Электродинамическая деформация капли

Капли жидкости, взвешенные в жидкости, подвергающейся воздействию осциллирующего электрического поля

Схема периодической деформации капли между вытянутой и сплющенной формами из-за наличия осциллирующего электрического поля

Электрогидродинамическая деформация капли — это явление, которое происходит, когда капли жидкости, взвешенные во второй несмешивающейся жидкости, подвергаются воздействию осциллирующего электрического поля. В этих условиях капля будет периодически деформироваться между вытянутой и сплющенной эллипсоидальной формами. Характерная частота и величина деформации определяются балансом электродинамических, гидродинамических и капиллярных напряжений, действующих на интерфейс капли. Это явление было широко изучено как математически, так и экспериментально из-за сложной динамики жидкости , которая возникает. Характеристика и модуляция электродинамической деформации капли представляют особый интерес для инженерных приложений из-за растущей потребности в улучшении производительности сложных промышленных процессов (например, двухфазное охлаждение, ^[1] деэмульсация сырой нефти). Основное преимущество использования осциллирующей деформации капли для улучшения этих инженерных процессов заключается в том, что явление не требует сложного оборудования или введения источников тепла. Это фактически означает, что улучшение производительности посредством осциллирующей деформации капли является простым и никоим образом не снижает эффективность существующей инженерной системы.

Мотивация

Динамика теплопередачи в двухфазных двухкомпонентных системах потока регулируется динамическим поведением капель/пузырьков, которые впрыскиваются в циркулирующий поток охлаждающей жидкости. ^{[2] [3]} Впрыскиваемые пузырьки/капли обычно имеют меньшую плотность, чем охлаждающая жидкость, и, таким образом, испытывают направленную вверх силу плавучести . Они повышают тепловые характеристики систем охлаждения, поскольку, когда они всплывают вверх в нагретых трубах, охлаждающая жидкость вынуждена обтекать пузырьки/капли. Вторичный поток вокруг капель изменяет поток охлаждающей жидкости, создавая эффект квазисмешивания в объеме жидкости, который увеличивает теплопередачу от стенок труб к охлаждающей жидкости. Современные двухкомпонентные двухфазные системы охлаждения, такие как ядерные реакторы, контролируют скорость охлаждения, оптимизируя исключительно тип охлаждающей жидкости, скорость потока и скорость впрыска пузырьков/капель. Этот подход изменяет только настройки объемного потока и не предоставляет инженерам возможность управления или прямой модуляции механизмов, которые управляют динамикой теплопередачи. Создание колебаний в пузырьках/каплях является перспективным подходом к улучшению конвективного охлаждения, поскольку создает вторичные и третичные модели течения, которые могут улучшить теплопередачу без внесения значительного количества тепла в систему.

Электродинамическая деформация капель также представляет особый интерес при переработке сырой нефти как метод улучшения скорости отделения воды и солей от основной массы. В необработанном виде сырая нефть не может использоваться напрямую в промышленных процессах, поскольку присутствие солей может вызвать коррозию теплообменников и дистилляционного оборудования. Чтобы избежать загрязнения из-за этих примесей, необходимо сначала удалить соль, которая концентрируется во взвешенных каплях воды. Воздействие на партии сырой нефти как постоянного, так и переменного тока высоковольтных электрических полей вызывает деформацию капель, которая в конечном итоге заставляет капли воды объединяться в более крупные капли. Коалесценция капель улучшает скорость отделения воды от сырой нефти, поскольку скорость подъема сферы пропорциональна квадрату радиуса сферы. Это можно легко показать, рассмотрев силу тяжести, плавучесть и сопротивление потока Стокса . Сообщалось, что увеличение как амплитуды, так и частоты приложенных электрических полей может значительно увеличить отделение воды до 90%. ^[4]

Решение Тейлора 1966 года

Схема поля скорости, соответствующая аналитическому решению Тейлора для потока внутри и снаружи капли.

