Теорема Перрона–Фробениуса

Теория линейной алгебры

В теории матриц теорема Перрона –Фробениуса , доказанная Оскаром Перроном  (1907) и Георгом Фробениусом  (1912), утверждает, что действительная квадратная матрица с положительными элементами имеет единственное собственное значение наибольшей величины и что собственное значение является действительным. Соответствующий собственный вектор может быть выбран так, чтобы иметь строго положительные компоненты, а также утверждает аналогичное утверждение для определенных классов неотрицательных матриц . Эта теорема имеет важные приложения к теории вероятностей ( эргодичность цепей Маркова ); к теории динамических систем ( подсдвиги конечного типа ); к экономике ( теорема Окисио , ^[1] условие Хокинса–Саймона ^[2] ); к демографии ( модель распределения населения по возрасту Лесли ); ^[3] к социальным сетям ( процесс обучения ДеГроота ); к поисковым системам в Интернете ( PageRank ); ^[4] и даже к рейтингу команд американского футбола. ^[5] Первым, кто обсудил порядок игроков в турнирах с использованием собственных векторов Перрона–Фробениуса, был Эдмунд Ландау . ^{[6] [7]}

Заявление

Пусть положительные и неотрицательные соответственно описывают матрицы с исключительно положительными действительными числами в качестве элементов и матрицы с исключительно неотрицательными действительными числами в качестве элементов. Собственные значения действительной квадратной матрицы A являются комплексными числами , составляющими спектр матрицы. Экспоненциальная скорость роста матричных степеней A ^k при k → ∞ контролируется собственным значением A с наибольшим абсолютным значением ( модулем ). Теорема Перрона–Фробениуса описывает свойства ведущего собственного значения и соответствующих собственных векторов, когда A является неотрицательной действительной квадратной матрицей. Ранние результаты были получены Оскаром Перроном  (1907) и касались положительных матриц. Позднее Георг Фробениус  (1912) нашел их расширение на некоторые классы неотрицательных матриц.

Положительные матрицы

Пусть — положительная матрица: для . Тогда справедливы следующие утверждения. ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle a_{ij}>0}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$

1. Существует положительное действительное число r , называемое корнем Перрона или собственным значением Перрона–Фробениуса (также называемым ведущим собственным значением , главным собственным значением или доминирующим собственным значением ), такое, что r является собственным значением A , а любое другое собственное значение λ (возможно, комплексное ) по абсолютной величине строго меньше r , | λ | < r . Таким образом, спектральный радиус равен r . Если коэффициенты матрицы алгебраические, это означает, что собственное значение является числом Перрона . ${\displaystyle \rho (A)}$
2. Собственное значение Перрона–Фробениуса простое: r — простой корень характеристического многочлена матрицы A. Следовательно, собственное пространство, связанное с r, одномерно. (То же самое верно для левого собственного пространства, т. е. собственного пространства для A ^T , транспонированного к A .)
3. Существует собственный вектор v = ( v ₁ ,..., v _n ) ^T матрицы A с собственным значением r таким, что все компоненты v положительны: A v = rv , v _i > 0 для 1 ≤ i ≤ n . (Соответственно, существует положительный левый собственный вектор w  : w ^T A = w ^T r, w _i > 0.) Он известен в литературе под многими вариациями как вектор Перрона , собственный вектор Перрона , собственный вектор Перрона-Фробениуса , ведущий собственный вектор , главный собственный вектор или доминирующий собственный вектор .
4. Не существует других положительных (тем более неотрицательных) собственных векторов, кроме положительных кратных v (соответственно, левых собственных векторов, кроме ww'w ), т.е. все остальные собственные векторы должны иметь по крайней мере одну отрицательную или недействительную компоненту.
5. ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}}$, где левый и правый собственные векторы для A нормализованы так, что w ^T v = 1. Более того, матрица vw ^T является проекцией на собственное пространство, соответствующее  r . Эта проекция называется проекцией Перрона .
6. Формула Коллатца -Виланда : для всех неотрицательных ненулевых векторов x пусть f ( x ) будет минимальным значением [ Ax ] _i /  x _{i ,} взятым по всем тем i, для которых x _i ≠ 0. Тогда f является вещественной функцией, максимум которой по всем неотрицательным ненулевым векторам x является собственным значением Перрона-Фробениуса.
7. Формула Коллатца–Виланда «Мин-макс» принимает форму, похожую на приведенную выше: для всех строго положительных векторов x пусть g ( x ) будет максимальным значением [ Ax ] _i /  x _{i ,} взятым по i . Тогда g является вещественной функцией, минимум которой по всем строго положительным векторам x является собственным значением Перрона–Фробениуса.
8. Формула Биркгофа – Варги : Пусть x и y будут строго положительными векторами. Тогда, ^[8] $${\displaystyle r=\sup _{x>0}\inf _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\inf _{x>0}\sup _{y>0}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
9. Формула Донскера – Варадана – Фридланда : Пусть p – вектор вероятности, а x – строго положительный вектор. Тогда, ^{[9] [10]} $${\displaystyle r=\sup _{p}\inf _{x>0}\sum _{i=1}^{n}p_{i}[Ax]_{i}/x_{i}.}$$
10. Формула Фидлера : ^[11] $${\displaystyle r=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}{\frac {y^{\top }Ax}{y^{\top }x}}=\sup _{z>0}\ \inf _{x>0,\ y>0,\ x\circ y=z}\sum _{i,j=1}^{n}y_{i}a_{ij}x_{j}/\sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}.}$$
11. Собственное значение Перрона–Фробениуса удовлетворяет неравенствам $${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$$

