Диагональная форма

Тип однородного многочлена

В математике диагональная форма — это алгебраическая форма ( однородный многочлен ) без перекрестных членов, содержащих различные неопределенные . То есть, она имеет вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{x_{i}}^{m}\ }$

для некоторой степени м .

Такие формы F и гиперповерхности F = 0, которые они определяют в проективном пространстве , являются очень специальными в геометрических терминах, со многими симметриями. Они также включают в себя известные случаи, такие как кривые Ферма , и другие примеры, хорошо известные в теории диофантовых уравнений .

Многое было разработано в области их теории: алгебраическая геометрия , локальные дзета-функции через суммы Якоби , метод кругов Харди-Литтлвуда .

Диагонализация

Любой однородный многочлен степени 2 можно преобразовать в диагональную форму путем подстановки переменных. ^[1] Однородные многочлены более высокой степени можно диагонализировать тогда и только тогда, когда их каталектикант не равен нулю.

Этот процесс особенно прост для форм второй степени ( квадратичных форм ), основанных на собственных значениях симметричной матрицы, представляющей квадратичную форму.

Примеры

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0}$это единичная окружность в P ²

${\displaystyle X^{2}-Y^{2}-Z^{2}=0}$— единичная гипербола в P ² .

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=0}$дает кубическую поверхность Ферма в P ³ с 27 линиями. 27 линий в этом примере легко описать явно: это 9 линий вида ( x  : ax  : y  : by ), где a и b — фиксированные числа с кубом −1, и их 18 сопряженных при перестановках координат.

${\displaystyle x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0}$дает поверхность K3 в P ³ .

Ссылки

1. Малликин, Чад АС «Диагонализация квадратичных форм» (PDF) .