Концентрация меры

Статистический параметр

В математике концентрация меры (около медианы ) — это принцип, который применяется в теории меры , вероятности и комбинаторике , и имеет последствия для других областей, таких как теория банахова пространства . Неформально он гласит, что «Случайная величина, зависящая липшицевым образом от многих независимых переменных (но не слишком сильно от любой из них), по существу является константой». ^[1]

Феномен концентрации меры был выдвинут в начале 1970-х годов Виталием Мильманом в его работах по локальной теории банаховых пространств , развивая идею, восходящую к работам Поля Леви . ^{[2] [3]} Он получил дальнейшее развитие в работах Мильмана и Громова , Море , Пизье , Шехтмана , Талаграна , Леду и других.

Общая обстановка

Пусть — метрическое пространство с мерой на борелевских множествах с . Пусть ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (X\setminus A_{\epsilon })\,|A{\mbox{ is a Borel set and}}\,\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

где

${\displaystyle A_{\epsilon }=\left\{x\,|\,d(x,A)<\epsilon \right\}}$

- это - расширение (также называемое -утолщением в контексте расстояния Хаусдорфа ) множества . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Функция называется скоростью концентрации пространства . Следующее эквивалентное определение имеет множество применений: ${\displaystyle \alpha (\cdot )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},}$

где супремум берется по всем 1-липшицевым функциям , а медиана (или среднее Леви) определяется неравенствами ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M=\mathop {\mathrm {Med} } F}$

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

Неформально, пространство демонстрирует явление концентрации, если очень быстро затухает по мере роста. Более формально, семейство метрических мерных пространств называется семейством Леви, если соответствующие скорости концентрации удовлетворяют ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha (\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;as\;}}n\to \infty ,}$

и нормальная семья Леви, если

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$

для некоторых констант . Примеры см. ниже. ${\displaystyle c,C>0}$

Концентрация на сфере

Первый пример восходит к Полю Леви . Согласно сферическому изопериметрическому неравенству , среди всех подмножеств сферы с заданной сферической мерой сферическая шапка ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

для подходящего , имеет наименьшее -расширение (для любого ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Применяя это к множествам меры (где ), можно вывести следующее неравенство концентрации : ${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$,

где — универсальные константы. Поэтому соответствуют определению выше нормального семейства Леви. ${\displaystyle C,c}$ ${\displaystyle (S^{n})_{n}}$

Виталий Мильман применил этот факт к нескольким задачам локальной теории банаховых пространств, в частности, чтобы дать новое доказательство теоремы Дворецкого .

Концентрация меры в физике

Вся классическая статистическая физика основана на явлениях концентрации меры: фундаментальная идея («теорема») об эквивалентности ансамблей в термодинамическом пределе ( Гиббс , 1902 ^[4] и Эйнштейн , 1902-1904 ^{[5] [6] [7]} ) - это в точности теорема о концентрации тонкой оболочки. Для каждой механической системы рассмотрим фазовое пространство, снабженное инвариантной мерой Лиувилля (фазовым объемом) и сохраняющей энергию E . Микроканонический ансамбль - это просто инвариантное распределение по поверхности постоянной энергии E , полученное Гиббсом как предел распределений в фазовом пространстве с постоянной плотностью в тонких слоях между поверхностями состояний с энергией E и с энергией E+ΔE . Канонический ансамбль задается плотностью вероятности в фазовом пространстве (относительно фазового объема), где величины F=const и T=const определяются условиями нормировки вероятности и заданным математическим ожиданием энергии E . ${\displaystyle \rho =e^{\frac {F-E}{kT}},}$

Когда число частиц велико, то разность между средними значениями макроскопических переменных для канонического и микроканонического ансамблей стремится к нулю, и их флуктуации явно оцениваются. Эти результаты строго доказаны при некоторых условиях регулярности на энергетическую функцию E Хинчиным (1943). ^[8] Простейший частный случай, когда E является суммой квадратов, был хорошо известен в деталях до Хинчина и Леви и даже до Гиббса и Эйнштейна. Это распределение Максвелла–Больцмана энергии частиц в идеальном газе.

Микроканонический ансамбль очень естественен с наивной физической точки зрения: это просто естественное равнораспределение на изоэнергетической гиперповерхности. Канонический ансамбль очень полезен из-за важного свойства: если система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, т.е. если энергия E является суммой, , где - состояния подсистем, то равновесные состояния подсистем независимы, равновесное распределение системы является произведением равновесных распределений подсистем с тем же T. Эквивалентность этих ансамблей является краеугольным камнем механических основ термодинамики. ${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

Другие примеры

• Неравенство Борреля–ТИС
• Гауссово изопериметрическое неравенство
• Неравенство Мак-Диармида
• Неравенство концентрации Талагранда
• Асимптотическое свойство равнораспределения

Ссылки

1. Талагранд, Мишель (1996). «Новый взгляд на независимость». Annals of Probability . 24 (1): 1–34. doi : 10.1214/aop/1042644705 .
2. " Концентрация , вездесущая в теории вероятностей и статистической механике, была перенесена в геометрию (начиная с банаховых пространств) Виталием Мильманом, следуя более ранней работе Поля Леви ${\displaystyle f_{\ast }(\mu )}$ " - М. Громов , Пространства и вопросы, GAFA 2000 (Тель-Авив, 1999), Geom. Funct. Anal. 2000, Специальный том, Часть I, 118–161.
3. " Идея концентрации меры (открытая В. Мильманом) является, пожалуй, одной из величайших идей анализа нашего времени. Хотя ее влияние на вероятность составляет лишь малую часть всей картины, это влияние не следует игнорировать. " - М. Талагранд , Новый взгляд на независимость, Ann. Probab. 24 (1996), № 1, 1–34.
4. Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики (PDF) . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons.
5. Эйнштейн, Альберт (1902). «Кинетическая теория теплового равновесия и второго закона термодинамики» (PDF) . Аннален дер Физик . Серия 4. 9 : 417–433. дои : 10.1002/andp.19023141007 . Проверено 21 января 2020 г.
6. Эйнштейн, Альберт (1904). «Eine Theorie der Grundlagen der Thermodynamik [Теория основ термодинамики]» (PDF) . Аннален дер Физик . Серия 4. 11 : 417–433 . Проверено 21 января 2020 г.
7. Эйнштейн, Альберт (1904). «Allgemeine molekulare Theorie der Wärme [Об общей молекулярной теории тепла]» (PDF) . Аннален дер Физик . Серия 4. 14 : 354–362. дои : 10.1002/andp.19043190707 . Проверено 21 января 2020 г.
8. Хинчин, Александр Я. (1949). Математические основы статистической механики [Английский перевод с русского издания, Москва, Ленинград, 1943]. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Courier Corporation . Получено 21 января 2020 г.

Дальнейшее чтение

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2864-9.
• Giannopoulos, AA; Milman, VD (2000). "Свойство концентрации в вероятностных пространствах" (PDF) . Advances in Mathematics . 156 : 77–106. doi : 10.1006/aima.2000.1949 .

Внешние ссылки

• Гусар, Ференц (9 ноября 2017 г.). «Распределение Гаусса — это мыльные пузыри».– запись в блоге, иллюстрирующая одно из последствий концентрации меры