В математике множество A является дедекиндово -бесконечным ( названным в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда ) , если некоторое собственное подмножество B из A равнозначно A. Явно это означает, что существует биективная функция из A на некоторое собственное подмножество B из A . Множество является дедекиндово-конечным, если оно не дедекиндово-бесконечно (т. е. такой биекции не существует). Дедекинд-бесконечность, предложенная Дедекиндом в 1888 году, была первым определением «бесконечного», которое не основывалось на определении натуральных чисел . [1]
Простой пример : набор натуральных чисел . Согласно парадоксу Галилея , существует биекция, которая отображает каждое натуральное число n в его квадрат n 2 . Поскольку множество квадратов является собственным подмножеством , оно дедекиндово бесконечно.
До тех пор, пока основополагающий кризис математики не показал необходимость более тщательного подхода к теории множеств, большинство математиков предполагали , что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно является бесконечным по Дедекинду. В начале двадцатого века теория множеств Цермело-Френкеля , сегодня наиболее часто используемая форма аксиоматической теории множеств , была предложена в качестве аксиоматической системы для формулирования теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Используя аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля с включенной первоначально весьма спорной аксиомой выбора ( ZFC ), можно показать, что множество является дедекиндовым конечным тогда и только тогда, когда оно конечно в обычном смысле. Однако существует модель теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора ( ZF ), в которой существует бесконечное, дедекиндово конечное множество, что показывает, что аксиомы ZF недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое множество, являющееся дедекиндовым, не является достаточно сильным. -конечное конечно. [2] [1] Помимо определения Дедекинда существуют определения конечности и бесконечности множеств , которые не зависят от выбранной аксиомы.
Смутно связанное с ним понятие — дедекиндово конечное кольцо .
Это определение « бесконечного множества » следует сравнить с обычным определением: множество А бесконечно , когда его нельзя поставить в взаимно однозначное соответствие с конечным ординалом , а именно с множеством вида {0, 1, 2, ..., n −1} для некоторого натурального числа n - бесконечное множество - это такое, которое буквально «не конечно» в смысле биекции.
Во второй половине XIX века большинство математиков просто предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. Однако эту эквивалентность нельзя доказать с помощью аксиом теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (AC) (обычно обозначаемой « ZF »). Для доказательства эквивалентности не требуется полная сила AC; на самом деле эквивалентность двух определений строго слабее, чем аксиома счетного выбора (CC). (См. ссылки ниже.)
Множество A является дедекиндово-бесконечным, если оно удовлетворяет любому, а затем и всем следующим эквивалентным (над ZF ) условиям:
оно дуально дедекиндово бесконечно, если:
он слабо дедекиндово бесконечен, если он удовлетворяет любому, а затем и всем следующим эквивалентным (над ZF ) условиям:
и оно бесконечно , если:
Тогда ZF доказывает следующие импликации: дедекиндово-бесконечно ⇒ дуально дедекиндово-бесконечно ⇒ слабо дедекиндово-бесконечно ⇒ бесконечно.
Существуют модели ZF , имеющие бесконечное по Дедекинду множество. Пусть A — такое множество, и пусть B — множество конечных инъективных последовательностей из A . Поскольку A бесконечно, функция «отбросить последний элемент» из B в себя является сюръективной, но не инъективной, поэтому B дуально дедекиндово-бесконечно. Однако, поскольку A является конечным по Дедекинду, то и B то же самое (если бы B имело счетное бесконечное подмножество, то, используя тот факт, что элементы B являются инъективными последовательностями, можно было бы указать счетное бесконечное подмножество A ).
Когда множества имеют дополнительные структуры, оба вида бесконечности иногда могут быть доказаны эквивалентными над ZF . Например, ZF доказывает, что вполне упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно бесконечно.
