137/10081678X. S2CID  2301243.
31. «Главная страница». cnls.lanl.gov . Проверено 19 декабря 2015 г.
32. Джоши, Южная Каролина; Миллер, Мичиган (1 января 2000 г.). «Сопоставление ориентиров с помощью диффеоморфизмов большой деформации». Транзакции IEEE при обработке изображений . 9 (8): 1357–1370. Бибкод : 2000ITIP....9.1357J. дои : 10.1109/83.855431. PMID  18262973. S2CID  6659707.
33. Холм, Дэррил Д. (29 августа 2009 г.). «Пики». В Ж.-П. Франсуаза; Г.Л. Набер; С. Т. Цоу (ред.). Энциклопедия математической физики . Том. 4. Оксфорд: Эльзевир. стр. 12–20. arXiv : 0908.4351 . Бибкод : 2009arXiv0908.4351H.
34. Эбин, Дэвид Г.; Марсден, Джеррольд Э. (1 сентября 1969 г.). «Группы диффеоморфизмов и решение классических уравнений Эйлера для идеальной жидкости». Бюллетень Американского математического общества . 75 (5): 962–967. дои : 10.1090/s0002-9904-1969-12315-3 .
35. Мамфорд, Дэвид; Михор, Питер В. (2013). «Об уравнении Эйлера и EPDiff».". Журнал геометрической механики . 5 (3): 319–344. arXiv : 1209.6576 . Бибкод : 2012arXiv1209.6576M. doi : 10.3934/jgm.2013.5.319.
36. Шерцер, Отмар (23 ноября 2010 г.). Справочник по математическим методам визуализации. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387929194.
37. Глаунес, Дж.; Труве, А.; Юнес, Л. (2004). «Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных множеств точек и подмногообразий». Материалы конференции IEEE Computer Society 2004 г. по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2004 г. CVPR 2004 . Том. 2. С. 712–718. CiteSeerX 10.1.1.158.4209 . дои : 10.1109/CVPR.2004.1315234. ISBN  978-0-7695-2158-9.
38. Глаунес, Джоан; Вайлант, Марк; Миллер, Майкл I (2004). «Сопоставление ориентиров с помощью диффеоморфизмов большой деформации на сфере: специальный выпуск по математике и анализу изображений». Журнал математического изображения и видения . 20 : 179–200. doi :10.1023/B:JMIV.0000011326.88682.e5. S2CID  21324161 . Проверено 27 марта 2016 г. - через ResearchGate.
39. Ду, Цзя; Юнес, Лоран; Цю, Аньци (01 мая 2011 г.). «Диффеоморфное метрическое картирование всего мозга посредством интеграции извилистых и извилистых кривых, корковых поверхностей и изображений». НейроИмидж . 56 (1): 162–173. doi :10.1016/j.neuroimage.2011.01.067. ПМК 3119076 . ПМИД  21281722. 
40. Вайлант, Марк; Глаунес, Жанна (1 января 2005 г.). «Согласование поверхностей с помощью токов». Обработка информации в медицинской визуализации . Конспекты лекций по информатике. Том. 19. С. 381–392. дои : 10.1007/11505730_32. ISBN 978-3-540-26545-0. PMID  17354711. S2CID  5103312. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
41. Вайлант, Марк; Цю, Аньци; Глаунес, Джоан; Миллер, Майкл И. (1 февраля 2007 г.). «Диффеоморфное картирование метрической поверхности в верхней височной извилине». НейроИмидж . 34 (3): 1149–1159. doi :10.1016/j.neuroimage.2006.08.053. ПМК 3140704 . ПМИД  17185000. 
42. Дурлеман, Стэнли; Пеннек, Ксавье; Труве, Ален; Аяче, Николас (01 октября 2009 г.). «Статистические модели наборов кривых и поверхностей на основе течений». Анализ медицинских изображений . 13 (5): 793–808. CiteSeerX 10.1.1.221.5224 . дои : 10.1016/j.media.2009.07.007. ПМИД  19679507. 
