Теодор Франкель (17 июня 1929 г. — 5 августа 2017 г.) [1] — математик, сформулировавший теорему Андреотти–Френкеля и гипотезу Франкеля .
Франкель получил степень доктора философии в Калифорнийском университете в Беркли в 1955 году. Его научным руководителем был Харли Фландерс . [2] Почетный профессор математики Калифорнийского университета в Сан-Диего , Франкель был давним членом Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . Он известен своими работами в области глобальной дифференциальной геометрии , теории Морзе и теории относительности . Он присоединился к математическому факультету Калифорнийского университета в Сан-Диего в 1965 году, до этого работая на факультетах Стэнфордского университета и Университета Брауна .
В 1930-х годах Джон Синг установил то, что сейчас известно как теорема Синга , применив формулу второй вариации для длины дуги к минимальной петле. Франкель адаптировал метод Синга к многомерным объектам. Как следствие, он смог доказать, что при задании положительно искривленной римановой метрики на замкнутом многообразии любые два полностью геодезических компактных подмногообразия должны пересекаться, если их размерности достаточно велики. Идея состоит в том, чтобы применить метод Синга к минимизирующей геодезической между двумя подмногообразиями. Используя тот же подход, Франкель доказал, что комплексные подмногообразия положительно искривленных кэлеровых многообразий должны пересекаться, если их размерности достаточно велики. Эти результаты были позже расширены Сэмюэлем Голдбергом и Сёсити Кобаяши , чтобы допустить положительность голоморфной бисекционной кривизны. [3]
Вдохновленные работой Рене Тома , Франкель и Альдо Андреотти дали новое доказательство теоремы Лефшеца о гиперплоскости, используя теорию Морса . Суть аргумента заключается в алгебраическом факте, что собственные значения действительной части комплексной квадратичной формы должны встречаться парами вида ± z . Это становится актуальным в контексте теоремы Лефшеца, рассматривая функцию Морса, заданную расстоянием до фиксированной точки. Анализ второго порядка в критических точках немедленно подкрепляется вышеприведенным алгебраическим анализом, а явления исчезновения гомологии следуют через неравенства Морса . [4]
Учитывая векторное поле Киллинга, для которого соответствующая однопараметрическая группа изометрий действует голоморфными отображениями , Франкель использовал формулу Картана, чтобы показать, что внутреннее произведение векторного поля с формой Кэлера замкнуто. Предполагая, что первое число Бетти равно нулю, теорема де Рама применяется для построения функции, критические точки которой совпадают с нулями векторного поля. Анализ второго порядка в критических точках показывает, что множество нулей векторного поля является невырожденным критическим многообразием для функции. Следуя за развитием теории Морса для критических многообразий Раулем Боттом , Франкель смог установить, что числа Бетти многообразия полностью кодируются числами Бетти критических многообразий вместе с индексом его функции Морса вдоль этих многообразий. Эти идеи Франкеля позже были важны для работ Майкла Атьи и Найджела Хитчина , среди прочих. [5] [6]
Статьи
Учебники