дифракция Френеля

Дифракция

В оптике уравнение дифракции Френеля для дифракции в ближнем поле является приближением дифракции Кирхгофа–Френеля , которое может быть применено к распространению волн в ближнем поле . ^[1] Оно используется для расчета дифракционной картины, создаваемой волнами, проходящими через отверстие или вокруг объекта, при наблюдении с относительно близкого расстояния от объекта. Напротив, дифракционная картина в дальней зоне задается уравнением дифракции Фраунгофера .

Ближнее поле может быть определено числом Френеля , F , оптической схемы. Когда дифрагированная волна считается находящейся в поле Фраунгофера. Однако справедливость интеграла дифракции Френеля выводится из приближений, полученных ниже. В частности, фазовые члены третьего порядка и выше должны быть пренебрежимо малы, условие, которое можно записать как ${\displaystyle F\ll 1}$

$${\displaystyle {\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,}$$

где максимальный угол, описываемый a и L такой же, как в определении числа Френеля . Следовательно, это условие можно аппроксимировать как . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \approx a/L,}$ ${\textstyle {\frac {a^{4}}{4L^{3}\lambda }}\ll 1}$

Дифракция Френеля, показывающая центральное пятно Араго

Многократная дифракция Френеля на близко расположенных периодических гребнях ( гребневое зеркало ) вызывает зеркальное отражение ; этот эффект может быть использован для атомных зеркал . ^[2]

Ранние методы лечения этого явления

Некоторые из самых ранних работ по тому, что впоследствии стало известно как дифракция Френеля, были выполнены Франческо Мария Гримальди в Италии в 17 веке. В своей монографии под названием «Свет» ^[3] Ричард К. Маклорен объясняет дифракцию Френеля, спрашивая, что происходит при распространении света, и как этот процесс изменяется, когда барьер со щелью или отверстием в нем вставляется в луч, создаваемый удаленным источником света. Он использует принцип Гюйгенса, чтобы исследовать, в классических терминах, что происходит. Фронт волны, который исходит от щели и попадает на экран обнаружения на некотором расстоянии, очень близко приближается к фронту волны, возникающему в области зазора, без учета каких-либо мельчайших взаимодействий с фактическим физическим краем.

Результатом является то, что если щель очень узкая, могут возникнуть только дифракционные картины с яркими центрами. Если щель постепенно становится шире, то дифракционные картины с темными центрами будут чередоваться с дифракционными картинами с яркими центрами. По мере увеличения щели различия между темными и светлыми полосами уменьшаются до тех пор, пока эффект дифракции больше не может быть обнаружен.

Маклорин не упоминает о возможности того, что центр серии дифракционных колец, образующихся при прохождении света через маленькое отверстие, может быть черным, но он указывает на обратную ситуацию, когда тень, создаваемая небольшим круглым объектом, может парадоксальным образом иметь яркий центр . (стр. 219)

В своей книге «Оптика» [ ^4] Фрэнсис Уэстон Сирс предлагает математическое приближение, предложенное Френелем, которое предсказывает основные особенности дифракционных картин и использует только простую математику. Рассматривая перпендикулярное расстояние от отверстия в барьерном экране до близлежащего экрана обнаружения вместе с длиной волны падающего света, можно вычислить ряд областей, называемых элементами полупериода или зонами Френеля . Внутренняя зона представляет собой круг, а каждая последующая зона будет концентрическим кольцевым кольцом. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен для экспонирования первой или центральной зоны Френеля, амплитуда света в центре экрана обнаружения будет вдвое больше, чем если бы экран обнаружения не был загорожен. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен для экспонирования двух зон Френеля, то амплитуда в центре почти равна нулю. Это означает, что дифракционная картина Френеля может иметь темный центр. Эти картины можно увидеть и измерить, и они хорошо соответствуют рассчитанным для них значениям.

Интеграл дифракции Френеля

Дифракционная геометрия, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения, с системой координат

Согласно теории дифракции Рэлея-Зоммерфельда, картина дифракции электрического поля в точке ( x , y , z ) определяется следующим решением уравнения Гельмгольца :

$${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(1+{\frac {i}{kr}}\right)\,dx'dy',}$$

где

• ${\displaystyle E(x',y',0)}$электрическое поле в отверстии,
• ${\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}},}$
• ${\displaystyle k}$это волновое число ${\displaystyle 2\pi /\lambda ,}$
• ${\displaystyle i}$— мнимая единица .

Аналитическое решение этого интеграла быстро становится непрактично сложным для всех, кроме самых простых геометрий дифракции. Поэтому его обычно вычисляют численно.