43. М.Ф. Бег, М.И. Миллер, А. Труве и Л. Юнес (2005). «Вычисление метрических отображений большой деформации с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов». Международный журнал компьютерного зрения . 61 (2): 139–157. doi :10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa. S2CID  17772076 . Получено 27 января 2016 г. - через ResearchGate.
44. Цао, Ян; Миллер, Майкл И.; Мори, Сусуму; Уинслоу, Раймонд Л.; Юнес, Лоран (5 июля 2006 г.). «Диффеоморфное сопоставление тензорных изображений диффузии». 2006 г. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPRW'06) . Том. 2006. с. 67. дои :10.1109/CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ПМК  2920614 . ПМИД  20711423.
45. Харон, Николас; Труве, Ален (2013). «Многообразное представление неориентированных форм для диффеоморфной регистрации». SIAM Journal on Imaging Sciences . 6 (4): 2547–2580. arXiv : 1304.6108 . Бибкод : 2013arXiv1304.6108C. дои : 10.1137/130918885. S2CID  14335966.
46. Миллер, Майкл И. (1 января 2004 г.). «Вычислительная анатомия: сравнение формы, роста и атрофии посредством диффеоморфизмов». НейроИмидж . 23 (Приложение 1): С19–33. CiteSeerX 10.1.1.121.4222 . doi : 10.1016/j.neuroimage.2004.07.021. PMID  15501089. S2CID  13365411. 
47. Труве, Ален; Виалар, Франсуа-Ксавье (19 марта 2010 г.). «Формальные сплайны и стохастическая эволюция форм: точка зрения второго порядка». arXiv : 1003.3895 [math.OC].
48. Флетчер, PT; Лу, К.; Пайзер, С.М.; Джоши, С. (1 августа 2004 г.). «Основной геодезический анализ для изучения нелинейной статистики формы». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 23 (8): 995–1005. CiteSeerX 10.1.1.76.539 . дои : 10.1109/TMI.2004.831793. PMID  15338733. S2CID  620015. 
49. "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Ligen" . www.maths.tcd.ie . Архивировано из оригинала 18 марта 2016 г. Проверено 16 марта 2016 г.
50. Бернхард Риман (4 мая 2013 г.). Über die Hypothesen, welche der Geometrie . Спрингер. ISBN 9783642351204.
51. Питер В. Михор (23 июля 2008 г.). Темы дифференциальной геометрии . Американское математическое общество. ISBN 9780821820032.
52. «Математика в визуализации мозга». НейроИмидж . 23 (Приложение 1): С1–С300. 2004.
53. Томпсон, Пол М.; Миллер, Майкл И.; Полдрак, Рассел А.; Николс, Томас Э.; Тейлор, Джонатан Э.; Уорсли, Кейт Дж.; Ратнанатер, Дж. Тилак (2009). «Математика в визуализации мозга». НейроИмидж . 45 (Приложение 1): S1–S222. doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.10.033. PMID  19027863. S2CID  12143788.
54. Фонсека, Карисса Г.; Бакхаус, Майкл; Блюмке, Дэвид А.; Бриттен, Рэндалл Д.; Чунг, Джэ До; Коуэн, Бретт Р.; Динов, Иво Д.; Финн, Дж. Пол; Хантер, Питер Дж. (15 августа 2011 г.). «Проект сердечного атласа - база данных изображений для компьютерного моделирования и статистических атласов сердца». Биоинформатика . 27 (16): 2288–2295. doi : 10.1093/биоинформатика/btr360. ПМК 3150036 . ПМИД  21737439. 
55. «Примечания к выпуску CellOrganizer 1.8» (PDF) .
56. Джейми Вейр; и другие. (09 марта 2010 г.). Визуальный атлас анатомии человека (4-е изд.). Эдинбург: Мосби. ISBN 9780723434573.
57. «Атлас всего мозга». www.med.harvard.edu . Архивировано из оригинала 18 января 2016 г. Проверено 26 января 2016 г.
