Кронштейн Дирака

Метод квантования для гамильтоновых систем со связями второго рода

Скобка Дирака является обобщением скобки Пуассона , разработанной Полем Дираком ^[1] для рассмотрения классических систем с ограничениями второго класса в гамильтоновой механике и, таким образом, позволяющей им подвергаться каноническому квантованию . Элегантное обращение с более общими лагранжианами является важной частью развития гамильтоновой механики Дираком ; в частности, когда под рукой есть ограничения, так что количество видимых переменных превышает количество динамических. ^[2] Более абстрактно, двухформа, подразумеваемая из скобки Дирака, представляет собой ограничение симплектической формы на поверхность ограничений в фазовом пространстве . ^[3]

Эта статья предполагает знакомство со стандартными лагранжевыми и гамильтоновыми формализмами и их связью с каноническим квантованием . Подробности модифицированного гамильтонового формализма Дирака также резюмируются, чтобы представить скобку Дирака в контексте.

Неадекватность стандартной гамильтоновой процедуры

Стандартное развитие гамильтоновой механики неадекватно в нескольких конкретных ситуациях:

1. Когда лагранжиан не более чем линейен по скорости хотя бы по одной координате; в этом случае определение канонического импульса приводит к ограничению . Это самая частая причина прибегать к скобкам Дирака. Например, лагранжиан (плотность) любого фермиона имеет такой вид.
2. Когда существуют калибровочные (или другие нефизические) степени свободы, которые необходимо зафиксировать.
3. Когда есть какие-либо другие ограничения, которые кто-то хочет наложить в фазовом пространстве.

Пример лагранжиана, линейного по скорости

Примером классической механики является частица с зарядом q и массой m , удерживаемая в плоскости x - y сильным постоянным однородным перпендикулярным магнитным полем, а затем направленная в направлении z с силой B. ^[4]

Лагранжиан этой системы при соответствующем выборе параметров равен

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}}),}$

где→А векторный потенциал магнитного поля,→Б; с — скорость света в вакууме; и В(→р) — произвольный внешний скалярный потенциал; можно было бы легко считать его квадратичным по x и y без потери общности. Мы используем

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})}$

как наш векторный потенциал; это соответствует однородному и постоянному магнитному полю B в направлении z . Здесь шляпки обозначают единичные векторы. Однако далее в статье они используются для отличия квантово-механических операторов от их классических аналогов. Использование должно быть ясно из контекста.

Явно лагранжиан равен просто

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

что приводит к уравнениям движения

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}}$

${\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.}$

Для гармонического потенциала градиент V равен только координатам -( x ​​, y ) .

Теперь, в пределе очень большого магнитного поля, qB / mc ≫ 1 . Затем можно отказаться от кинетического члена, чтобы получить простой приближенный лагранжиан:

${\displaystyle L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

с уравнениями движения первого порядка

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.}$

Заметим, что этот приближенный лагранжиан линеен по скоростям , что является одним из условий, при которых стандартная гамильтонова процедура не работает. Хотя этот пример был мотивирован как приближение, рассматриваемый лагранжиан является законным и приводит к непротиворечивым уравнениям движения в лагранжевом формализме.

Однако, следуя гамильтоновой процедуре, канонические импульсы, связанные с координатами, теперь равны

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y}$

${\displaystyle p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,}$

которые необычны тем, что не обратимы к скоростям; вместо этого они ограничены тем, что являются функциями координат: четыре переменные фазового пространства линейно зависимы, поэтому базис переменных является переполненным .

Преобразование Лежандра затем дает гамильтониан

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x,y).}$

Заметим, что этот «наивный» гамильтониан не зависит от импульсов , а это означает, что уравнения движения (уравнения Гамильтона) несовместны.

Гамильтонова процедура не работает. Можно попытаться решить проблему, исключив два компонента четырехмерного фазового пространства, скажем, y и py _, до сокращенного двухмерного фазового пространства , которое иногда выражает координаты как импульсы, а иногда как координаты. Однако это не является ни общим, ни строгим решением. Это доходит до сути дела: определение канонических импульсов подразумевает ограничение на фазовое пространство (между импульсами и координатами), которое никогда не принималось во внимание.

Обобщенная гамильтонова процедура

В лагранжевой механике, если система имеет голономные ограничения , то для их учета к лагранжиану обычно добавляются множители Лагранжа . Дополнительные члены исчезают, когда ограничения выполняются, тем самым вынуждая путь стационарного действия находиться на поверхности ограничений. В этом случае переход к гамильтонову формализму вводит ограничение на фазовое пространство в гамильтоновой механике, но решение аналогичное.

