многочлен Александера

Инвариант узла

В математике многочлен Александера — это инвариант узла , который сопоставляет многочлен с целыми коэффициентами каждому типу узла. Джеймс Уодделл Александр II открыл этот первый многочлен узла в 1923 году. В 1969 году Джон Конвей показал, что версия этого многочлена, теперь называемая многочленом Александера–Конвея , может быть вычислена с использованием мотка , хотя его значимость не была осознана до открытия многочлена Джонса в 1984 году. Вскоре после переработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее мотка было показано в статье Александера о его многочлене. ^[a]

Определение

Пусть K — узел в 3-сфере . Пусть X — бесконечное циклическое покрытие дополнения узла K. Это покрытие можно получить, разрезав дополнение узла вдоль поверхности Зейферта K и склеив бесконечно много копий полученного многообразия с границей циклическим образом. Существует накрывающее преобразование t, действующее на X. Рассмотрим первую гомологию (с целыми коэффициентами) X , обозначенную . Преобразование t действует на гомологию, и поэтому мы можем рассмотреть модуль над кольцом многочленов Лорана . Это называется инвариантом Александера или модулем Александера . ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$

Модуль конечно представим; матрица представления для этого модуля называется матрицей Александера . Если число генераторов, , меньше или равно числу отношений, , то мы рассматриваем идеал, порожденный всеми минорами матрицы; это нулевой идеал Фиттинга или идеал Александера , и он не зависит от выбора матрицы представления. Если , устанавливаем идеал равным 0. Если идеал Александера является главным , берем генератор; это называется полиномом Александера узла. Поскольку он уникален только с точностью до умножения на моном Лорана , часто фиксируют определенную уникальную форму. Выбор Александера для нормализации заключается в том, чтобы сделать полином имеющим положительный постоянный член . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle r>s}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$

Александер доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует и, очевидно, является инвариантом узла, обозначаемым . Оказывается, многочлен Александера узла является тем же многочленом для зеркального узла. Другими словами, он не может отличить узел от его зеркального образа. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Вычисление полинома

Следующая процедура вычисления полинома Александера была предложена Дж. В. Александером в его статье. ^[2]

Возьмем ориентированную диаграмму узла с перекрестками; есть области диаграммы узла. Чтобы вычислить полином Александера, сначала нужно создать матрицу инцидентности размером . Строки соответствуют перекресткам, а столбцы — областям. Значения для элементов матрицы — либо . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle 0,1,-1,t,-t}$

Рассмотрим запись, соответствующую определенному региону и перекрестку. Если регион не примыкает к перекрестку, запись равна 0. Если регион примыкает к перекрестку, запись зависит от его местоположения. В следующей таблице приведена запись, определяемая местоположением региона на перекрестке с точки зрения входящей линии подпересечения.

слева перед подземным переходом: ${\displaystyle -t}$

справа перед подземным переходом: ${\displaystyle 1}$

слева после проезда подземного перехода: ${\displaystyle t}$

справа после подъездного пути: ${\displaystyle -1}$

Удалите из матрицы два столбца, соответствующие смежным областям, и вычислите определитель новой матрицы. В зависимости от удаленных столбцов ответ будет отличаться умножением на , где степень не обязательно является числом пересечений в узле. Чтобы разрешить эту неоднозначность, разделите наибольшую возможную степень и умножьте на при необходимости, так чтобы постоянный член был положительным. Это дает многочлен Александера. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -1}$

Полином Александера также можно вычислить из матрицы Зейферта .

После работы Дж. В. Александера Ральф Фокс рассмотрел копредставление группы узлов и ввел некоммутативное дифференциальное исчисление, которое также позволяет вычислять . ^{[3] [b]} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Основные свойства многочлена

Многочлен Александера симметричен: для всех узлов К. ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$

С точки зрения определения это выражение изоморфизма двойственности Пуанкаре , где — частное поля частных по , рассматриваемому как -модуль, а где — сопряженный -модуль к , то есть: как абелева группа он тождественен , но накрывающее преобразование действует по . ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}}$

Более того, многочлен Александера оценивается как единица на 1: . ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}$

С точки зрения определения, это выражение того факта, что дополнение узла является гомологической окружностью, порожденной накрывающим преобразованием . В более общем случае, если является 3-многообразием, имеющим полином Александера , определенный как идеал порядка его бесконечно-циклического накрывающего пространства. В этом случае с точностью до знака равен порядку подгруппы кручения . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$ ${\displaystyle H_{1}M}$