58. Мацциотта, Дж; Тога, А; Эванс, А; Фокс, П; Ланкастер, Дж; Зиллес, К; Вудс, Р; Паус, Т; Симпсон, Дж. (29 августа 2001 г.). «Вероятностный атлас и справочная система человеческого мозга: Международный консорциум по картированию мозга (ICBM)». Философские труды Лондонского королевского общества Б. 356 (1412): 1293–1322. дои : 10.1098/rstb.2001.0915. ПМЦ 1088516 . ПМИД  11545704. 
59. "Атлас белого вещества - Атлас диффузионно-тензорных изображений участков белого вещества мозга" . www.dtiatlas.org . Проверено 26 января 2016 г.
60. Миллер, Мичиган; Кристенсен, GE; Амит, Ю; Гренандер, Ю (15 декабря 1993 г.). «Математический учебник деформируемой нейроанатомии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 90 (24): 11944–11948. Бибкод : 1993PNAS...9011944M. дои : 10.1073/pnas.90.24.11944 . ПМЦ 48101 . ПМИД  8265653. 
61. "ФриСерфер". freesurfer.net . Проверено 8 декабря 2015 г.
62. "FSL - FslWiki" . fsl.fmrib.ox.ac.uk . Проверено 8 декабря 2015 г.
63. «NITRC: Студия МРТ: Информация об инструменте/ресурсе» . www.nitrc.org . Проверено 8 декабря 2015 г.
64. «Программное обеспечение SPM - Статистическое параметрическое картографирование» . www.fil.ion.ucl.ac.uk. _ Проверено 8 декабря 2015 г.
65. "стнава/АНЦ". Гитхаб . Проверено 11 декабря 2015 г.
66. Эшбернер, Джон (15 октября 2007 г.). «Быстрый алгоритм регистрации диффеоморфных изображений». НейроИмидж . 38 (1): 95–113. doi :10.1016/j.neuroimage.2007.07.007. PMID  17761438. S2CID  545830.
67. «Программное обеспечение - Том Веркаутерен». сайты.google.com . Проверено 11 декабря 2015 г.
68. «NITRC: LDDMM: Информация об инструменте/ресурсе» . www.nitrc.org . Проверено 11 декабря 2015 г.
69. «Публикация: Сравнение алгоритмов диффеоморфной регистрации: стационарный LDDMM и диффеоморфные демоны». www.openaire.eu . Архивировано из оригинала 16 февраля 2016 г. Проверено 11 декабря 2015 г.
70. Чжан, Мяомяо; Флетчер, П. Томас (1 января 2015 г.). «Конечномерные алгебры Ли для быстрой регистрации диффеоморфных изображений». Обработка информации в медицинской визуализации . Конспекты лекций по информатике. Том. 24. С. 249–259. дои : 10.1007/978-3-319-19992-4_19. ISBN 978-3-319-19991-7. ISSN  1011-2499. PMID  26221678. S2CID  10334673.
71. Кристенсен, GE; Рэббитт, РД; Миллер, Мичиган (1 октября 1996 г.). «Деформируемые шаблоны с использованием кинематики большой деформации». Пер. Изображение Проц . 5 (10): 1435–1447. Бибкод : 1996ITIP....5.1435C. дои : 10.1109/83.536892. ПМИД  18290061.
72. Кристенсен, GE; Рэббитт, РД; Миллер, Мичиган (1996). «Деформируемые шаблоны с использованием кинематики больших деформаций». Транзакции IEEE при обработке изображений . 5 (10): 1435–1447. Бибкод : 1996ITIP....5.1435C. дои : 10.1109/83.536892. ПМИД  18290061.
73. Кристенсен, GE; Джоши, Южная Каролина; Миллер, Мичиган (1997). «Объемная трансформация анатомии мозга». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 16 (6): 864–877. дои : 10.1109/42.650882. PMID  9533586. S2CID  14209020.
74. П. Дюпюи, У. Гренандер, М. И. Миллер, Существование решений в потоках диффеоморфизмов, Ежеквартальный журнал прикладной математики, 1997.