Термин назван в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда , который первым явно ввел это определение. Примечательно, что это определение было первым определением «бесконечного», которое не опиралось на определение натуральных чисел (если только кто-то не следует Пуанкаре и не считает понятие числа предшествующим даже понятию множества). Хотя такое определение было известно Бернару Больцано , ему не разрешалось публиковать свою работу ни в каких журналах, кроме самых малоизвестных, из-за условий его политической ссылки из Пражского университета в 1819 году. между двумя бесконечными множествами, а не определение бесконечного множества как такового .
Долгое время многие математики даже не допускали мысли о том, что может существовать различие между понятиями бесконечного множества и бесконечного по Дедекинду множества. Фактически, это различие не было по-настоящему осознано до тех пор, пока Эрнст Цермело явно не сформулировал АС. Существование бесконечных дедекиндовых множеств изучалось Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1912 году; эти множества сначала назывались промежуточными кардиналами или кардиналами Дедекинда .
С общим признанием аксиомы выбора среди математического сообщества, эти вопросы, связанные с бесконечными и бесконечными по Дедекинду множествами, стали менее важными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово-бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке прояснить границу между конечным и бесконечным, а также важную роль в истории АК.
Поскольку каждое бесконечное хорошо упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду и поскольку AC эквивалентно теореме о хорошем порядке , утверждающей, что каждое множество может быть хорошо упорядоченным, очевидно, что из общего AC следует, что каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду. Однако эквивалентность двух определений гораздо слабее полной силы АС.
В частности, существует модель ZF , в которой существует бесконечное множество без счетного бесконечного подмножества. Следовательно, в этой модели существует бесконечное, дедекиндово конечное множество. Ввиду вышесказанного такой набор не может быть упорядочен в данной модели.
Если мы примем аксиому CC (т. е. AC ω ), то из этого следует, что каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее, чем даже CC. Явно существует модель ZF , в которой каждое бесконечное множество является дедекиндовым, но CC не работает (при условии непротиворечивости ZF ).
То, что каждое бесконечное по Дедекинду множество бесконечно, можно легко доказать в ZF: каждое конечное множество по определению имеет биекцию с некоторым конечным ординалом n , и индукцией по n можно доказать , что оно не является бесконечным по Дедекинду.
Используя аксиому счетного выбора (обозначение: аксиома CC), можно доказать обратное, а именно, что каждое бесконечное множество X является дедекинд-бесконечным, следующим образом:
Сначала определите функцию над натуральными числами (то есть над конечными ординалами) f : N → Power(Power( X ) ) , так, чтобы для каждого натурального числа n f ( n ) было множеством конечных подмножеств X размера n (т.е. которые имеют биекцию с конечным порядковым номером n ). f ( n ) никогда не бывает пустым, иначе X было бы конечным (что можно доказать индукцией по n ).
Образом f является счетное множество { f ( n ) | n ∈ N }, члены которого сами являются бесконечными (и, возможно, несчетными) множествами. Используя аксиому счетного выбора, мы можем выбрать один член из каждого из этих множеств, и этот член сам по себе является конечным подмножеством X . Точнее, согласно аксиоме счетного выбора, существует (счетное) множество, G = { g ( n ) | n ∈ N }, так что для каждого натурального числа n g ( n ) является членом f ( n ) и, следовательно , является конечным подмножеством X размера n .
Теперь мы определяем U как объединение членов G . U — бесконечное счетное подмножество X , и можно легко определить биекцию натуральных чисел в U , h : N → U. Теперь мы можем определить биекцию B : X → X \ h (0) , которая переводит каждый член, не входящий в U , в себя и переводит h ( n ) для каждого натурального числа в h ( n + 1) . Следовательно, X дедекиндово бесконечно, и мы закончили.
Выражаясь в терминах теории категорий , множество A является дедекиндовым конечным, если в категории множеств каждый мономорфизм f : A → A является изоморфизмом . Регулярное кольцо фон Неймана R обладает аналогичным свойством в категории (левых или правых) R - модулей тогда и только тогда , когда в R из xy = 1 следует yx = 1 . В более общем смысле дедекиндово конечное кольцо — это любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Помните, что кольцо может быть дедекиндово-конечным, даже если его базовый набор дедекинд-бесконечен, например, целые числа .
