stringtranslate.com

Расширенная действительная числовая прямая

Расширенные действительные числа (вверху) против проективно расширенных действительных чисел (внизу)

В математике расширенная система действительных чисел [a] получается из действительной системы чисел путем добавления двух элементов, обозначенных и [b], которые соответственно больше и меньше любого действительного числа. Это позволяет рассматривать потенциальные бесконечности бесконечно возрастающих последовательностей и бесконечно убывающих рядов как фактические бесконечности . Например, бесконечная последовательность натуральных чисел бесконечно возрастает и не имеет верхней границы в действительной системе чисел (потенциальная бесконечность); в расширенной прямой действительных чисел последовательность имеет в качестве своей наименьшей верхней границы и в качестве своего предела (действительная бесконечность). В исчислении и математическом анализе использование и в качестве фактических пределов значительно расширяет возможные вычисления. [1] Это пополнение Дедекинда–МакНейла действительных чисел.

Расширенная система действительных чисел обозначается или [2]. Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как [2].

Существует также отдельная проективно расширенная вещественная линия , где и не различаются, т.е. существует одна актуальная бесконечность как для бесконечно возрастающих последовательностей, так и для бесконечно убывающих последовательностей, которая обозначается просто как или как .

Мотивация

Пределы

Расширенная числовая прямая часто полезна для описания поведения функции , когда аргумент или значение функции становятся "бесконечно большими" в некотором смысле. Например, рассмотрим функцию, определенную как

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при Геометрически, при движении все дальше вправо вдоль оси -, значение стремится к 0 . Это предельное поведение похоже на предел функции , в которой действительное число приближается за исключением того, что нет действительного числа, которое приближается при бесконечном увеличении. Присоединение элементов и к позволяет определить "пределы на бесконечности", которые очень похожи на обычное определение пределов, за исключением того, что заменяется на (для ) или (для ). Это позволяет доказать и записать

Измерение и интеграция

В теории меры часто бывает полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры возникают естественным образом из исчисления. Например, при назначении меры , которая согласуется с обычной длиной интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Также при рассмотрении несобственных интегралов , таких как

возникает значение "бесконечность". Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например,

Если бы функции не принимали бесконечные значения, такие существенные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Расширенная система действительных чисел , определяемая как или , может быть превращена в полностью упорядоченное множество , определяя для всех С этой топологией порядка , обладает желаемым свойством компактности : Каждое подмножество имеет супремум и инфимум [ 3] (инфимум пустого множества равен , а его супремум равен ). Более того, с этой топологией , гомеоморфно единичному интервалу Таким образом, топология метризуема , соответствуя (для заданного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая является расширением обычной метрики на

В этой топологии множество является окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторого действительного числа Понятие окрестности можно определить аналогично. Используя эту характеристику расширенно-действительных окрестностей, пределы, стремящиеся к или , и пределы, «равные» и , сводятся к общему топологическому определению пределов — вместо того, чтобы иметь специальное определение в системе действительных чисел.

Арифметические операции

Арифметические операции можно частично расширить следующим образом: [2]

Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы степеней . Здесь означает и то, и то , а означает и то , и то

Выражения и (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила смоделированы на основе законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как [4]

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности , которая сходится к обратной последовательности , в конечном итоге содержится в каждой окрестности , неверно , что сама последовательность должна сходиться либо к , либо . Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении , то не обязательно, что стремится либо к , либо в пределе, когда стремится к . Это имеет место для пределов функции тождества , когда стремится к и (для последней функции ни , ни не является пределом , даже если рассматриваются только положительные значения ).

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определить Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами часто определяется как обратная величина предела-супремума последовательности . Таким образом, если разрешить взять значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, есть предел-супремум или нет.

Алгебраические свойства

С арифметическими операциями, определенными выше, не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае. Однако у него есть несколько удобных свойств:

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения.

Разнообразный

Несколько функций можно непрерывно расширять , взяв пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:

Некоторые сингулярности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно продолжена до (при некоторых определениях непрерывности), установив значение для и для и С другой стороны, функция не может быть непрерывно продолжена, поскольку функция приближается как приближается снизу , и как приближается сверху, т. е. функция не сходится к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к тому же элементу области как со стороны положительного, так и отрицательного значения.

Похожая, но другая система вещественной прямой, проективно расширенная вещественная прямая , не различает и (т. е. бесконечность беззнакова). [5] В результате функция может иметь предел на проективно расширенной вещественной прямой, в то время как в расширенной вещественной системе чисел предел имеет только абсолютное значение функции, например, в случае функции при С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и одному слева соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и не могут быть сделаны непрерывными при на проективно расширенной вещественной прямой.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Некоторые авторы используют аффинно-расширенную систему действительных чисел и аффинно-расширенную прямую действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную прямую .
  2. ^ Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.

Ссылки

  1. ^ Уилкинс, Дэвид (2007). "Раздел 6: Расширенная система действительных чисел" (PDF) . maths.tcd.ie . Получено 2019-12-03 .
  2. ^ abc Weisstein, Eric W. "Affinely Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .
  3. ^ Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Chapman and Hall/CRC. стр. 74. ISBN 9781498761147. Получено 8 декабря 2019 г. .
  4. ^ "расширенное действительное число в nLab". ncatlab.org . Получено 2019-12-03 .
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Projectively Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .

Дальнейшее чтение