Фурье-анализ

Отделение математики

Тактовый сигнал открытой струны ля бас-гитары (55 Гц).

Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары ноты ля открытой струны (55 Гц). Анализ Фурье выявляет колебательные составляющие сигналов и функций .

В математике анализ Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , -i ər / ) ^[1] представляет собой исследование того, как общие функции могут быть представлены или аппроксимированы суммами более простых тригонометрических функций . Анализ Фурье вырос из изучения рядов Фурье и назван в честь Жозефа Фурье , который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплопередачи .

Предмет анализа Фурье охватывает широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные составляющие часто называют анализом Фурье, а операцию восстановления функции из этих частей — синтезом Фурье . Например, определение того, какие частоты компонентов присутствуют в музыкальной ноте, потребует вычисления преобразования Фурье выбранной музыкальной ноты. Затем можно было повторно синтезировать тот же звук, включив в него частотные компоненты, как показано в анализе Фурье. В математике термин анализ Фурье часто относится к изучению обеих операций.

Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье . Его результату, преобразованию Фурье , часто присваивается более конкретное имя, которое зависит от области определения и других свойств преобразуемой функции. Более того, первоначальная концепция анализа Фурье со временем была расширена и стала применяться ко все более и более абстрактным и общим ситуациям, а общая область часто известна как гармонический анализ . Каждое преобразование , используемое для анализа (см. список преобразований, связанных с Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое можно использовать для синтеза.

Чтобы использовать анализ Фурье, данные должны быть расположены на равном расстоянии друг от друга. Для анализа неравномерно разнесенных данных были разработаны различные подходы, в частности методы спектрального анализа наименьших квадратов (LSSA), которые используют метод наименьших квадратов синусоиды для выборок данных, аналогичный анализу Фурье. ^{[2] [3]} Анализ Фурье, наиболее используемый спектральный метод в науке, обычно усиливает долгопериодический шум в записях с длинными промежутками; LSSA смягчает такие проблемы. ^[4]

Приложения

Анализ Фурье имеет множество научных применений – в физике , уравнениях в частных производных , теории чисел , комбинаторике , обработке сигналов , цифровой обработке изображений , теории вероятностей , статистике , криминалистике , ценообразовании опционов , криптографии , численном анализе , акустике , океанографии , гидролокаторе , оптике , дифракции . , геометрия , анализ структуры белков и другие области.

Такая широкая применимость обусловлена ​​многими полезными свойствами преобразований:

• Преобразования являются линейными операторами и при правильной нормализации также унитарные (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем смысле, как теорема Планшереля и, чаще всего, через двойственность Понтрягина ). ^[5]
• Преобразования обычно обратимы.
• Показательные функции являются собственными функциями дифференцирования , а это означает, что данное представление преобразует линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обыкновенные алгебраические. ^[6] Следовательно, поведение линейной стационарной системы можно анализировать на каждой частоте независимо.
• Согласно теореме о свертке , преобразования Фурье превращают сложную операцию свертки в простое умножение, а это означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления операций на основе свертки, таких как фильтрация сигналов, полиномиальное умножение и умножение больших чисел . ^[7]
• Дискретную версию преобразования Фурье (см. ниже) можно быстро оценить на компьютерах с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). ^[8]

В криминалистике лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ преобразования Фурье для измерения длин волн света, при которых материал будет поглощать инфракрасный спектр. Метод FT используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длине волны. А с помощью компьютера эти вычисления Фурье выполняются быстро, так что за считанные секунды управляемый компьютером FT-IR прибор может создать картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с картиной призменного прибора. ^[9]

Преобразование Фурье также полезно для компактного представления сигнала. Например, при сжатии JPEG используется вариант преобразования Фурье ( дискретное косинусное преобразование ) небольших квадратных кусочков цифрового изображения. Компоненты Фурье каждого квадрата округляются для снижения арифметической точности , а слабые компоненты полностью исключаются, так что оставшиеся компоненты можно хранить очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения заново собирается из сохраненных приближенных компонентов, преобразованных Фурье, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения аппроксимации исходного изображения.

При обработке сигналов преобразование Фурье часто принимает временной ряд или функцию непрерывного времени и отображает его в частотный спектр . То есть функция переносит функцию из временной области в частотную область; это разложение функции на синусоиды разных частот; в случае ряда Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоиды представляют собой гармоники основной частоты анализируемой функции.

Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал , преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. Величина результирующей комплексной функции на частоте представляет собой амплитуду частотной составляющей, начальная фаза которой задается углом ( полярных координат). ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(f)}$

Преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Их в равной степени можно применять для анализа пространственных частот практически для любой функциональной области. Это оправдывает их использование в таких разнообразных областях, как обработка изображений , теплопроводность и автоматическое управление .

При обработке сигналов, таких как звук , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать узкополосные компоненты составного сигнала, концентрируя их для облегчения обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обратного преобразования. ^[10]

Вот некоторые примеры:

• Эквализация аудиозаписей с помощью ряда полосовых фильтров ;
• Цифровой радиоприем без супергетеродинной схемы, как в современном сотовом телефоне или радиосканере ;
• Обработка изображений для удаления периодических или анизотропных артефактов, таких как неровности из чересстрочного видео , полосовые артефакты из полосовых аэрофотоснимков или волновые узоры из-за радиочастотных помех в цифровой камере;
• Взаимная корреляция похожих изображений для совпадения;
• Рентгеновская кристаллография для восстановления кристаллической структуры по дифракционной картине;
• Масс -спектрометрия ионного циклотронного резонанса с Фурье-преобразованием для определения массы ионов по частоте циклотронного движения в магнитном поле;
• Многие другие формы спектроскопии, включая инфракрасную и ядерно-магнитно-резонансную спектроскопию;
• Генерация звуковых спектрограмм , используемых для анализа звуков;
• Пассивный гидролокатор , используемый для классификации целей на основе шума оборудования.

Варианты анализа Фурье

Преобразование Фурье и три вариации, вызванные периодической выборкой (в интервале T) и/или периодическим суммированием (в интервале P) базовой функции во временной области. Относительная вычислительная простота последовательности ДПФ и понимание S ( f ) делают ее популярным инструментом анализа.

(Непрерывное) Преобразование Фурье

Чаще всего неквалифицированный термин «преобразование Фурье» относится к преобразованию функций непрерывного действительного аргумента и создает непрерывную функцию частоты, известную как частотное распределение . Одна функция преобразуется в другую, и операция обратима. Когда областью определения входной (начальной) функции является время ( t ), а областью определения выходной (конечной) функции является обычная частота , преобразование функции s ( t ) на частоте f задается комплексным числом :

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

Оценка этой величины для всех значений f дает функцию частотной области . Тогда s ( t ) можно представить как рекомбинацию комплексных экспонент всех возможных частот:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

что является формулой обратного преобразования. Комплексное число S ( f ) передает как амплитуду, так и фазу частоты f .

См. Преобразование Фурье для получения дополнительной информации, в том числе:

• соглашения о нормализации амплитуды и масштабировании/единицах частоты
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций
• расширение/обобщение функций нескольких измерений, таких как изображения.

ряд Фурье

Преобразование Фурье периодической функции s _P ( t ) с периодом P становится гребенчатой ​​функцией Дирака , модулированной последовательностью комплексных коэффициентов :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где ∫ _P — интеграл по любому интервалу длины P ).

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье , представляет собой представление s _P ( t ) в виде суммирования потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоид или комплексных экспоненциальных функций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, заданную одним из коэффициентов:

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Любое s _P ( t ) может быть выражено как периодическое суммирование другой функции, s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

а коэффициенты пропорциональны выборкам S ( f ) на дискретных интервалах1/п:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[А]

Обратите внимание, что любой s ( t ) , преобразование которого имеет те же значения дискретной выборки, может использоваться в периодическом суммировании. Достаточным условием для восстановления s ( t ) (и, следовательно, S ( f ) ) только из этих выборок (т. е. из ряда Фурье) является то, что ненулевая часть s ( t ) ограничивается известным интервалом продолжительности P , что является двойственной теоремой выборки Найквиста-Шеннона в частотной области .

См. ряд Фурье для получения дополнительной информации, включая историческое развитие.