Решение Тейлора 1966 года ^[5] для внутреннего и внешнего потока сферы, вызванного электрическим полем, было первым, которое предоставило аргумент, который учитывал давление, вызванное потоком жидкости как внутри капли, так и во внешнем поле жидкости. В отличие от некоторых своих современников, Тейлор утверждал, что поверхностное натяжение и однородное внутреннее давление не могут уравновесить пространственно изменяющееся нормальное напряжение на границе раздела капли, которое было результатом наличия постоянного однородного электрического поля . Он утверждал, что для того, чтобы граница раздела капли оставалась в недеформированном состоянии при наличии электрического поля, должен быть поток жидкости как внутри, так и снаружи границы раздела капли. Он разработал решение для внутреннего и внешнего поля потока, используя подход функции потока, аналогичный подходу ползучего потока мимо сферы. ^[6] Тейлор подтвердил обоснованность своего решения, сравнив его с изображениями из исследований визуализации потока , которые наблюдали циркуляцию как внутри, так и снаружи границы раздела капли.

Решение Торзы

Решение Торзы 1971 года ^[7] для деформации капли в присутствии однородного, изменяющегося во времени электрического поля является наиболее широко используемой эталонной моделью для прогнозирования деформаций капель малой амплитуды. Подобно решению, разработанному Тейлором, Торза разработал решение для электродинамической деформации капли, рассматривая циркуляцию жидкости как внутри, так и снаружи интерфейса капли. Его решение является инновационным, поскольку оно выводит выражение для мгновенного коэффициента деформации капли, рассматривая отдельные подзадачи для вывода эффектов электрического напряжения, внутреннего гидродинамического напряжения , внешнего гидродинамического напряжения и поверхностного натяжения на интерфейсе капли. Коэффициент деформации капли D является величиной, которая выражает относительное расширение и сокращение вертикальных и горизонтальных размеров сферы.

  ${\displaystyle D={\frac {d_{1}-d_{2}}{d_{1}+d_{2}}}}$

Подзадача электрического напряжения формулируется путем определения полей электрического потенциала внутри и снаружи интерфейса капли, которые можно выразить в виде комплексных векторов с частотой колебаний в качестве наложенного электрического поля.

  ${\displaystyle V=|V|e^{i\omega t}}$

Поскольку Торза рассматривает жидкость внутри капли и снаружи капли как не имеющую чистого заряда, основное уравнение для подзадачи электрического напряжения сводится к закону Гаусса с пространственной плотностью заряда, равной нулю. Перевыражая электрическое поле через градиент электрического потенциала, основное электрическое уравнение сводится к уравнению Лапласа . Разделение переменных можно использовать для вывода решения этого уравнения в виде степенного ряда , умноженного на косинус полярного угла, взятого относительно направления электрического поля. Используя решения для величины электрических потенциалов внутри и снаружи капли, можно определить электрическое напряжение, создаваемое на границе пузырька/капли, используя определение тензора напряжений Максвелла и пренебрегая электрическим полем.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)}$

Стоит отметить, что поскольку электрическое поле имеет форму фазора, скалярное произведение и тензорное произведение электрического поля на себя, как это присутствует в тензоре напряжений Максвелла , приводят к удвоению частоты колебаний. Подзадача, которую решает Торза для определения полей скорости и гидродинамических напряжений, возникающих в результате электрического напряжения, имеет точно такую ​​же форму, как и та, которую Тейлор использовал для своего решения для стационарных электрических полей. В частности, Торза решает формулировку функции потока ротора уравнений Навье –Стокса в сферических координатах, принимая форму решения функции потока Тейлора и накладывая условия баланса напряжений на интерфейсе. Используя решение функции потока, Торза вывел аналитические выражения для полей скорости, которые можно использовать для вывода аналитических выражений для гидродинамического напряжения на интерфейсе для несжимаемых ньютоновских жидкостей .

${\displaystyle 0=\left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {1}{\sin(\theta )^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\right]^{2}\psi .}$

${\displaystyle \psi =\left[{\frac {C_{1}b^{4}}{r^{2}}}+C_{2}b^{2}+{\frac {C_{3}}{br^{3}}}+{\frac {C_{4}r^{5}}{b^{3}}})\right]\sin(\theta )^{2}\cos(\theta ).}$

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Чтобы включить эффект поверхностного натяжения в периодическую деформацию капли, Торза рассчитал разницу в электрических и гидродинамических напряжениях на границе раздела и использовал ее в качестве движущего напряжения в уравнении давления Лапласа. Это самое важное соотношение для этой системы, поскольку оно описывает механизм, посредством которого различия в напряжении на границе раздела капли могут вызывать деформацию, вызывая изменение главных радиусов кривизны.