Прежде чем продолжить, полезно понять понятия слабого равенства и сильного равенства . Две функции в фазовом пространстве, f и g , слабо равны, если они равны, когда ограничения удовлетворены, но не во всем фазовом пространстве , что обозначается f ≈ g . Если f и g равны независимо от выполняемых ограничений, они называются сильно равными и пишутся f = g . Важно отметить, что для получения правильного ответа нельзя использовать слабые уравнения перед вычислением производных или скобок Пуассона .

Новая процедура работает следующим образом: начните с лагранжиана и определите канонические импульсы обычным способом. Некоторые из этих определений могут быть необратимыми и вместо этого дают ограничение в фазовом пространстве (как указано выше). Ограничения, полученные таким образом или наложенные с самого начала задачи, называются первичными ограничениями . Ограничения, обозначенные φ _j , должны быть слабо равны нулю, φ _j ( p,q ) ≈ 0 .

Затем наивный гамильтониан H находится обычным способом с помощью преобразования Лежандра, точно так же, как в приведенном выше примере. Обратите внимание, что гамильтониан всегда можно записать только как функцию от q s и p s, даже если скорости нельзя обратить в функции импульсов.

Обобщение гамильтониана

Дирак утверждает, что мы должны обобщить гамильтониан (в некоторой степени аналогично методу множителей Лагранжа) на

${\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\approx H,}$

где c _j — не константы, а функции координат и импульсов. Поскольку этот новый гамильтониан является наиболее общей функцией координат и импульсов, слабо равной наивному гамильтониану, H ^* является самым широким возможным обобщением гамильтониана, так что δH * ≈ δH , когда δφ _j ≈ 0 .

Чтобы дополнительно прояснить cj , рассмотрим _, как можно получить уравнения движения из наивного гамильтониана в стандартной процедуре. Можно разложить вариацию гамильтониана двумя способами и приравнять их (используя несколько сокращенное обозначение с исключенными индексами и суммами):

${\displaystyle \delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}}\delta p-{\dot {p}}\delta q~,}$

где второе равенство выполняется после упрощения с помощью уравнений движения Эйлера-Лагранжа и определения канонического импульса. Из этого равенства выводятся уравнения движения в гамильтоновом формализме из

${\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p}}-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,}$

где символ слабого равенства больше не отображается явно, поскольку по определению уравнения движения выполняются лишь в слабой степени. В данном контексте нельзя просто установить коэффициенты при δq и δp по отдельности равными нулю, поскольку изменения в некоторой степени ограничены ограничениями. В частности, изменения должны быть касательными к поверхности ограничений.

Можно продемонстрировать, что решение

${\displaystyle \sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}$

для вариаций δq _n и δp _n , ограниченных ограничениями Φ _j ≈ 0 (при условии, что ограничения удовлетворяют некоторым условиям регулярности ), обычно ^[5]

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},}$

где u _m — произвольные функции.

Используя этот результат, уравнения движения принимают вид

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial q_{j}}}}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial p_{j}}}}$

${\displaystyle \phi _{j}(q,p)=0,}$

где uk — функции координат и скоростей, которые в принципе могут быть определены из второго уравнения движения, приведенного выше _.

Преобразование Лежандра между лагранжевым формализмом и гамильтоновым формализмом было сохранено за счет добавления новых переменных.

Условия согласованности

Уравнения движения становятся более компактными при использовании скобки Пуассона, поскольку если f — некоторая функция координат и импульсов, то

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB},}$

если предположить, что скобка Пуассона с _uk ( функцией скорости) существует; это не вызывает проблем, поскольку вклад слабо обращается в нуль. Итак, существуют некоторые условия согласованности, которые должны быть удовлетворены, чтобы этот формализм имел смысл. Если ограничения будут удовлетворены, то их уравнения движения должны слабо обращаться в нуль, т. е. мы требуем

${\displaystyle {\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

Вышеупомянутое может привести к четырем различным типам состояний:

1. Уравнение, которое по своей сути неверно, например 1=0 .
2. Уравнение, которое тождественно верно, возможно, после использования одного из наших основных ограничений.
3. Уравнение, которое накладывает новые ограничения на наши координаты и импульсы, но не зависит _от uk .
4. Уравнение, которое служит для _{определения} uk .

Первый случай указывает на то, что исходный лагранжиан дает противоречивые уравнения движения, такие как L = q . Второй случай не вносит ничего нового.

