Формулы Френе-Серре

Пространственная кривая; векторы $T, N, B$ ; и соприкасающаяся плоскость, образованная $T$ и $N.$

В дифференциальной геометрии формулы Френе–Серре описывают кинематические свойства частицы, движущейся вдоль дифференцируемой кривой в трехмерном евклидовом пространстве , или геометрические свойства самой кривой независимо от какого-либо движения. Более конкретно, формулы описывают производные так называемых касательных, нормальных и бинормальных единичных векторов в терминах друг друга. Формулы названы в честь двух французских математиков, которые независимо друг от друга их открыли: Жана Фредерика Френе в его диссертации 1847 года и Жозефа Альфреда Серре в 1851 году. Векторная нотация и линейная алгебра, которые в настоящее время используются для записи этих формул, еще не были доступны во время их открытия. $\mathbb {R} ^{3},$

Касательные, нормальные и бинормальные единичные векторы, часто называемые $T$ , $N$ и $B$ , или совместно системой Френе-Серре ( система TNB или базис TNB ), вместе образуют ортонормированный базис , который охватывает и определяется следующим образом: $\mathbb {R} ^{3},$

$T$ — единичный вектор, касательный к кривой, указывающий направление движения.
$N$ — нормальный единичный вектор, производная $T$ по параметру длины дуги кривой, деленная на ее длину.
$B$ $—$ бинормальный единичный вектор,векторное произведение Tи $N.$

Формулы Френе-Серре таковы: где — производная по длине дуги, $κ$ — кривизна , а $τ$ — кручение пространственной кривой. (Интуитивно понятно, что кривизна измеряет неспособность кривой быть прямой линией, в то время как кручение измеряет неспособность кривой быть плоской.) Базис $TNB$ в сочетании с двумя скалярами , $κ$ и $τ$ , совместно называется аппаратом Френе-Серре . ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} {\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac { \mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$ ${\tfrac {d}{ds}}$

Определения

Векторы $T$ и $N$ в двух точках на плоской кривой

  Переводная версия второго кадра.

  Изменение $T : δ T'$ .
$δs$ — расстояние между точками. В пределе будет в направлении $N$ , а кривизна описывает скорость вращения рамки. ${\tfrac {d\mathbf {T} {ds}}$

Пусть $r (t)$ — кривая в евклидовом пространстве , представляющая вектор положения частицы как функцию времени. Формулы Френе–Серре применяются к кривым, которые являются невырожденными , что примерно означает, что они имеют ненулевую кривизну . Более формально, в этой ситуации вектор скорости $r'(t)$ и вектор ускорения $r''(t)$ должны быть не пропорциональны.

Пусть $s (t)$ представляет собой длину дуги , которую частица прошла по кривой за время $t$ . Величина $s$ используется для придания кривой, вычерченной траекторией частицы, естественной параметризации длиной дуги (т. е. параметризации длины дуги ), поскольку множество различных траекторий частиц могут вычерчивать одну и ту же геометрическую кривую, пересекая ее с разной скоростью. Подробно, $s$ задается как Более того, поскольку мы предположили, что $r$ $' \neq 0$ , следует, что $s$ $($ $t$ $)$ является строго монотонно возрастающей функцией. Следовательно, можно решить для $t$ как функции $s$ и, таким образом, записать $r$ $($ $s$ $) =$ $r$ $($ $t$ $($ $s$ $))$ . Таким образом, кривая параметризуется предпочтительным образом длиной ее дуги. $s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .$

С помощью невырожденной кривой $r (s)$ , параметризованной длиной дуги, теперь можно определить систему координат Френе–Серре (или систему координат $TNB$ ):

Касательный единичный вектор $T$ определяется как $\mathbf {T} := {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} {\mathrm {d} s}}.$
Нормальный единичный вектор $N$ определяется как , из которого следует, поскольку $T$ всегда имеет единичную величину , что $N$ (изменение $T$ ) всегда перпендикулярно $T$ , поскольку нет никакого изменения длины $T$ . Обратите внимание, что, вызывая кривизну, мы автоматически получаем первое соотношение. $\mathbf {N}:={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} {\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} {\mathrm {d} s}}\right\|},$ $\kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} {\mathrm {d} s}}\right\|$

Бинормальный единичный вектор $B$ $определяется$ как векторное произведение T и $N$ : $\mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,$

Рамка Френе-Серре, движущаяся по спирали .