${\displaystyle \Delta \tau _{rr}+\Delta \sigma _{rr}=\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$

Используя это соотношение между поверхностными давлениями в сочетании с геометрическими аргументами, выведенными Тейлором для малых деформаций, Торза смог вывести аналитическое выражение для коэффициента деформации как суммы постоянной составляющей и колеблющейся составляющей с частотой, которая в два раза превышает частоту наложенного электрического поля, как показано на рисунке.

${\displaystyle D={\frac {9\epsilon _{0}K_{2}}{16\gamma }}\phi (E_{0}^{2}b)+{\frac {9\epsilon _{0}K_{2}}{32\gamma }}{\frac {I\cos(2\omega t+\alpha )}{\sqrt {1+k^{2}\lambda ^{2}}}}(E_{0}^{2}b)}$

Важные термины, которые следует распознать в этом выражении, находятся в устойчивом члене, косинус в изменяющемся во времени члене и гамма в обоих членах. Член фи — это то, что Тейлор и Торза называют «дискриминирующей функцией», поскольку его значение определяет, будет ли капля стремиться проводить больше времени в вытянутой или сплющенной форме. Это функция всех свойств материала и частоты колебаний, но она полностью независима от времени. Изменяющийся во времени косинусный член показывает, что капля фактически колеблется с частотой, в два раза превышающей частоту наложенного электрического поля, но также, как правило, не совпадает по фазе из-за постоянного альфа-члена, который возникает из-за математики. Другие переменные — это константы, которые зависят от геометрических, электрических и термодинамических свойств соответствующих жидкостей в дополнение к частоте колебаний. ${\displaystyle \phi }$

В целом, очевидно, что величина деформации капли ограничена межфазным натяжением, представленным гаммой. По мере увеличения межфазного натяжения чистая величина уменьшается из-за увеличения капиллярных сил. Поскольку равновесная форма капли стремится к форме с минимальной энергией, большое значение межфазного натяжения стремится приблизить форму капли к сфере.

Безопасность и практические соображения

Хотя периодическая деформация капель широко изучается для ее практического промышленного применения, ее реализация создает значительные проблемы безопасности и физические ограничения из-за использования электрического поля. Чтобы вызвать периодическую деформацию капель с помощью электрического поля, необходимо применить электрическое поле чрезвычайно большой амплитуды. Научные исследования с использованием капель воды, взвешенных в силиконовом масле, требовали среднеквадратичных значений до 10^6 В/м. Даже при небольшом расстоянии между электродами этот тип поля требует электрических потенциалов более 500 В, что примерно в три раза больше напряжения на стене в Соединенных Штатах. Практически говоря, такое большое электрическое поле может быть достигнуто только в том случае, если расстояние между электродами очень мало (~ O(0,1 мм)) или если доступен высоковольтный усилитель. Именно по этой причине большинство исследований этого явления в настоящее время проводятся в исследовательских лабораториях с использованием трубок малого диаметра; трубки такого размера фактически присутствуют в промышленных системах охлаждения, таких как ядерные реакторы.

Ссылки

1. Кадзи НН, Мори ЙХ, Точитани ЙЙ. Электрически индуцированное колебание формы капель как средство улучшения теплопередачи при прямом контакте: Часть 2 — Теплопередача. J. Heat Transfer. 1988;110(3):700-704.
2. S. Mostafa Ghiaasiaan. Двухфазный поток, кипение и конденсация: в обычных и миниатюрных системах. 2008. Cambridge University Press
3. Такааки Мочизуки. Периодическая деформация микрокапель в микроканале, вызванная поперечным переменным электрическим полем. Ленгмюр 2013 29 (41)
4. Бёнг-Юн Ким, Джун Хёк Мун, Тэ-Хён Сун, Сынг-Ман Ян, Чон-Дук Ким. Деэмульгация эмульсий вода-в-сырой нефти с помощью электростатического дегидратора непрерывного действия. Наука и технология разделения. Т. 37, Вып. 6, 2002
5. Г. Тейлор. (1966). Исследования по электрогидродинамике. I. Циркуляция, создаваемая в капле электрическим полем. Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки.
6. Пиджуш К. Кунду, Айра М. Коэн. Механика жидкости. 2010. Academic Press
7. S. Torza, RG Cox и SG Mason "Электрогидродинамическая деформация и взрыв капель жидкости" Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 18 февраля 1971 г. 269 1198 295-319