75. А. Труве. Действия группы бесконечных измерений и разведка форм. CR Acad Sci Paris Sér I Math, 321(8):1031–1034, 1995.
76. Юнес, Л. (1 апреля 1998 г.). «Вычислимые упругие расстояния между фигурами». SIAM Journal по прикладной математике . 58 (2): 565–586. CiteSeerX 10.1.1.45.503 . дои : 10.1137/S0036139995287685. 
77. Мио, Вашингтон; Шривастава, Анудж; Джоши, Шантану (25 сентября 2006 г.). «О форме плоских упругих кривых». Международный журнал компьютерного зрения . 73 (3): 307–324. CiteSeerX 10.1.1.138.2219 . дои : 10.1007/s11263-006-9968-0. S2CID  15202271. 
78. Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид; Шах, Джаянт; Юнес, Лоран (2008). «Метрика пространства фигур с явной геодезией». Ренд. Линчеи Мат. Приложение . 9 (2008): 25–57. arXiv : 0706.4299 . Бибкод : 2007arXiv0706.4299M.
79. Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2007). «Обзор римановых метрик в пространствах кривых с использованием гамильтонова подхода». Прикладной и вычислительный гармонический анализ . 23 (1): 74–113. arXiv : math/0605009 . дои :10.1016/j.acha.2006.07.004. S2CID  732281.
80. Куртек, Себастьян; Классен, Эрик; Гор, Джон К.; Дин, Чжаохуа; Шривастава, Анудж (1 сентября 2012 г.). «Упругие геодезические пути в пространстве форм параметризованных поверхностей». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 34 (9): 1717–1730. дои : 10.1109/TPAMI.2011.233. PMID  22144521. S2CID  7178535.
81. Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2015 г.). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со времен Дарси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi : 10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. ПМИД  26643025.
82. МИЛЛЕР, МАЙКЛ И.; ТРУВЕ, АЛЕН; ЮНС, ЛОРАН (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии». Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0. ПМК 2897162 . ПМИД  20613972. 
83. М.И. Миллер, А. Труве, Л. Юнес, Геодезическая съемка в вычислительной анатомии, IJCV, 2006.
84. Холм, Дэррил Д.; Марсден, Джеррольд Э.; Ратиу, Тудор С. (1998). «Уравнения Эйлера-Пуанкаре и полупрямые произведения с приложениями к теориям континуума». Достижения в математике . 137 : 1–81. arXiv : чао-дин/9801015 . дои : 10.1006/aima.1998.1721 . S2CID  163598.
85. Миллер, Мичиган; Труве, А.; Юнес, Л. (2002). «О метрике и уравнениях Эйлера-Лагранжа вычислительной анатомии». Анну. Преподобный Биомед. англ . 4 : 375–405. CiteSeerX 10.1.1.157.6533 . doi : 10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733. ПМИД  12117763. 
86. Глаунес Дж., Труве А., Юнес Л. 2006. Моделирование изменения плоской формы с помощью гамильтоновых потоков кривых. В статистике и анализе фигур, под ред. Х. Крым, А. Йеззи-младший, стр. 335–61. Модель. Симул. наук. англ. Технол. Бостон: Биркхаузер
87. Микели, Марио; Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид; Юнес, Лоран (2014). «Анализ деформации формы с точки зрения оптимального управления». arXiv : 1401.0661 [math.OC].
88. Миллер, Мичиган; Юнес, Л; Труве, А (2014). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технология (Singap World Sci) . 2 (1): 36–43. дои : 10.1142/S2339547814500010. ПМК 4041578 . ПМИД  24904924. 
89. Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (1 июля 2007 г.). «Обзор римановых метрик в пространствах кривых с использованием гамильтонова подхода». Прикладной и вычислительный гармонический анализ . Специальный выпуск по математической визуализации. 23 (1): 74–113. arXiv : math/0605009 . дои :10.1016/j.acha.2006.07.004. S2CID  732281.
90. Джоши, С.; Миллер, Мичиган (2000). «Сопоставление ориентиров с помощью диффеоморфизмов большой деформации». Транзакции IEEE при обработке изображений . 9 (8): 1357–70. Бибкод : 2000ITIP....9.1357J. дои : 10.1109/83.855431. ПМИД  18262973.
