Многообразие Финслера

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , многообразие Финслера — это дифференцируемое многообразие $M$ , где (возможно, асимметричная ) норма Минковского $F (x, -)$ обеспечивается на каждом касательном пространстве $T x M$ , что позволяет определить длину любой гладкой кривой. $γ : [a, b] \to M$ как

L(\gamma)=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t), {\dot {\gamma }}(t)\right)\,\mathrm {d} т.

Финслеровы многообразия являются более общими, чем римановы многообразия, поскольку касательные нормы не обязательно должны быть индуцированы скалярными произведениями .

Каждое финслерово многообразие становится внутренним квазиметрическим пространством, если расстояние между двумя точками определяется как минимальная длина соединяющих их кривых.

Эли Картан (1933) назвал финслеровые многообразия в честь Пола Финслера , который изучал эту геометрию в своей диссертации (Finsler 1918).

Определение

Финслерово многообразие — это дифференцируемое многообразие $M$ вместе с финслеровой метрикой , которая представляет собой непрерывную неотрицательную функцию $F : TM \to [0, +\infty),$ определенную на касательном расслоении так, что для каждой точки $x$ из $M$ ,

$F (v + w) \leq F (v) + F (w)$ для каждых двух векторов $v, w$ , касающихся $M$ в точке $x$ ( субаддитивность ).
$F (λ v) = λ F (v)$ для всех $λ \geq 0$ (но не обязательно для $λ < 0)$ ( положительная однородность ).
$F (v) > 0,$ если только $v = 0$ ( положительная определенность ).

Другими словами, $F (x, -)$ является асимметричной нормой в каждом касательном пространстве $T x M$ . Финслерова метрика $F$ также должна быть гладкой , точнее:

$F$ гладко на дополнении к нулевомусечению $TM .$

Тогда аксиому субаддитивности можно заменить следующим сильным условием выпуклости :

Для каждого касательного вектора $v \neq 0$ матрица Гессе F $2$ в $точке$ $v$ положительно определена .

Здесь гессиан $F 2$ в точке $v$ представляет собой симметричную билинейную форму

\mathbf {g} _{v}(X,Y):={\frac {1}{2}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t }}\left[F(v+sX+tY)^{2}\right]\right|_{s=t=0},

также известный как фундаментальный тензор F в $v$ $.$ Сильная выпуклость $F$ подразумевает субаддитивность со строгим неравенством, если $ты$ $⁄$ $F$ $($ $ты$ $)$ $\neq$ $v$ $⁄$ $F$ $($ $v$ $)$ . Если $F$ сильно выпукло, то это норма Минковского в каждом касательном пространстве. $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

Финслерова метрика обратима, если, кроме того,

$F (- v) знак равно F (v)$ для всех касательных векторов v .

Обратимая метрика Финслера определяет норму (в обычном смысле) на каждом касательном пространстве.

Примеры

Гладкие подмногообразия (включая открытые подмножества) нормированного векторного пространства конечной размерности являются финслеровыми многообразиями, если норма векторного пространства гладкая вне начала координат.
Римановы многообразия (но не псевдоримановы многообразия ) являются частными случаями финслеровых многообразий.

Многообразия Рандерса

Пусть – риманово многообразие , а b – дифференциальная форма на M с $(М,а)$

\|b\|_{a}:={\sqrt {a^{ij}b_{i}b_{j}}}<1,

где – обратная матрица и используются обозначения Эйнштейна . Затем $\left(a^{ij}\right)$ $(a_{ij})$

F(x,v):={\sqrt {a_{ij}(x)v^{i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}

определяет метрику Рандерса на M и является многообразием Рандерса , частным случаем необратимого финслерового многообразия. ^[1] $(M,F)$

Гладкие квазиметрические пространства

Пусть ( M , d ) — квазиметрика, так что M также является дифференцируемым многообразием , а d совместимо с дифференциальной структурой M в следующем смысле:

Вокруг любой точки z на M существует гладкая карта ( U , φ) M и константа C ≥ 1 такая, что для любых x , y ∈ U
${\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi ( х)\|.$
Функция d : M × M → [0, ∞] гладкая в некоторой проколотой окрестности диагонали.

Тогда можно определить функцию Финслера F : TM →[0, ∞] следующим образом:

F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},

где γ — любая кривая в M с γ (0) = x и γ' (0) = v. Полученная таким образом функция Финслера F ограничивается асимметричной (обычно не Минковской) нормой в каждом касательном пространстве M . Индуцированная внутренняя метрика d _L : M × M → [0, ∞] исходной квазиметрики может быть восстановлена из

d_{L}(x,y):=\inf \left\{\ \left.\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma ( 1)=y\ \вправо\},

и фактически любая финслерова функция F : TM → [0, ∞) определяет внутреннюю квазиметрику d _L на M по этой формуле.