T

представлена синей стрелкой,

N

представлена красной стрелкой, а

B

представлена черной стрелкой.

откуда следует, что $B$ всегда перпендикулярен как $T$ , так и $N.$ Таким образом, три единичных вектора $T, N, B$ перпендикулярны друг другу.

Формулы Френе-Серре следующие:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} {\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\ frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac { \mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

где $κ$ — кривизна , а $τ$ — кручение .

Формулы Френе–Серре также известны как теорема Френе–Серре и могут быть сформулированы более кратко с использованием матричной записи: ^[1] ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}} = {\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\ -\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}} .$

Эта матрица кососимметрична .

Формулы внразмеры

Формулы Френе–Серре были обобщены на многомерные евклидовы пространства Камиллом Жорданом в 1874 году.

Предположим, что $r (s)$ — гладкая кривая в и что первые $n$ производных $r$ линейно независимы. ^[2] Векторы в системе Френе–Серре представляют собой ортонормированный базис, построенный путем применения процесса Грама-Шмидта к векторам $($ $r$ $'($ $s$ $),$ $r$ $''($ $s$ $), ...,$ $r$ $($ $n$ $)$ $($ $s$ $))$ . $\mathbb {R} ^{n},$

Более подробно, единичный касательный вектор является первым вектором Френе $e 1 (s)$ и определяется как

$\mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}$

где

${\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)$

Нормальный вектор , иногда называемый вектором кривизны , указывает на отклонение кривой от прямой линии. Он определяется как ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)$

Его нормализованная форма, единичный нормальный вектор , является вторым вектором Френе $e 2 (s)$ и определяется как

$\mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}$

Касательная и нормальный вектор в точке $s$ определяют соприкасающуюся плоскость в точке $r (s)$ .

Остальные векторы в системе координат (бинормаль, тринормаль и т.д.) определяются аналогично:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}

Последний вектор в кадре определяется перекрестным произведением первых $n - 1$ векторов: $\mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)$

Действительные функции, используемые ниже $χ i (s),$ называются обобщенной кривизной и определяются как

$\chi _{i}(s)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle }{\|\mathbf {r} '(s)\|}}$

Формулы Френе-Серре , изложенные на матричном языке, имеют вид

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(s)\|\cdot {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}$

Обратите внимание, что, как определено здесь, обобщенные кривизны и рамка могут немного отличаться от соглашения, найденного в других источниках. Верхняя кривизна $χ n -1$ (также называемая кручением, в этом контексте) и последний вектор в рамке $e n$ отличаются знаком

$\operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)$

(ориентация базиса) от обычного кручения. Формулы Френе–Серре инвариантны относительно смены знака как $χ n -1$ , так и $e n$ , и эта смена знака делает систему положительно ориентированной. Как определено выше, система наследует свою ориентацию от струи $r$ .

Доказательство формул Френе-Серре

Первая формула Френе-Серре верна по определению нормали $N$ и кривизны $κ$ , а третья формула Френе-Серре верна по определению кручения $τ$ . Таким образом, нужно показать вторую формулу Френе-Серре.

Так как $T, N, B$ являются ортогональными единичными векторами с $B = T \times N$ , то также имеем $T = N \times B$ и $N = B \times T.$ Дифференцирование последнего уравнения по $s$ дает

${\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)$

Используя это , и это становится ${\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N}$ ${\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}$

Это как раз вторая формула Френе-Серре.