Дискретное преобразование Фурье (DTFT)

DTFT является математическим двойником ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящаяся периодическая сумма в частотной области может быть представлена ​​рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками связанной функции непрерывного времени:

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

который известен как DTFT. Таким образом, DTFT последовательности s [ n ] также является преобразованием Фурье модулированной гребенчатой ​​функции Дирака . ^[Б]

Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование) определяются следующим образом:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

Параметр T соответствует интервалу дискретизации, и этот ряд Фурье теперь можно признать формой формулы суммирования Пуассона . Таким образом, мы получили важный результат: когда дискретная последовательность данных s [ n ] пропорциональна выборкам базовой непрерывной функции s ( t ) , можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье S ( f ) . Обратите внимание, что любое s ( t ) с одинаковыми значениями дискретной выборки дает одно и то же DTFT. Но при определенных идеализированных условиях теоретически можно точно восстановить S ( f ) и s ( t ) . Достаточным условием идеального восстановления является то, что ненулевая часть S ( f ) ограничивается известным частотным интервалом шириной1/Т. Когда этот интервал равен [−1/2 Т,1/2 Т] , применимой формулой восстановления является интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона . Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов .

Другая причина интереса к S _{1/ T} ( f ) заключается в том, что он часто дает представление о величине сглаживания , вызванного процессом выборки.

Применение DTFT не ограничивается выборочными функциями. Дополнительную информацию по этой и другим темам см. в разделе «Преобразование Фурье с дискретным временем» , в том числе:

• нормированные единицы частоты
• оконное управление (последовательности конечной длины)
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Подобно ряду Фурье, DTFT периодической последовательности с периодом становится гребенчатой ​​функцией Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов (см. DTFT § Периодические данные ): ${\displaystyle s_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где Σn _— сумма по любой последовательности длины N ).

Последовательность S [ k ] — это то , что обычно называют ДПФ одного цикла s _N. Он также является N -периодическим, поэтому никогда не требуется вычислять более N коэффициентов. Обратное преобразование, также известное как дискретный ряд Фурье , определяется формулой:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   где Σk _— сумма по любой последовательности длины N.

Когда s _N [ n ] выражается как периодическое суммирование другой функции:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   и   ^[С] ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

коэффициенты пропорциональны выборкам S _{1/ T} ( f ) на дискретных интервалах1/п"="1/НТ:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[Д]

И наоборот, когда кто-то хочет вычислить произвольное количество ( N ) дискретных выборок одного цикла непрерывного ДВПФ, S _{1/ T} ( f ) , это можно сделать путем вычисления относительно простого ДПФ s N _[ n ] , как определено выше. В большинстве случаев N выбирается равным длине ненулевой части s [ n ] . Увеличение N , известное как заполнение нулями или интерполяция , приводит к более близко расположенным выборкам одного цикла S _{1/ T} ( f ) . Уменьшение N вызывает перекрытие (добавление) во временной области (аналогично сглаживанию ), что соответствует прореживанию в частотной области. (см. раздел «Преобразование Фурье дискретного времени» L=N×I ). В большинстве случаев, представляющих практический интерес, последовательность s [ n ] представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена применением оконной функции конечной длины или массива КИХ-фильтров .

ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.

См. раздел «Дискретное преобразование Фурье» для получения дополнительной информации, в том числе:

• трансформировать свойства
• Приложения
• табличные преобразования конкретных функций

Краткое содержание

Для периодических функций и преобразование Фурье, и DTFT содержат только дискретный набор частотных компонентов (ряд Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одной из распространенных практик (не обсуждавшихся выше) является обработка этого расхождения с помощью дельта-функций Дирака и гребенчатых функций Дирака . Но одну и ту же спектральную информацию можно различить только по одному циклу периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Точно так же функции конечной длительности могут быть представлены в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является простым артефактом.

На практике обычно продолжительность s (•) ограничивается периодом P или N. Но эти формулы не требуют этого условия.

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно однозначное соответствие между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного преобразования частоты: ^[11]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Отсюда выявляются различные зависимости, например:

• Преобразование действительной функции ( s _RE + s _RO ) представляет собой четную симметричную функцию S _RE + i S _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции ( i s _IE + i s _IO ) представляет собой нечетную симметричную функцию S _RO + i S _IE , и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции ( s _RE + i s _IO ) является действительной функцией S _RE + S _RO , и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( s _RO + i s _IE ) является мнимозначной функцией i S _IE + i S _IO , и обратное верно.

История

Ранняя форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике , где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений). ^{[12] [13] [14] [15]}

Классические греческие концепции деферента и эпицикла в системе астрономии Птолемея были связаны с рядами Фурье (см. Деферент и эпицикл § Математический формализм ).

