Взаимность Фробениуса

Двойственность между процессом ограничения и индукции в теории представлений

В математике , и в частности в теории представлений , взаимность Фробениуса — это теорема, выражающая дуальность между процессом ограничения и индукции . Она может быть использована для использования знаний о представлениях подгруппы для поиска и классификации представлений «больших» групп, которые их содержат. Она названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , изобретателя теории представлений конечных групп .

Заявление

Теория характера

Первоначально теорема была сформулирована в терминах теории характеров . Пусть G — конечная группа с подгруппой H , пусть обозначает ограничение характера или, в более общем смысле, функцию класса группы G на H , и пусть обозначает индуцированную функцию класса данной функции класса на H. Для любой конечной группы A существует скалярное произведение на векторном пространстве функций класса (подробно описанное в статье Schur orthogonality relationships ). Теперь для любых функций класса и выполняется следующее равенство: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \langle -,-\rangle _{A}}$ ${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi :H\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi ,\varphi \rangle _{G}=\langle \psi ,\operatorname {Res} _{H}^{G}\varphi \rangle _{H}.}$$

Другими словами, и являются эрмитово сопряженными . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

Теория модулей

Как поясняется в разделе Теория представлений конечных групп#Представления, модули и сверточная алгебра , теория представлений группы G над полем K в определенном смысле эквивалентна теории модулей над групповой алгеброй K [ G ]. ^[3] Поэтому существует соответствующая теорема взаимности Фробениуса для K [ G ]-модулей.

Пусть G — группа с подгруппой H , пусть M — H -модуль, а N — G -модуль. На языке теории модулей индуцированный модуль соответствует индуцированному представлению , тогда как ограничение скаляров соответствует ограничению . Соответственно, утверждение выглядит следующим образом: Следующие множества гомоморфизмов модулей находятся во взаимно однозначном соответствии: ${\displaystyle K[G]\otimes _{K[H]}M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle {_{K[H]}}N}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K[G]}(K[G]\otimes _{K[H]}M,N)\cong \operatorname {Hom} _{K[H]}(M,{_{K[H]}}N)}$$. ^{[4] [5]}

Как отмечено ниже в разделе, посвященном теории категорий, этот результат применим к модулям над всеми кольцами, а не только к модулям над групповыми алгебрами.

Теория категорий

Пусть G — группа с подгруппой H , и пусть определено, как указано выше. Для любой группы A и поля K пусть обозначает категорию линейных представлений A над K. Существует забывающий функтор ${\displaystyle \operatorname {Res} _{H}^{G},\operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle {\textbf {Rep}}_{A}^{K}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{G}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{H}\\(V,\rho )&\longmapsto \operatorname {Res} _{H}^{G}(V,\rho )\end{aligned}}}$$

Этот функтор действует как тождество на морфизмах . Существует функтор, идущий в противоположном направлении:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ind} _{H}^{G}:{\textbf {Rep}}_{H}&\longrightarrow {\textbf {Rep}}_{G}\\(W,\tau )&\longmapsto \operatorname {Ind} _{H}^{G}(W,\tau )\end{aligned}}}$$

Эти функторы образуют сопряженную пару . ^[6] В случае конечных групп они фактически являются как лево-, так и право-сопряженными друг другу. Это присоединение порождает универсальное свойство для индуцированного представления (подробнее см. Induced representation#Properties ). ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\dashv \operatorname {Res} _{H}^{G}}$

На языке теории модулей соответствующее присоединение является примером более общей связи между ограничением и расширением скаляров .

Смотрите также

• Математический портал

• Определения процессов, к которым применяется эта теорема, см. в разделах Ограниченное представление и Индуцированное представление .
• См. Теорию представлений конечных групп для широкого обзора предмета представлений групп.
• См. формулу следа Сельберга и формулу следа Артура-Сельберга для обобщений на дискретные коконечные подгруппы некоторых локально компактных групп.

Примечания

1. Серр 1977, стр. 56.
2. Сенгупта 2012, стр. 246.
3. В частности, существует изоморфизм категорий между K [ G ]-Mod и Rep _G ^K , как описано на страницах Изоморфизм категорий#Категории представлений и Теория представлений конечных групп#Представления, модули и алгебра сверток .
4. Джеймс, Гордон Дуглас (1945–2001). Представления и характеры групп . Либек , М. В. (Мартин В.) (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 9780521003926. OCLC  52220683.
5. Сенгупта 2012, стр. 245.
6. "Взаимность Фробениуса в nLab". ncatlab.org . Получено 2017-11-02 .

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC  2202385.
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. С. 235–248. doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412304. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Вайсштейн, Эрик. "Индуцированное представление". mathworld.wolfram.com . Получено 2017-11-02 .