Каждый целочисленный многочлен Лорана, который является симметричным и равен единице в 1, является многочленом Александера узла. ^[4]

Геометрическое значение многочлена

Так как идеал Александера является главным, то тогда и только тогда, когда коммутатор группы узла совершенен (т.е. равен своему собственному коммутатору ). ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$

Для топологически срезанного узла многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса–Милнора, где — некоторый другой целочисленный многочлен Лорана. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$ ${\displaystyle f(t)}$

Дважды род узла ограничен снизу степенью многочлена Александера.

Майкл Фридман доказал, что узел в 3-сфере является топологически срезанным , т.е. ограничивает «локально-плоский» топологический диск в 4-шаре, если многочлен Александера узла тривиален. ^[5]

Кауфман описывает первую конструкцию полинома Александера через суммы состояний, полученные из физических моделей. Обзор этой темы и других связей с физикой дан в. ^{[6] [7]}

Существуют и другие связи с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при определенных предположениях существует способ модификации гладкого 4-многообразия путем выполнения операции , которая состоит в удалении окрестности двумерного тора и замене его на узел-дополнение, скрещенный с S ¹ . Результатом является гладкое 4-многообразие, гомеоморфное исходному, хотя теперь инвариант Зайберга–Виттена был изменен путем умножения на многочлен Александера узла. ^[8]

Известно, что узлы с симметриями имеют ограниченные многочлены Александера. ^[9] Тем не менее, многочлен Александера может не обнаружить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость.

Если дополнение узла расслаивается над окружностью, то известно, что многочлен Александера узла является моническим (коэффициенты членов высшего и низшего порядка равны ). Фактически, если — расслоение, где — дополнение узла, пусть представляет монодромию , тогда где — индуцированное отображение на гомологии. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle g:S\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$ ${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$

Отношения со спутниковыми операциями

Если узел является узлом-спутником с шаблонным узлом (существует вложение такое, что , где — незаузленный полноторий, содержащий ), то , где — целое число, представляющее в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ ${\displaystyle K=f(K')}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$

Примеры: Для connect-sum . Если — нескрученный дубль Уайтхеда , то . ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$

Многочлен Александера–Конвея

Александр доказал, что многочлен Александера удовлетворяет соотношению скейн. Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что соотношение скейн вместе с выбором значения на тривиальном узле было достаточно для определения многочлена. Версия Конвея представляет собой многочлен от z с целыми коэффициентами, обозначаемый и называемый многочленом Александера–Конвея (также известный как многочлен Конвея или многочлен Конвея–Александера ). ${\displaystyle \nabla (z)}$

Предположим, что нам дана ориентированная диаграмма связей, где — диаграммы связей, полученные в результате пересечения и сглаживания изменений в локальной области указанного пересечения диаграммы, как показано на рисунке. ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

Вот клубковые соотношения Конвея:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$(где O — любая диаграмма развязки)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

Связь со стандартным полиномом Александера определяется как . Здесь необходимо должным образом нормализовать (умножением на ), чтобы удовлетворить соотношению скейн . Обратите внимание, что это соотношение дает полином Лорана в t ^1/2 . ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$ ${\displaystyle \Delta _{L}}$ ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$ ${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$

Пример вычисления полинома Конвея для трилистника см. в теории узлов.

Отношение к гомологии Флоера

Используя псевдоголоморфные кривые, Озват-Сабо ^[10] и Расмуссен ^[11] связали биградуированную абелеву группу, называемую гомологией узла Флоэра, с каждым изотопическим классом узлов. Градуированная эйлерова характеристика гомологий узла Флоэра — это многочлен Александера. В то время как многочлен Александера дает нижнюю границу рода узла, ^[12] показали, что гомология узла Флоэра определяет род. Аналогично, в то время как многочлен Александера дает препятствие для расслоения дополнения узла над окружностью, ^[13] показали, что гомология узла Флоэра полностью определяет, когда дополнение узла расслаивается над окружностью. Группы гомологий узла Флоэра являются частью семейства инвариантов гомологий Хегора Флоэра; см. гомологию Флоэра для дальнейшего обсуждения.