Геодезика

Ввиду однородности F длина

L[\gamma ]:=\int _{a}^{b}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt

дифференцируемой кривой γ : [ a , b ] → M в M инвариантна относительно положительно ориентированных перепараметризаций . Кривая постоянной скорости γ является геодезической финслерова многообразия, если ее достаточно короткие отрезки γ | _{[ c , d ]} минимизируют длину в M от γ ( c ) до γ ( d ). Эквивалентно, γ является геодезической, если она стационарна для функционала энергии

E[\gamma ]:={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(т)\вправо)\,дт

в том смысле, что его функциональная производная обращается в нуль среди дифференцируемых кривых γ : [ a , b ] → M с фиксированными концами γ ( a ) = x и γ ( b ) = y .

Каноническая структура распыления на коллекторе Финслера

Уравнение Эйлера-Лагранжа для функционала энергии E [ γ ] читается в локальных координатах ( x ^{1 ,}... , x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) TM как

g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0,

где k = 1,..., n и g _ij — координатное представление фундаментального тензора, определяемое как

g_{ij}(x,v):=g_{v}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{x},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{x}\right).

Предполагая сильную выпуклость F ² ( x , v ) относительно v ∈ T _x M , матрица g _ij ( x , v ) обратима, а ее обратная обозначается g ^ij ( x , v ). Тогда γ : [ a , b ] → M является геодезической к ( M , F ) тогда и только тогда, когда ее касательная кривая γ' : [ a , b ] → TM ∖ {0} является интегральной кривой гладкого векторного поля H на TM ∖ {0}, локально определяемом формулой

\left.H\right|_{(x,v)}:=\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)},

где локальные коэффициенты распыления G ⁱ определяются выражением

G^{i}(x,v):={\frac {1}{4}}g^{ij}(x,v)\left(2{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{\ell }}}(x,v)-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{j}}}(x,v)\right)v^{k}v^{\ell }.

Векторное поле H на TM ∖ {0} удовлетворяет условиям JH = V и [ V , H ] = H , где J и V — канонический эндоморфизм и каноническое векторное поле на TM ∖ {0}. Следовательно, по определению H является спреем на M . Спрей H задает нелинейную связность на расслоении TM ∖ {0} → M через вертикальную проекцию

v:T(\mathrm {T} M\setminus \{0\})\to T(\mathrm {T} M\setminus \{0\});\quad v:={\frac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.

По аналогии с римановым случаем существует версия

D_{\dot {\gamma }}D_{\dot {\gamma }}X(t)+R_{\dot {\gamma }}\left({\dot {\gamma }}(t),X(t)\right)=0

уравнения Якоби для общей структуры распыления ( M , H ) в терминах кривизны Эресмана и нелинейной ковариантной производной .

Единственность и минимизирующие свойства геодезических.

По теореме Хопфа–Ринова всегда существуют кривые, минимизирующие длину (по крайней мере, в достаточно малых окрестностях) на ( M , F ). Кривые, минимизирующие длину, всегда можно положительно перепараметризовать, чтобы они стали геодезическими, и любая геодезическая должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа для E [ γ ]. В предположении сильной выпуклости F ² существует единственная максимальная геодезическая γ с γ (0) = x и γ' (0) = v для любого ( x , v ) ∈ TM ∖ {0} в силу единственности интегральных кривых .

Если F ² сильно выпукла, геодезические γ : [0, b ] → M минимизируют длину среди близлежащих кривых до тех пор, пока первая точка γ ( s ) не будет сопряжена с γ (0) вдоль γ , и при t > s всегда существуют более короткие кривые от γ (0) до γ ( t ) вблизи γ , как в римановом случае.

Примечания

^ Рандерс, Г. (1941). «Об асимметричной метрике в четырёхпространстве общей теории относительности». Физ. Откр. 59 (2): 195–199. дои : 10.1103/PhysRev.59.195. hdl : 10338.dmlcz/134230 .

Смотрите также

Банахово многообразие - Многообразие, смоделированное на банаховых пространствах.
Многообразие Фреше - топологическое пространство, смоделированное на основе пространства Фреше во многом так же, как многообразие моделируется на основе евклидова пространства.
Глобальный анализ - который использует гильбертовы многообразия и другие виды бесконечномерных многообразий.
Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.

Внешние ссылки

«Финслерово пространство, обобщенное», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
(Новый) информационный бюллетень Finsler