91. Камион, Винсент; Юнес, Лоран (2001). «Геодезические интерполирующие сплайны». Методы минимизации энергии в компьютерном зрении и распознавании образов . Конспекты лекций по информатике. Том. 2134. стр. 513–527. дои : 10.1007/3-540-44745-8_34. ISBN 978-3-540-42523-6.
92. Сочен, Нир (2004). «Аффинные инвариантные потоки в рамках Бельтрами». Журнал математического изображения и видения . 20 : 133–146. doi :10.1023/B:JMIV.0000011323.32914.f3. S2CID  11969555.
93. Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2015 г.). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со времен Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi : 10.1146/annurev-bioeng-071114-040601. ПМИД  26643025.
94. МИЛЛЕР, МАЙКЛ И.; ТРУВЕ, АЛЕН; ЮНС, ЛОРАН (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии». Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0. ПМК 2897162 . ПМИД  20613972. 
95. Камион, Винсент; Юнес, Лоран (1 января 2001 г.). Геодезические интерполяционные сплайны. ЭММКВПР '01. стр. 513–527. дои : 10.1007/3-540-44745-8_34. ISBN 978-3-540-42523-6. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
96. Вайлант, М.; Миллер, Мичиган; Юнес, Л.; Труве, А. (1 января 2004 г.). «Статистика диффеоморфизмов через представления касательного пространства». НейроИмидж . 23 (Приложение 1): S161–169. CiteSeerX 10.1.1.132.6802 . doi : 10.1016/j.neuroimage.2004.07.023. PMID  15501085. S2CID  8255538. 
97. Марсланд, Стивен; Маклахлан, Роберт (1 января 2007 г.). «Метод гамильтоновых частиц для регистрации диффеоморфных изображений». Обработка информации в медицинской визуализации . Конспекты лекций по информатике. Том. 20. С. 396–407. дои : 10.1007/978-3-540-73273-0_33. ISBN 978-3-540-73272-3. ПМИД  17633716.
98. Глаунес, Дж; Труве, А; Юнес, Л. (2004). «Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных множеств точек и подмногообразий». Материалы конференции IEEE Computer Society 2004 г. по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2004 г. CVPR 2004. Vol. 2. С. 712–718. CiteSeerX 10.1.1.158.4209 . дои : 10.1109/CVPR.2004.1315234. ISBN  978-0-7695-2158-9. Проверено 25 ноября 2015 г.
99. Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 февраля 2005 г.). «Вычисление метрических отображений большой деформации с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов». Международный журнал компьютерного зрения . 61 (2): 139–157. doi :10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa. S2CID  17772076.
100. Виалар, Франсуа-Ксавье; Риссер, Лоран; Рюкерт, Дэниел; Коттер, Колин Дж. (01 апреля 2012 г.). «Регистрация диффеоморфного трехмерного изображения с помощью геодезической съемки с использованием эффективного сопряженного расчета». Межд. Дж. Компьютер. Вис . 97 (2): 229–241. дои : 10.1007/s11263-011-0481-8. S2CID  18251140.
101. Глаунес, Джоан; Цю, Аньци; Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран (1 декабря 2008 г.). «Отображение диффеоморфной метрической кривой большой деформации». Международный журнал компьютерного зрения . 80 (3): 317–336. дои : 10.1007/s11263-008-0141-9. ПМЦ 2858418 . ПМИД  20419045. 
102. Вайлант, Марк; Глаунес, Жанна (1 января 2005 г.). «Согласование поверхностей с помощью токов». Обработка информации в медицинской визуализации . Конспекты лекций по информатике. Том. 19. С. 381–392. CiteSeerX 10.1.1.88.4666 . дои : 10.1007/11505730_32. ISBN  978-3-540-26545-0. ПМИД  17354711. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
103. Цао, Ян; Миллер, Мичиган; Уинслоу, РЛ; Юнес, Л. (1 октября 2005 г.). «Диффеоморфное метрическое отображение ориентации слоев большой деформации». Десятая международная конференция IEEE по компьютерному зрению (ICCV'05), том 1 . Том. 2. С. 1379–1386 Том. 2. CiteSeerX 10.1.1.158.1582 . дои : 10.1109/ICCV.2005.132. ISBN  978-0-7695-2334-7. S2CID  13019795.