Третий случай дает новые ограничения в фазовом пространстве. Ограничение, полученное таким образом, называется вторичным ограничением . Найдя вторичное ограничение, следует добавить его к расширенному гамильтониану и проверить новые условия согласованности, что может привести к еще большему количеству ограничений. Повторяйте этот процесс до тех пор, пока ограничений не останется. Различие между первичными и вторичными ограничениями во многом искусственное (т. е. ограничение для одной и той же системы может быть первичным или вторичным в зависимости от лагранжиана), поэтому в данной статье они не различаются. Предполагая, что условие согласованности повторяется до тех пор, пока не будут найдены все ограничения, тогда φ _j проиндексирует их все. Обратите внимание, что в этой статье вторичное ограничение используется для обозначения любого ограничения, которого изначально не было в задаче или которое не было получено из определения канонических импульсов; некоторые авторы различают вторичные ограничения, третичные ограничения и т. д.

Наконец, последний случай помогает _{исправить} uk . Если в конце этого процесса uk не _{полностью} определены, то это означает наличие в системе нефизических (калибровочных) степеней свободы. После того как все ограничения (первичные и вторичные) добавлены к наивному гамильтониану и подставлены решения условий согласованности для uk, результат называется _полным гамильтонианом .

Определение Великобритания​

uk должен решать систему неоднородных линейных уравнений _вида

${\displaystyle \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

Приведенное выше уравнение должно иметь хотя бы одно решение, так как в противном случае исходный лагранжиан несовместен; однако в системах с калибровочными степенями свободы решение не будет единственным. Наиболее общее решение имеет вид

${\displaystyle u_{k}=U_{k}+V_{k},}$

где U _k — частное решение, а V _k — наиболее общее решение однородного уравнения

${\displaystyle \sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

Наиболее общим решением будет линейная комбинация линейно независимых решений приведенного выше однородного уравнения. Число линейно независимых решений равно числу uk ( _{которому} соответствует количество ограничений) минус количество условий совместности четвертого типа (в предыдущем подразделе). Это число нефизических степеней свободы в системе. Обозначая линейные независимые решения V _k ^a , где индекс a принимает значения от 1 до числа нефизических степеней свободы, общее решение условий совместности имеет вид

${\displaystyle u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a},}$

где v _a — совершенно произвольные функции времени. Другой выбор v a _{соответствует} калибровочному преобразованию и должен оставить физическое состояние системы неизменным. ^[6]

Полный гамильтониан

Здесь естественно ввести полный гамильтониан

${\displaystyle H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}}$

и что обозначается

${\displaystyle H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.}$

Временная эволюция функции в фазовом пространстве f определяется уравнением

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.}$

Позже вводится расширенный гамильтониан. Для калибровочно-инвариантных (физически измеримых величин) величин все гамильтонианы должны давать одинаковую временную эволюцию, поскольку все они слабо эквивалентны. Это различие становится важным только для некалибровочно-инвариантных величин.

Кронштейн Дирака

Выше приведено все необходимое для нахождения уравнений движения в модифицированной гамильтоновой процедуре Дирака. Однако наличие уравнений движения не является конечной точкой теоретических рассуждений. Если кто-то хочет канонически проквантовать общую систему, то нужны скобки Дирака. Прежде чем определять скобки Дирака, необходимо ввести ограничения первого и второго рода .

Назовем функцию f(q, p) координат и импульсов первого класса, если ее скобка Пуассона со всеми ограничениями слабо обращается в нуль, т. е.

${\displaystyle \{f,\phi _{j}\}_{PB}\approx 0,}$

для всех j . Обратите внимание, что единственные величины, которые слабо обращаются в нуль, — это ограничения φ _j , и поэтому все, что слабо обращается в нуль, должно быть строго равно линейной комбинации ограничений. Можно продемонстрировать, что скобка Пуассона двух первоклассных величин также должна быть первоклассной. Ограничения первого класса тесно связаны с упомянутыми ранее нефизическими степенями свободы. А именно, количество независимых ограничений первого рода равно числу нефизических степеней свободы, причем первичные ограничения первого рода порождают калибровочные преобразования. Дирак далее постулировал, что все вторичные ограничения первого класса являются генераторами калибровочных преобразований, что оказывается ложным; однако обычно при использовании этого подхода действуют в предположении, что все ограничения первого класса генерируют калибровочные преобразования. ^[7]

Когда вторичные ограничения первого класса добавляются в гамильтониан с произвольным v _a по мере добавления первичных ограничений первого класса для получения полного гамильтониана, тогда получается расширенный гамильтониан . Расширенный гамильтониан дает наиболее общую возможную временную эволюцию для любых калибровочно-зависимых величин и может фактически обобщать уравнения движения на основе уравнений лагранжева формализма.