В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 году для вычисления орбиты, ^[16] которое было описано как первая формула для ДПФ, ^[17] и в 1759 году Жозефом Луи Лагранжем при вычислении орбиты. коэффициенты тригонометрического ряда для колеблющейся струны. ^[17] Технически работа Клеро представляла собой косинусный ряд (разновидность дискретного косинусного преобразования ), а работа Лагранжа представляла собой только синусоидальный ряд (разновидность дискретного синусоидального преобразования ); истинное косинус+синусное ДПФ было использовано Гауссом в 1805 году для тригонометрической интерполяции орбит астероидов . ^[18] Эйлер и Лагранж дискретизировали проблему вибрирующей струны, используя то, что сегодня назвали бы выборками. ^[17]

Ранним современным развитием анализа Фурье стала статья Лагранжа «Reflexions sur la resolution algébrique des équations» 1770 года , в которой в методе резольвент Лагранжа использовалось сложное разложение Фурье для изучения решения кубики: ^[19] Лагранж преобразовал корни x ₁ , x ₂ , x ₃ на резольвенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

где ζ — кубический корень из единицы , который является ДПФ порядка 3.

Ряд авторов, в частности Жан ле Рон д'Аламбер и Карл Фридрих Гаусс , использовали тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности , ^[20], но прорывным достижением стала статья 1807 года « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les Corps Solides» Жозефа . Фурье , чья решающая идея состояла в том, чтобы смоделировать все функции тригонометрическими рядами, введя ряд Фурье.

Историки разделились во мнениях относительно того, насколько следует отдать должное Лагранжу и другим за разработку теории Фурье: Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер ввели тригонометрические представления функций, а Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, поэтому вклад Фурье заключался главным образом в смелое утверждение, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье. ^[17]

Последующее развитие этой области известно как гармонический анализ , а также является ранним примером теории представлений .

Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был обнаружен около 1805 года Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юнона и Паллада , хотя именно этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывают его современным переоткрывателям Кули и Тьюки . ^{[18] [16]}

Преобразования время-частота

С точки зрения обработки сигналов , функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но не имеет информации о времени.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье при частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, содержащей некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте - в соответствии с принципом неопределенности между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , преобразование Габора или дробное преобразование Фурье (FRFT), или могут использоваться различные функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразованиях и лирплетных преобразованиях , с аналоговым вейвлетом. (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывным вейвлет-преобразованием .

Преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах

Варианты Фурье также могут быть обобщены на преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах , которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции группы в функции двойственной группы. Эта трактовка также позволяет сформулировать общую формулировку теоремы о свертке , которая связывает преобразования Фурье и свертки . См. также двойственность Понтрягина для получения обобщенной основы преобразования Фурье.

Более конкретно, анализ Фурье можно проводить на смежных классах, ^[21] даже на дискретных смежных классах.

Смотрите также

• Сопряженный ряд Фурье
• Обобщенный ряд Фурье
• Ряд Фурье – Бесселя
• Преобразования, связанные с Фурье
• Преобразование Лапласа (LT)
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Меллина
• Неравномерное дискретное преобразование Фурье (NDFT)
• Квантовое преобразование Фурье (QFT)
• Теоретико-числовое преобразование
• Базисные векторы
• Биспектр
• Характеристическая функция (теория вероятностей)
• Ортогональные функции
• Пространство Шварца
• Спектральная плотность
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная музыка
• функция Уолша
• Вейвлет

Примечания

1. ${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$
2. Мы также можем отметить, что:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

   Следовательно, общепринятой практикой является моделирование «выборки» как умножения на гребенчатую функцию Дирака , что, конечно, «возможно» только в чисто математическом смысле.
   
   
3. Обратите внимание, что это определение намеренно отличается от раздела DTFT в T фактор . Это упрощает таблицу « преобразований». Альтернативно, можно определить так: в этом случае ${\displaystyle s(nT)}$ ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle T\cdot s(nT),}$ ${\displaystyle S[k]=S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$
4. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s([n-mN]T)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}=\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\triangleq \,{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)}}$