Приложения и интерпретация

Кинематика рамы

Система отсчета Френе–Серре, движущаяся по винтовой линии в пространстве.

Система Френе–Серре, состоящая из касательной $T$ , нормали $N$ и бинормали $B,$ совместно образует ортонормальный базис 3-мерного пространства. В каждой точке кривой это присоединяет систему отсчета или прямолинейную систему координат (см. изображение).

Формулы Френе–Серре допускают кинематическую интерпретацию. Представьте себе, что наблюдатель движется вдоль кривой во времени, используя прикрепленную в каждой точке систему координат. Формулы Френе–Серре означают, что эта система координат постоянно вращается по мере движения наблюдателя вдоль кривой. Следовательно, эта система координат всегда неинерциальна . Момент импульса системы координат наблюдателя пропорционален вектору Дарбу системы координат.

Конкретно, предположим, что наблюдатель несет (инерциальный) волчок ( или гироскоп ) с собой вдоль кривой. Если ось волчка указывает вдоль касательной к кривой, то будет наблюдаться его вращение вокруг своей оси с угловой скоростью -τ относительно неинерциальной системы координат наблюдателя. Если, с другой стороны, ось волчка указывает в бинормальном направлении, то будет наблюдаться его вращение с угловой скоростью -κ. Это легко визуализировать в случае, когда кривизна является положительной константой, а кручение исчезает. Тогда наблюдатель находится в равномерном круговом движении . Если волчок указывает в направлении бинормали, то в силу сохранения момента импульса он должен вращаться в направлении, противоположном круговому движению. В предельном случае, когда кривизна исчезает, нормаль наблюдателя прецессирует вокруг касательного вектора, и аналогично волчок будет вращаться в направлении, противоположном этой прецессии.

Ниже проиллюстрирован общий случай. Дополнительные иллюстрации можно найти на Wikimedia.

Приложения

Кинематика рамы имеет множество применений в науке.

В науках о жизни , особенно в моделях движения микробов, рассмотрение системы Френе-Серре использовалось для объяснения механизма, посредством которого движущийся организм в вязкой среде изменяет свое направление. ^[3]
В физике система Френе–Серре полезна, когда невозможно или неудобно назначить естественную систему координат для траектории. Так часто бывает, например, в теории относительности . В этой обстановке системы Френе–Серре использовались для моделирования прецессии гироскопа в гравитационном колодце. ^[4]

Графические иллюстрации

Пример движущегося базиса Френе ( $T$ — синий, $N$ — зеленый, $B$ — фиолетовый) вдоль кривой Вивиани .

На примере торического узла показаны касательный вектор $T$ , нормальный вектор $N$ и бинормальный вектор $B$ , а также кривизна $κ (s)$ и кручение $τ (s)$
. На пиках функции кручения отчетливо видно вращение системы координат Френе–Серре $(T, N, B)$ вокруг касательного вектора.

Кинематическое значение кривизны лучше всего иллюстрируется на примере плоских кривых (имеющих постоянное кручение, равное нулю). См. страницу о кривизне плоских кривых .

Формулы Френе – Серре в исчислении

Формулы Френе-Серре часто вводятся в курсы по многомерному исчислению в качестве дополнения к изучению пространственных кривых, таких как спираль . Спираль может быть охарактеризована высотой $2π h$ и радиусом $r$ одного витка. Кривизна и кручение спирали (с постоянным радиусом) определяются формулами ${\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}$

Знак кручения определяется правым или левым направлением , в котором спираль закручивается вокруг своей центральной оси. Явно параметризация одного витка правой спирали с высотой $2π h$ и радиусом $r$ равна и, для левой спирали, Обратите внимание, что это не параметризации длины дуги (в этом случае каждый из $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ должен быть разделен на .) ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}$ ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