Для целей введения скобки Дирака более непосредственный интерес представляют ограничения второго класса . Ограничения второго класса — это ограничения, которые имеют неисчезающую скобку Пуассона хотя бы с одним другим ограничением.

Например, рассмотрим ограничения второго рода φ ₁ и φ ₂ , скобка Пуассона которых является просто константой c ,

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.}$

Теперь предположим, что кто-то хочет использовать каноническое квантование, тогда координаты в фазовом пространстве становятся операторами, коммутаторы которых становятся в 1 раз больше их классической скобки Пуассона. Если предположить, что нет проблем с упорядочением, которые приводят к новым квантовым поправкам, это означает, что

${\displaystyle [{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar ~c,}$

где шляпы подчеркивают тот факт, что ограничения налагаются на операторов.

С одной стороны, каноническое квантование дает указанное выше соотношение коммутации, но с другой стороны, φ ₁ и φ ₂ являются ограничениями, которые должны исчезать на физических состояниях, тогда как правая часть не может обращаться в нуль. Этот пример иллюстрирует необходимость некоторого обобщения скобки Пуассона, учитывающего ограничения системы и приводящего к последовательной процедуре квантования. Эта новая скобка должна быть билинейной, антисимметричной, удовлетворять тождеству Якоби, как и скобка Пуассона, сводиться к скобке Пуассона для систем без ограничений и, кроме того, скобка любого ограничения второго рода с любой другой величиной должна обращаться в нуль .

На этом этапе ограничения второго класса будут обозначены как . Определите матрицу с записями ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{a}}$

${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.}$

В этом случае скобка Дирака двух функций в фазовом пространстве f и g определяется как

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde {\phi }}_{a}\}_{PB}M_{ab}^{-1}\{{\tilde {\phi }}_{b},g\}_{PB}~,}$

где M ⁻¹ _ab обозначает элемент ab обратной матрицы M. Дирак доказал, что М всегда будет обратимым .

Несложно проверить, что приведенное выше определение скобки Дирака удовлетворяет всем желаемым свойствам, особенно последнему свойству исчезновения для аргумента, который является ограничением второго рода.

При применении канонического квантования к гамильтоновой системе с ограничениями коммутатор операторов заменяется в iħ раз их классической скобкой Дирака . Поскольку скобка Дирака учитывает ограничения, не нужно тщательно оценивать все скобки перед использованием каких-либо слабых уравнений, как в случае со скобкой Пуассона.

Обратите внимание, что хотя скобка Пуассона бозонных (четных Грассмана) переменных сама с собой должна обращаться в нуль, скобка Пуассона фермионов, представленная как переменная Грассмана с самой собой, не обязательно должна обращаться в нуль. Это означает, что в фермионном случае возможно существование нечетного числа ограничений второго рода.

Иллюстрация к приведенному примеру

Возвращаясь к приведенному выше примеру, наивный гамильтониан и два основных ограничения имеют вид

${\displaystyle H=V(x,y)}$

${\displaystyle \phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\qquad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x.}$

Следовательно, расширенный гамильтониан можно записать

${\displaystyle H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left(p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).}$

Следующим шагом является применение условий согласованности { Φ _j , H ^* } _PB ≈ 0 , которые в этом случае становятся

${\displaystyle \{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0}$

${\displaystyle \{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\approx 0.}$

Это не вторичные ограничения, а условия, фиксирующие u ₁ и u ₂ . Следовательно, вторичных ограничений нет, а произвольные коэффициенты полностью определены, что указывает на отсутствие нефизических степеней свободы.

Если подключить значения u ₁ и u ₂ , то можно увидеть, что уравнения движения имеют вид

${\displaystyle {\dot {x}}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{x}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{y}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},}$

которые самосогласованы и совпадают с лагранжевыми уравнениями движения.