104. Цао, Ян; Миллер, Мичиган; Уинслоу, РЛ; Юнес, Л. (1 сентября 2005 г.). «Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации векторных полей». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 24 (9): 1216–1230. CiteSeerX 10.1.1.157.8377 . дои : 10.1109/TMI.2005.853923. ПМЦ 2848689 . PMID  16156359. S2CID  7046743.  
105. Харон, Н.; Труве, А. (1 января 2013 г.). «Варифолдное представление неориентированных форм для диффеоморфной регистрации». SIAM Journal on Imaging Sciences . 6 (4): 2547–2580. arXiv : 1304.6108 . Бибкод : 2013arXiv1304.6108C. дои : 10.1137/130918885. S2CID  14335966.
106. Байчи, Р.; Либерсон, Р.; Райвич, М. (1 августа 1983 г.). «Компьютеризированная система упругого сопоставления деформированных рентгенографических изображений с идеализированными изображениями атласа». Журнал компьютерной томографии . 7 (4): 618–625. дои : 10.1097/00004728-198308000-00008. ПМИД  6602820.
107. Амит, Яли; Гренандер, Ульф; Пиччиони, Мауро (1 июня 1991 г.). «Восстановление структурного изображения с помощью деформируемых шаблонов». Журнал Американской статистической ассоциации . 86 (414): 376–387. дои : 10.1080/01621459.1991.10475053.
108. Цао, Ян; Миллер, Мичиган; Мори, Сусуму; Уинслоу, РЛ; Юнес, Л. (1 июня 2006 г.). «Диффеоморфное сопоставление тензорных изображений диффузии». 2006 г. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPRW'06) . Том. 2006. с. 67. дои :10.1109/CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ПМК  2920614 . ПМИД  20711423.
109. Ду, Дж; Гох, А; Цю, А (2012). «Диффеоморфное метрическое отображение диффузионных изображений с высоким угловым разрешением на основе римановой структуры функций распределения ориентации». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 31 (5): 1021–1033. дои : 10.1109/TMI.2011.2178253. PMID  22156979. S2CID  11533837.
110. Амари, С (1985). Дифференциально-геометрические методы в статистике . Спрингер.
111. Стринги, JY; Ду, Дж; Ратнараджа, Н.; Донг, Ю; Вскоре, HW; Сайни, М; Тан, МЗ; Та, АТ; Чен, К; Цю, А (2014). «Нарушения толщины коры, подкорковых форм и целостности белого вещества при подкорковых сосудистых когнитивных нарушениях». Хм. Карта мозга . 35 (5): 2320–2332. дои : 10.1002/hbm.22330. ПМК 6869364 . PMID  23861356. S2CID  15230668. 
112. ДУ, Дж; Гох, А; Цю, А (2013). «Оценка байесовского атласа на основе диффузной визуализации с высоким угловым разрешением (HARDI)». Геометрическая наука об информации . Конспекты лекций по информатике. Том. 8085. стр. 149–157. дои : 10.1007/978-3-642-40020-9_15. ISBN 978-3-642-40019-3. S2CID  8571740.
113. Ду, Дж; Гох, А; Кушнарев С; Цю, А (2014). «Геодезическая регрессия функций распределения ориентации с ее применением к исследованию старения». НейроИмидж . 87 : 416–426. doi :10.1016/j.neuroimage.2013.06.081. PMID  23851325. S2CID  26942635.
114. Кутс, Т.Ф.; Эдвардс, Дж.Дж.; Тейлор, CJ (2 июня 1998 г.). Буркхардт, Ганс; Нойманн, Бернд (ред.). Модели активной внешности . Конспекты лекций по информатике. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 484–498. ISBN 9783540646136.