В своих пояснительных работах по геометрии кривых Руди Рукер ^[5] использует модель пружины- пружинки для объяснения значения кручения и кривизны. Пружина-пружинка, говорит он, характеризуется тем свойством, что ее величина остается постоянной, если пружина вертикально растянута вдоль ее центральной оси. (Здесь $2π$ $h$ — высота одного оборота пружины-пружинки, а $r —$ радиус.) В частности, кривизна и кручение являются дополнительными в том смысле, что кручение может быть увеличено за счет кривизны путем растягивания пружины-пружинки. $A^{2}=h^{2}+r^{2}$

разложение Тейлора

Многократное дифференцирование кривой и применение формул Френе-Серре дает следующую аппроксимацию Тейлора для кривой вблизи $s = 0,$ если кривая параметризована длиной дуги: ^[6] $\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

Для общей кривой с ненулевым кручением проекции кривой на различные координатные плоскости в системе координат $T, N, B$ при s = 0 имеют следующие интерпретации:

Соприкасающаяся плоскость — это плоскость, содержащая $T$ и $N.$ Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: Это парабола с точностью до членов порядка $O$ $($ $s$ $2$ $)$ , кривизна которой в точке 0 равна $κ$ $(0)$ . Соприкасающаяся плоскость обладает особым свойством: расстояние от кривой до соприкасающейся плоскости равно $O$ $($ $s$ $3$ $)$ , в то время как расстояние от кривой до любой другой плоскости не лучше, чем $O$ $($ $s$ $2$ $)$ . Это можно увидеть из приведенного выше разложения Тейлора. Таким образом, в некотором смысле соприкасающаяся плоскость является ближайшей плоскостью к кривой в данной точке. $\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$
Нормальная плоскость — это плоскость, содержащая $N$ и $B.$ Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая является каспидальной кубикой порядка $o$ $($ $s$ $3$ $)$ . $\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$
Выпрямляющая плоскость — это плоскость, содержащая $T$ и $B.$ Проекция кривой на эту плоскость имеет вид: которая вычерчивает график кубического полинома порядка $o$ $($ $s$ $3$ $)$ . $\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$

Ленты и трубки

Лента, определяемая кривой постоянного кручения и сильно осциллирующей кривизной. Параметризация длины дуги кривой была определена посредством интегрирования уравнений Френе-Серре.

Аппарат Френе-Серре позволяет определить некоторые оптимальные ленты и трубки, центрированные вокруг кривой. Они имеют разнообразные приложения в материаловедении и теории упругости , ^[7] а также в компьютерной графике . ^[8]

Лента Френе ^[9] вдоль кривой $C$ — это поверхность, вычерченная путем заметания отрезка $[- N, N],$ образованного единичной нормалью вдоль кривой. Эту поверхность иногда путают с развертывающейся касательной , которая является огибающей $E$ соприкасающихся плоскостей $C$ . Возможно, это связано с тем, что и лента Френе, и $E$ демонстрируют схожие свойства вдоль $C$ . А именно, касательные плоскости обоих листов $E$ , вблизи особого места $C$ , где эти листы пересекаются, приближаются к соприкасающимся плоскостям $C$ ; касательные плоскости ленты Френе вдоль $C$ равны этим соприкасающимся плоскостям. Лента Френе в общем случае не является развертывающейся.

Совпадение кривых

В классической евклидовой геометрии изучается свойство фигур на плоскости, которое инвариантно относительно конгруэнтности, так что если две фигуры конгруэнтны, то они должны иметь те же свойства. Аппарат Френе-Серре представляет кривизну и кручение как числовые инварианты пространственной кривой.

Грубо говоря, две кривые $C$ и $C'$ в пространстве конгруэнтны , если одну можно жестко переместить в другую. Жесткое движение состоит из комбинации переноса и вращения. Перенос перемещает одну точку $C$ в точку $C'$ . Затем вращение изменяет ориентацию кривой $C$ так, чтобы она совпадала с ориентацией $C'$ . Такая комбинация переноса и вращения называется евклидовым движением . В терминах параметризации $r (t),$ определяющей первую кривую $C$ , общее евклидово движение $C$ является составной частью следующих операций:

( Перевод ) $r (t) \to r (t) + v$ , где $v$ — постоянный вектор.
( Вращение ) $r (t) + v \to M (r (t) + v)$ , где $M$ — матрица вращения.