Примечания

1. Александр описывает свое отношение скейн ближе к концу своей статьи под заголовком «разные теоремы», возможно, поэтому оно и потерялось. Джоан Бирман упоминает в своей статье, что Марк Кидвелл привлек ее внимание к отношению Александра в 1970 году. ^[1]
2. Подробное изложение этого подхода к высшим полиномам Александера можно найти в работе Кроуэлла и Фокса (1963).

Ссылки

1. Бирман 1993.
2. Александр 1928.
3. Фокс 1961.
4. Каваучи 2012, Теорема 11.5.3, стр. 150. Каваучи приписывает этот результат Кондо, Х. (1979), «Узлы развязывания числа 1 и их многочлены Александера», Osaka J. Math. 16: 551–559, и Сакаи, Т. (1977), «Замечание о многочленах Александера узлов», Math. Sem. Notes Kobe Univ. 5: 451–456.
5. Фридман и Куинн 1990.
6. Кауфман 1983.
7. Кауфман 2012.
8. Финтушел и Стерн 1998.
9. Каваучи 2012, раздел симметрии.
10. Озват и Сабо 2004.
11. Расмуссен 2003.
12. Озват и Сабо 2004b.
13. Ни 2007.

Источники

• Адамс, Колин С. (2004) [1994]. Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3678-1.(доступное введение с использованием подхода скейн-отношений)
• Alexander, JW (1928). «Топологические инварианты узлов и связей» (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 30 (2): 275–306. doi : 10.1090/S0002-9947-1928-1501429-1 . JSTOR  1989123.
• Бирман, Джоан (1993). «Новые точки зрения в теории узлов». Bull. Amer. Math. Soc . NS 28 (2): 253–287.
• Кроуэлл, Ричард; Фокс, Ральф (1963). Введение в теорию узлов . Джинн и Ко. после 1977 Springer Verlag.
• Fintushel, Ronald ; Stern, Ronald J. (октябрь 1998 г.). «Узлы, связи и 4-многообразия». Inventiones Mathematicae . 134 (2): 363–400. arXiv : dg-ga/9612014 . Bibcode :1998InMat.134..363F. doi :10.1007/s002220050268. ISSN  0020-9910. MR  1650308. S2CID  3752148.
• Фокс, Ральф (1961). «Быстрый экскурс в теорию узлов». В Форте, М.К. (ред.). Труды Института топологии Университета Джорджии . Энглвуд Клиффс. Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 120–167. OCLC  73203715.
• Freedman, Michael H. ; Quinn, Frank (1990). Топология 4-многообразий . Princeton Mathematical Series. Том 39. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08577-7.
• Кауфман, Луис (2006) [1983]. Формальная теория узлов. Courier. ISBN 978-0-486-45052-0.
• Кауфман, Луис (2012). Узлы и физика (4-е изд.). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4383-00-4.
• Каваучи, Акио (2012) [1996]. Обзор теории узлов. Биркхойзер. ISBN 978-3-0348-9227-8.(охватывает несколько различных подходов, объясняет связи между различными версиями полинома Александера)
• Ни, Йи (2007). «Гомология узла Флоера обнаруживает волокнистые узлы». Математические изобретения . Изобретать. Математика. 170 (3): 577–608. arXiv : math/0607156 . Бибкод : 2007InMat.170..577N. дои : 10.1007/s00222-007-0075-9. S2CID  119159648.
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004). "Голоморфные диски и инварианты узлов". Advances in Mathematics . 186 (1): 58–116. arXiv : math/0209056 . Bibcode :2002math......9056O. doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . S2CID  11246611.
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2004b). «Голоморфные диски и границы рода». Геометрия и топология . 8 (2004): 311–334. arXiv : math/0311496 . дои : 10.2140/gt.2004.8.311. S2CID  11374897.
• Расмуссен, Якоб (2003). Гомологии Флоера и дополнения узлов (диссертация). Гарвардский университет. стр. 6378. arXiv : math/0306378 . Bibcode :2003math......6378R.
• Рольфсен, Дейл (1990). Узлы и связи (2-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN 978-0-914098-16-4.(объясняет классический подход с использованием инварианта Александера; таблица узлов и связей с полиномами Александера)

Внешние ссылки

• «Инварианты Александра», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Главная страница» и «Полином Александера-Конвея», Атлас узлов . – таблицы узлов и связей с вычисленными полиномами Александера и Конвея.