115. Лиан, Най-Сян; Давацикос, Христос (01 декабря 2011 г.). «Морфологические многообразия внешнего вида для группового морфометрического анализа». Анализ медицинских изображений . 15 (6): 814–829. дои : 10.1016/j.media.2011.06.003. ПМК 4392008 . ПМИД  21873104. 
116. Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2005 г.). Метаморфозы посредством группового действия лжи . CiteSeerX 10.1.1.157.8752 . 
117. Холм, Дэррил Д.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (4 июня 2008 г.). «Теория метаморфозы Эйлера-Пуанкаре». arXiv : 0806.0870 [cs.CV].
118. Ричардсон, Кейси Л.; Юнес, Лоран (23 сентября 2014 г.). «Метаморфоза изображений при воспроизведении ядерных гильбертовых пространств». arXiv : 1409,6573 [math.OC].
119. Букштейн, Флорида (1 января 1989 г.). «Основные деформации: сплайны из тонких пластин и разложение деформаций» (PDF) . Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 11 (6): 567–585. дои : 10.1109/34.24792.
120. Камион, Винсент; Юнес, Лоран (3 сентября 2001 г.). «Геодезические интерполирующие сплайны». В Фигейредо, Марио; Зерубия, Джозиана; Джайн, Анил К. (ред.). Методы минимизации энергии в компьютерном зрении и распознавании образов . Конспекты лекций по информатике. Том. 2134. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 513–527. CiteSeerX 10.1.1.57.7394 . дои : 10.1007/3-540-44745-8_34. ISBN  9783540425236.
121. Глаунес, Дж.; Труве, А.; Юнес, Л. (1 июня 2004 г.). «Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных множеств точек и подмногообразий». Материалы конференции IEEE Computer Society 2004 г. по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2004 г. CVPR 2004 . Том. 2. С. II–712–II–718 Том 2. CiteSeerX 10.1.1.158.4209 . дои : 10.1109/CVPR.2004.1315234. ISBN  978-0-7695-2158-9.
122. Чжун, Дж; Фуа, Дания; Цю, А (2010). «Количественная оценка LDDMM, FreeSurfer и CARET для картирования поверхности коры». НейроИмидж . 52 (1): 131–141. doi :10.1016/j.neuroimage.2010.03.085. PMID  20381626. S2CID  6767322.
123. Тан, М; Цю, А (2016). «Диффеоморфное метрическое картирование с большим разрешением и несколькими разрешениями для кортикальных поверхностей с несколькими разрешениями: подход от грубого к мелкому». Транзакции IEEE при обработке изображений . 25 (9): 4061–4074. Бибкод : 2016ITIP...25.4061T. дои : 10.1109/TIP.2016.2574982. PMID  27254865. S2CID  16307639.
124. Нитхаммер, Марк; Хуан, Ян; Виалар, Франсуа-Ксавье (1 января 2011 г.). «Геодезическая регрессия для временных рядов изображений». Вычисление медицинских изображений и компьютерное вмешательство . 14 (Часть 2): 655–662. дои : 10.1007/978-3-642-23629-7_80. ПМК 4339064 . ПМИД  21995085. 
125. Труве, Ален; Виалар, Франсуа-Ксавье (2010). «Формальные сплайны и стохастическая эволюция форм: точка зрения второго порядка». arXiv : 1003.3895 [math.OC].
126. Флетчер, PT; Лу, К.; Пайзер, С.М.; Джоши, С. (1 августа 2004 г.). «Основной геодезический анализ для изучения нелинейной статистики формы». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 23 (8): 995–1005. CiteSeerX 10.1.1.76.539 . дои : 10.1109/TMI.2004.831793. PMID  15338733. S2CID  620015. 
127. Труве, Ален; Виалар, Франсуа-Ксавье (1 января 2012 г.). «Формальные сплайны и стохастическая эволюция форм: точка зрения второго порядка». Ежеквартальный журнал прикладной математики . 70 (2): 219–251. arXiv : 1003.3895 . дои : 10.1090/S0033-569X-2012-01250-4. S2CID  96421820.