Приближение Френеля

Сравнение дифракционной картины, полученной с помощью уравнения Рэлея-Зоммерфельда, (параксиального) приближения Френеля и (дальнего поля) приближения Фраунгофера

Основная проблема для решения интеграла — это выражение r . Во-первых, мы можем упростить алгебру, введя замену $${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.}$$

Подставляя в выражение для r , находим $${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.}$$

Далее, по биномиальному разложению, $${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$$

Мы можем выразить как ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Если мы рассмотрим все члены биномиального ряда, то приближения не будет. ^[5] Подставим это выражение в аргумент экспоненты внутри интеграла; ключ к приближению Френеля заключается в предположении, что третий член очень мал и его можно игнорировать, и, следовательно, любые более высокие порядки. Чтобы сделать это возможным, он должен вносить вклад в изменение экспоненты для почти нулевого члена. Другими словами, он должен быть намного меньше периода комплексной экспоненты, т. е. : ${\displaystyle 2\pi }$ $${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}$$

Выражая k через длину волны, $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$$

получаем следующее соотношение: $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.}$$

Умножая обе части на имеем ${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3},}$ $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},}$$

или, заменив предыдущее выражение на ${\displaystyle \rho ^{2},}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.}$$

Если это условие выполняется для всех значений x , x' , y и y' , то мы можем игнорировать третий член в выражении Тейлора. Более того, если третий член пренебрежимо мал, то все члены более высокого порядка будут еще меньше, поэтому мы также можем игнорировать их.

Для приложений, включающих оптические длины волн, длина волны λ обычно на много порядков меньше соответствующих физических размеров. В частности, $${\displaystyle \lambda \ll z,}$$

и $${\displaystyle \lambda \ll \rho .}$$

Таким образом, на практике требуемое неравенство всегда будет выполняться до тех пор, пока $${\displaystyle \rho \ll z.}$$

Затем мы можем аппроксимировать выражение только первыми двумя членами: $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.}$$

Это уравнение представляет собой приближение Френеля , а указанное выше неравенство является условием справедливости приближения.

дифракция Френеля

Условие справедливости довольно слабое, и оно позволяет всем параметрам длины принимать сравнимые значения, при условии, что апертура мала по сравнению с длиной пути. Для r в знаменателе мы делаем еще один шаг и аппроксимируем его только первым членом. Это справедливо, в частности, если нас интересует поведение поля только в небольшой области вблизи начала координат, где значения x и y намного меньше z . В общем случае дифракция Френеля справедлива, если число Френеля приблизительно равно 1. ${\displaystyle r\approx z.}$

Для дифракции Френеля электрическое поле в точке определяется выражением ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.}$$

Дифракция Френеля круглой апертуры, построенная с использованием функций Ломмеля

Это интеграл дифракции Френеля; он означает, что если приближение Френеля справедливо, распространяющееся поле представляет собой сферическую волну, возникающую в отверстии и движущуюся вдоль z . Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения все еще возможно только в редких случаях. Для дальнейшего упрощенного случая, справедливого только для гораздо больших расстояний от источника дифракции, см. дифракция Фраунгофера . В отличие от дифракции Фраунгофера, дифракция Френеля учитывает кривизну волнового фронта , чтобы правильно рассчитать относительную фазу интерферирующих волн.

Альтернативные формы

Свертка

Интеграл можно выразить другими способами, чтобы вычислить его, используя некоторые математические свойства. Если мы определим функцию $${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},}$$

тогда интеграл можно выразить через свертку : $${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);}$$

Другими словами, мы представляем распространение с использованием моделирования линейного фильтра. Вот почему мы могли бы назвать функцию импульсной характеристикой распространения в свободном пространстве. ${\displaystyle h(x,y,z)}$

преобразование Фурье

Другой возможный способ — через преобразование Фурье . Если в интеграле выразить k через длину волны: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

и разложим каждую составляющую поперечного смещения: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$$

то мы можем выразить интеграл через двумерное преобразование Фурье. Давайте воспользуемся следующим определением: $${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

где p и q — пространственные частоты ( волновые числа ). Интеграл Френеля можно выразить как $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}}$$

То есть, сначала умножьте поле, которое должно распространяться, на комплексную экспоненту, вычислите его двумерное преобразование Фурье, замените на и умножьте его на другой множитель. Это выражение лучше других, когда процесс приводит к известному преобразованию Фурье, а связь с преобразованием Фурье усиливается в линейном каноническом преобразовании , обсуждаемом ниже. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$

Линейное каноническое преобразование

С точки зрения линейного канонического преобразования дифракцию Френеля можно рассматривать как сдвиг в области времени-частоты , что соответствует тому, как преобразование Фурье представляет собой вращение в области времени-частоты.

Смотрите также

• дифракция Фраунгофера
• интеграл Френеля
• зона Френеля
• Число Френеля
• Огюстен-Жан Френель
• Зеркало рифленое
• Френелевский формирователь изображений
• Спираль Эйлера

Примечания

1. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-642221.
2. Х. Оберст, Д. Кузнецов, К. Шимизу, Дж. Фудзита, Ф. Шимизу. Дифракционное зеркало Френеля для атомной волны, Physical Review Letters , 94 , 013203 (2005).
3. Свет, Ричард К. Маклорин, 1909, Columbia University Press.
4. Оптика , Фрэнсис Уэстон Сирс, стр. 248 и далее, Эддисон-Уэсли, 1948.
5. На самом деле, на предыдущем шаге было приближение, когда предполагалась реальная волна. На самом деле, это не реальное решение векторного уравнения Гельмгольца , а скалярного. См. приближение скалярной волны. ${\displaystyle e^{ikr}/r}$

Ссылки

• Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в Фурье-оптику . Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 0-07-024254-2.