Рекомендации

1. «Фурье». Dictionary.com Полный (онлайн). nd
2. Джафер Ибаноглу (2000). Переменные звезды как важнейшие астрофизические инструменты. Спрингер. ISBN 0-7923-6084-2.
3. Д. Скотт Бирни; Дэвид Оспер; Гильермо Гонсалес (2006). Наблюдательная астрономия. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-85370-2.
4. Пресс (2007). Численные рецепты (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
5. Рудин, Уолтер (1990). Анализ Фурье на группах . Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-52364-2.
6. Эванс, Л. (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество. ISBN 978-3-540-76124-2.
7. Кнут, Дональд Э. (1997). Искусство компьютерного программирования. Том 2: Получисловые алгоритмы (3-е изд.). Аддисон-Уэсли Профессионал. Раздел 4.3.3.C: Дискретные преобразования Фурье, стр. 305. ISBN 978-0-201-89684-8.
8. Конте, С.Д.; де Бур, Карл (1980). Элементарный численный анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: ISBN McGraw Hill, Inc. 978-0-07-066228-5.
9. Саферштейн, Ричард (2013). Криминалистика: Введение в судебную медицину .
10. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси. ISBN 9780139141010.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
11. Проакис, Джон Г.; Манолакис, Дмитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Нью-Джерси: Prentice-Hall International, стр. 291, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
12. Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира. Биркхойзер. п. 62. ИСБН 978-0-8176-4125-2.
13. Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Недискретные мысли. Биркхойзер. п. 11. ISBN 978-0-8176-3866-5.
14. Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности. Том. 9 (2-е изд.). Дуврские публикации . стр. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. ПМИД  14884919. {{cite book}}: |journal=игнорируется ( помощь )
15. Брэк-Бернсен, Лис ; Брэк, Матиас (2004). «Анализ структуры раковины от Вавилона до наших дней». Международный журнал современной физики Э. 13 (1): 247. arXiv : Physics/0310126 . Бибкод : 2004IJMPE..13..247B. дои : 10.1142/S0218301304002028. S2CID  15704235.
16. Террас, Одри (1999). Анализ Фурье конечных групп и приложения . Издательство Кембриджского университета . стр. 30-32. ISBN 978-0-521-45718-7.
17. Бриггс, Уильям Л.; Хенсон, Ван Эмден (1995). ДПФ: Руководство пользователя дискретного преобразования Фурье. СИАМ. стр. 2–4. ISBN 978-0-89871-342-8.
18. Хайдеман, Монтана; Джонсон, Д.Х.; Буррус, CS (1984). «Гаусс и история быстрого преобразования Фурье». Журнал IEEE ASSP . 1 (4): 14–21. дои : 10.1109/MASSP.1984.1162257. S2CID  10032502.
19. Кнапп, Энтони В. (2006). Базовая алгебра. Спрингер. п. 501. ИСБН 978-0-8176-3248-9.
20. Нарасимхан, Теннесси (февраль 1999 г.). «Уравнение теплопроводности Фурье: история, влияние и связи». Обзоры геофизики . 37 (1): 151–172. Бибкод : 1999RvGeo..37..151N. CiteSeerX 10.1.1.455.4798 . дои : 10.1029/1998RG900006. ISSN  1944-9208. OCLC  5156426043. S2CID  38786145. 
21. Форрест, Брайан. (1998). Анализ Фурье в смежных пространствах. Математический журнал Роки Маунтин. 28. 10.1216/rmjm/1181071828.

дальнейшее чтение

• Хауэлл, Кеннет Б. (2001). Принципы анализа Фурье . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-8275-8.
• Камен, EW; Черт возьми, BS (2 марта 2000 г.). Основы сигналов и систем с использованием Интернета и Matlab (2-е изд.). Прентисс-Холл. ISBN 978-0-13-017293-8.
• Мюллер, Мейнард (2015). Коротко о преобразовании Фурье (PDF) . Спрингер. В «Основах обработки музыки», раздел 2.1, стр. 40–56. дои : 10.1007/978-3-319-21945-5. ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID  8691186. Архивировано (PDF) из оригинала 8 апреля 2016 г.
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Смит, Стивен В. (1999). Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (второе изд.). Сан-Диего: Калифорнийское техническое издательство. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• Штейн, Э.М.; Вайс, Г. (1971). Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08078-9.

Внешние ссылки

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• Интуитивное объяснение теории Фурье Стивена Легара.
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 6 посвящена 1- и 2-D преобразованиям Фурье. В лекциях 7–15 он используется. Автор: Алан Питерс.
• Мориарти, Филип; Боули, Роджер (2009). «Σ-суммирование (и анализ Фурье)». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
• Введение в анализ Фурье временных рядов на Medium