Система Френе–Серре особенно хорошо себя ведет в отношении евклидовых движений. Во-первых, поскольку $T$ , $N$ и $B$ могут быть заданы как последовательные производные параметризации кривой, каждая из них нечувствительна к добавлению постоянного вектора к $r (t)$ . Интуитивно, система $TNB,$ прикрепленная к $r (t),$ совпадает с системой $TNB$ , прикрепленной к новой кривой $r (t) + v$ .

Остается рассмотреть только вращения. Интуитивно, если мы применим вращение $M$ к кривой, то система $TNB$ также повернется. Точнее, матрица $Q$ , строки которой являются векторами $TNB$ системы Френе–Серре, изменяется на матрицу вращения

$Q\rightarrow QM.$

Тем более , матрица не подвержена вращению: ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$

${\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }$

поскольку $MM T = I$ для матрицы вращения.

Следовательно , элементы $κ$ и $τ$ являются инвариантами кривой относительно евклидовых движений: если к кривой применяется евклидово движение, то полученная кривая имеет ту же кривизну и кручение. ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$

Более того, используя систему Френе–Серре, можно доказать и обратное: любые две кривые, имеющие одинаковые функции кривизны и кручения, должны быть конгруэнтны относительно евклидова движения. Грубо говоря, формулы Френе–Серре выражают производную Дарбу системы $TNB$ . Если производные Дарбу двух систем равны, то версия фундаментальной теоремы исчисления утверждает, что кривые конгруэнтны. В частности, кривизна и кручение являются полным набором инвариантов для кривой в трех измерениях.

Другие выражения кадра

Формулы, приведенные выше для $T$ , $N$ и $B,$ зависят от кривой, заданной в терминах параметра длины дуги. Это естественное предположение в евклидовой геометрии , поскольку длина дуги является евклидовым инвариантом кривой. В терминологии физики параметризация длины дуги является естественным выбором калибровки . Однако на практике с ней может быть неудобно работать. Доступно множество других эквивалентных выражений.

Предположим, что кривая задана $r (t)$ , где параметр $t$ больше не должен быть длиной дуги. Тогда единичный касательный вектор $T$ может быть записан как

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

Нормальный вектор $N$ принимает вид

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \left(\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right)}{\left\|\mathbf {r} '(t)\right\|\,\left\|\mathbf {r} ''(t)\times \mathbf {r} '(t)\right\|}}$

Тогда бинормаль $B равна$

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}$

Альтернативный способ получить те же выражения — взять первые три производные кривой $r'(t), r''(t), r'''(t)$ и применить процесс Грама-Шмидта . Полученный упорядоченный ортонормированный базис — это в точности $TNB-$ фрейм. Эта процедура также обобщается для создания фреймов Френе в более высоких измерениях.

В терминах параметра $t$ формулы Френе-Серре получают дополнительный множитель $|| r'(t)||$ из-за цепного правила :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}$

Явные выражения для кривизны и кручения могут быть вычислены. Например,

$\kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}$

Кручение можно выразить с помощью скалярного тройного произведения следующим образом:

$\tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}$

Особые случаи

Если кривизна всегда равна нулю, то кривая будет прямой линией. Здесь векторы $N, B$ и кручение не определены.

Если кручение всегда равно нулю, то кривая будет лежать в плоскости.

Кривая может иметь ненулевую кривизну и нулевое кручение. Например, окружность радиуса R $,$ заданная формулой $r (t) = (R cos t, R sin t, 0)$ в плоскости $z = 0,$ имеет нулевое кручение и кривизну, равную $1/ R$ . Обратное, однако, неверно. То есть, регулярная кривая с ненулевым кручением должна иметь ненулевую кривизну. Это просто контрапозитив того факта, что нулевая кривизна подразумевает нулевое кручение.