Простой расчет подтверждает, что φ ₁ и φ ₂ являются ограничениями второго класса, поскольку

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2},\phi _{1}\}_{PB}={\frac {qB}{c}},}$

следовательно, матрица выглядит так

${\displaystyle M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$

который легко конвертируется в

${\displaystyle M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab},}$

где ε _ab — символ Леви-Чивита . Таким образом, скобки Дирака определяются как

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _{a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.}$

Если вместо скобки Пуассона всегда использовать скобку Дирака, то не возникает проблем с порядком применения ограничений и вычисления выражений, поскольку скобка Дирака для всего, что слабо равно нулю, строго равна нулю. Это означает, что вместо этого можно просто использовать наивный гамильтониан со скобками Дирака, чтобы получить правильные уравнения движения, что можно легко подтвердить на основе приведенных выше.

Для квантования системы необходимы скобки Дирака между всеми переменными фазового пространства. Неисчезающие скобки Дирака для этой системы:

${\displaystyle \{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}}$

${\displaystyle \{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}}$

в то время как перекрестные члены исчезают, и

${\displaystyle \{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.}$

Следовательно, правильная реализация канонического квантования диктует коммутационные соотношения:

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}}$

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\frac {\hbar }{2}}}$

при этом перекрестные члены исчезают, и

${\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.}$

В этом примере имеется ненулевой коммутатор между ∧Икси ∧й, что означает, что эта структура определяет некоммутативную геометрию . (Поскольку две координаты не коммутируют, для положений x и y будет действовать принцип неопределенности .)

Дальнейшая иллюстрация гиперсферы

Аналогично, для свободного движения по гиперсфере Sn ограничены n + 1 координаты , x _i x ⁱ = ¹ . Из простого кинетического лагранжиана очевидно, что их импульсы перпендикулярны им, x _i p ⁱ = 0 . Таким образом, соответствующие скобки Дирака также легко вычислить: ^[8]

${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}_{DB}=0,}$

${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}_{DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},}$

${\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.}$

( 2 n + 1) переменные фазового пространства с ограничениями ( x _i , pi ₎ подчиняются гораздо более простым скобкам Дирака , чем 2 n переменных без ограничений, если бы одна из них исключила одну из x s и одну из p s через два ограничения ab initio, который будет подчиняться простым скобкам Пуассона. Скобки Дирака добавляют простоты и элегантности за счет чрезмерных (ограниченных) переменных фазового пространства.

Например, для свободного движения по окружности n = 1 для x ₁ ≡ z и исключение x ₂ из ограничения окружности дает неограниченный

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}~,}$

с уравнениями движения

${\displaystyle {\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,}$

колебание; тогда как эквивалентная система со связями с H = p ² /2 = E дает

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i}~,}$

${\displaystyle {\dot {p}}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=-x^{i}~p^{2}~,}$

откуда мгновенно, практически путем проверки, колебания обеих переменных,

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E~.}$

Смотрите также

• Каноническое квантование
• гамильтонова механика
• скобка Пуассона
• Кронштейн Мойал
• Ограничение первого класса
• Ограничения второго класса
• лагранжиан
• Симплектическая структура
• Переполненность

Рекомендации

1. Дирак, ПАМ (1950). «Обобщенная гамильтонова динамика». Канадский математический журнал . 2 : 129–014. дои : 10.4153/CJM-1950-012-1 . S2CID  119748805.
2. Дирак, Поль AM (1964). Лекции по квантовой механике. Серия монографий Белферской высшей школы наук. Том. 2. Высшая школа наук Белфера, Нью-Йорк. ISBN 9780486417134. МР  2220894.; Дувр, ISBN 0486417131 . 
3. См. стр. 48-58 гл. 2 в Энно, Марке и Тейтельбойме, Клаудио, Квантование калибровочных систем . Издательство Принстонского университета, 1992. ISBN 0-691-08775-X. 
4. Данн, Г.; Джекив, Р .; Пи, СЮ ; Тругенбергер, К. (1991). «Самодвойственные солитоны Черна-Саймонса и двумерные нелинейные уравнения». Физический обзор D . 43 (4): 1332–1345. Бибкод : 1991PhRvD..43.1332D. doi :10.1103/PhysRevD.43.1332. ПМИД  10013503.
5. См. стр. 8 в Henneaux и Teitelboim в ссылках.
6. Вайнберг, Стивен, Квантовая теория полей , Том 1. Издательство Кембриджского университета, 1995. ISBN 0-521-55001-7 
7. См. Энно и Тейтельбойм, страницы 18–19.
8. Корриган, Э.; Захос, СК (1979). «Нелокальные заряды для суперсимметричной σ-модели». Буквы по физике Б. 88 (3–4): 273. Бибкод : 1979PhLB...88..273C. дои : 10.1016/0370-2693(79)90465-9.