128. Миллер, Майкл; Банерджи, Аянаншу; Кристенсен, Гэри; Джоши, Саранг; Ханеджа, Навин; Гренандер, Ульф; Матеич, Лариса (1 июня 1997 г.). «Статистические методы в вычислительной анатомии». Статистические методы в медицинских исследованиях . 6 (3): 267–299. дои : 10.1177/096228029700600305. PMID  9339500. S2CID  35247542.
129. У. Гренандер и М. И. Миллер (8 февраля 2007 г.). Теория шаблонов: от представления к выводу . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199297061.
130. М.И. Миллер, С. Мори, Х. Тан, Д. Твард и Ю. Чжан (14 февраля 2015 г.). Деформируемые шаблоны байесовского множественного атласа. Картирование мозга: энциклопедический справочник. Академическая пресса. ISBN 9780123973160.
131. Шривастава, С.; Миллер, Мичиган; Гренандер, У. (1 января 1997 г.). «Эргодические алгоритмы на специальных евклидовых группах для ATR». В Бирнсе, Кристофер И.; Датта, Бисва Н.; Мартин, Клайд Ф.; Гиллиам, Дэвид С. (ред.). Системы и управление в XXI веке . Системы и контроль: основы и приложения. Биркхойзер Бостон. стр. 327–350. CiteSeerX 10.1.1.44.4751 . дои : 10.1007/978-1-4612-4120-1_18. ISBN  978-1-4612-8662-2.
132. Кендалл, Дэвид Г. (1 января 1989). «Обзор статистической теории формы». Статистическая наука . 4 (2): 87–99. дои : 10.1214/ss/1177012582 . JSTOR  2245331.
133. Мамфорд, Дэвид (1 января 2012 г.). «Геометрия и кривизна пространств форм». В Заньере, Умберто (ред.). Коллоквиум Джорджи 2009 . Коллоквиумы. Высшая нормальная школа. стр. 43–53. дои : 10.1007/978-88-7642-387-1_4. ISBN 9788876423888. S2CID  116135355.
134. Лоран Юнес (25 мая 2010 г.). Формы и диффеоморфизмы (1-е изд.). Спрингер. ISBN 9783642120541.
135. Юнес, Лоран (1 июня 2012 г.). «Пространства и многообразия форм в компьютерном зрении: обзор». Изображение Vision Comput . 30 (6–7): 389–397. doi :10.1016/j.imavis.2011.09.009.
136. Ма, Джун; Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран (1 января 2010 г.). «Байесовская генеративная модель для оценки шаблона поверхности». Международный журнал биомедицинской визуализации . 2010 : 1–14. дои : 10.1155/2010/974957 . ПМЦ 2946602 . ПМИД  20885934. 
137. Джоши, С.; Дэвис, Брэд; Жомье, Б. Матье; Б, Гвидо Гериг (1 января 2004 г.). «Непредвзятое построение диффеоморфного атласа для вычислительной анатомии». НейроИмидж . 23 : 151–160. CiteSeerX 10.1.1.104.3808 . doi : 10.1016/j.neuroimage.2004.07.068. PMID  15501084. S2CID  2271742. 
138. Ма, Джун; Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 августа 2008 г.). «Оценка байесовского шаблона в вычислительной анатомии». НейроИмидж . 42 (1): 252–261. doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.03.056. ПМК 2602958 . ПМИД  18514544. 
139. Цю, Аньци; Миллер, Майкл И. (2008). «Анализ формы многоструктурной сети с помощью карт импульса нормальной поверхности». НейроИмидж . 42 (4): 1430–1438. CiteSeerX 10.1.1.463.7231 . doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.04.257. PMID  18675553. S2CID  10434173. 
140. "Деформметрика" . Проверено 12 января 2017 г.
141. Тан, Минчжэнь; Цю, Аньци. «LDDMM с кадровым ядром». Вычислительная функциональная анатомия .
142. "МриКлауд" . Проверено 26 октября 2016 г.

{{|}}