Спираль имеет постоянную кривизну и постоянное кручение .

Плоские кривые

Если кривая содержится в плоскости $xy$ , то ее касательный вектор и главный единичный нормальный вектор также будут лежать в плоскости $xy$ . В результате единичный бинормальный вектор перпендикулярен плоскости $xy$ и, таким образом, должен быть либо , либо . По правилу правой руки $B$ будет , если при взгляде сверху траектория кривой поворачивает влево, и будет , если она поворачивает вправо. В результате кручение $τ$ всегда будет равно нулю, а формула для кривизны $κ$ становится ${\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle$ $\mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}$ $\mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}$ $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$ $\langle 0,0,1\rangle$ $\langle 0,0,-1\rangle$ $\langle 0,0,1\rangle$ $\langle 0,0,-1\rangle$ ${\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}$
$\kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}$

Смотрите также

Примечания

^ Кюнель 2002, §1.9
^ Только первые $n - 1$ фактически должны быть линейно независимыми, так как последний оставшийся вектор кадра $e n$ может быть выбран как единичный вектор, ортогональный к размаху остальных, так что результирующий кадр будет положительно ориентирован.
^ Креншоу (1993).
^ Айер и Вишвешвара (1993).
^ Ракер, Руди (1999). «Наблюдение за полетом мух: кривые пространства Каппатау». Университет штата Сан-Хосе. Архивировано из оригинала 15 октября 2004 г.
^ Кюнель 2002, стр. 19
^ Горели и др. (2006).
^ Хансон.
^ Терминологию см. в Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. стр. 252-254. ISBN 9780135271506..

Ссылки

Креншоу, ХК; Эдельштейн-Кешет, Л. (1993), «Ориентация с помощью винтового движения II. Изменение направления оси движения», Бюллетень математической биологии , 55 (1): 213–230, doi :10.1016/s0092-8240(05)80070-9, S2CID 50734771
Этген, Гаррет; Хилле, Эйнар; Салас, Сатурнино (1995), Исчисление Саласа и Хилле — одна и несколько переменных (7-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 896
Френе, Ф. (1847), Sur les Courbes à Double Courbure (PDF) , Тез, Тулуза. Аннотация в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852 г.
Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Модели упругого роста", BIOMAT-2006 (PDF) , Springer-Verlag, архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2006.
Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и подвижных фреймов в применении к вопросам единственности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi :10.1215/S0012-7094-74-04180-5, S2CID 12966544.
Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
Хансон, А. Дж. (2007), «Кватернионные рамки Френе: создание оптимальных трубок и лент из кривых» (PDF) , Технический отчет Университета Индианы
Айер, BR; Вишвешвара, CV (1993), «Описание гироскопической прецессии по Френе-Серре», Phys. Rev. , D, 48 (12): 5706–5720, arXiv : gr-qc/9310019 , Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I, doi : 10.1103/physrevd.48.5706, PMID 10016237, S2CID 119458843
Джордан, Камилла (1874), «Sur la theorie des courbes dans l'espace à n Dimensions», CR Acad. наук. Париж , 79 : 795–797 .
Кюнель, Вольфганг (2002), Дифференциальная геометрия , Студенческая математическая библиотека, т. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2656-0, г-н 1882174
Серре, Ж. А. (1851), «Sur quelques formules родственники à la theorie des Courbes à Double Courbure» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 16.
Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том второй) , Publish or Perish, Inc..
Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис-Холл
Struik, Dirk J. (1961), Лекции по классической дифференциальной геометрии , Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley.

Внешние ссылки

Создайте собственные анимированные иллюстрации движущихся рамок Френе-Серре, функций кривизны и кручения ( рабочий лист Maple )
Статья Руди Ракера «KappaTau».
Очень хорошее визуальное представление трехгранника.