Все эти свойства выходят за рамки строго положительных матриц и распространяются на примитивные матрицы (см. ниже). Факты 1–7 можно найти в Мейере ^[12], глава 8, утверждения 8.2.11–15, страница 667 и упражнения 8.2.5,7,9, страницы 668–669.

Левые и правые собственные векторы w и v иногда нормализуются так, что сумма их компонентов равна 1; в этом случае их иногда называют стохастическими собственными векторами . Часто они нормализуются так, что правый собственный вектор v в сумме равен единице, в то время как . ${\displaystyle w^{T}v=1}$

Неотрицательные матрицы

Существует расширение для матриц с неотрицательными элементами. Поскольку любая неотрицательная матрица может быть получена как предел положительных матриц, получается существование собственного вектора с неотрицательными компонентами; соответствующее собственное значение будет неотрицательным и больше или равно по абсолютной величине всем другим собственным значениям. ^{[13] [14]} Однако для примера максимальное собственное значение r = 1 имеет то же абсолютное значение, что и другое собственное значение −1; в то время как для максимальное собственное значение равно r = 0, что не является простым корнем характеристического многочлена, и соответствующий собственный вектор (1, 0) не является строго положительным. ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Однако Фробениус нашел особый подкласс неотрицательных матриц — неприводимые матрицы — для которых возможно нетривиальное обобщение. Для такой матрицы, хотя собственные значения, достигающие максимального абсолютного значения, могут быть не единственными, их структура находится под контролем: они имеют вид , где — действительное строго положительное собственное значение, и пробегает комплексные корни h'-й степени из 1 для некоторого положительного целого числа h, называемого периодом матрицы. Собственный вектор, соответствующий , имеет строго положительные компоненты (в отличие от общего случая неотрицательных матриц, где компоненты только неотрицательны). Также все такие собственные значения являются простыми корнями характеристического многочлена. Дополнительные свойства описаны ниже. ${\displaystyle \omega r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle r}$

Классификация матриц

Пусть A — квадратная матрица размера n  ×  n над полем F. Матрица A неприводима, если выполняется любое из следующих эквивалентных свойств.

Определение 1: A не имеет нетривиальных инвариантных координатных подпространств. Здесь нетривиальное координатное подпространство означает линейное подпространство, натянутое на любое собственное подмножество стандартных базисных векторов F ⁿ . Более конкретно, для любого линейного подпространства, натянутого на стандартные базисные векторы e _{i 1} , ..., e _{i k} , 0 < k  <  n , его образ под действием A не содержится в том же подпространстве.

Определение 2: A не может быть сопряжено в блочно-верхнюю треугольную форму с помощью матрицы перестановки P :

${\displaystyle PAP^{-1}\neq {\begin{pmatrix}E&F\\O&G\end{pmatrix}},}$

где E и G — нетривиальные (т.е. имеющие размер больше нуля) квадратные матрицы.

Определение 3: С матрицей A можно связать некоторый ориентированный граф G _A . Он имеет n вершин, помеченных 1,..., n , и существует ребро из вершины i в вершину j точно тогда, когда a _ij ≠ 0. Тогда матрица A неприводима тогда и только тогда, когда ее связанный граф G _A сильно связен .

Если F — поле действительных или комплексных чисел, то также имеем следующее условие.

Определение 4: Групповое представление на или на , заданное формулой , не имеет нетривиальных инвариантных координатных подпространств. (Для сравнения, это было бы неприводимое представление, если бы не было вообще нетривиальных инвариантных подпространств, а не только рассматривались бы координатные подпространства.) ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tA)}$

Матрица приводима, если она не является неприводимой.

Действительная матрица A является примитивной , если она неотрицательна и ее m -я степень положительна для некоторого натурального числа m (т.е. все элементы матрицы A ^m положительны).

Пусть A действительно и неотрицательно. Зафиксируем индекс i и определим период индекса i как наибольший общий делитель всех натуральных чисел m таких, что ( A ^m ) _ii > 0. Когда A неприводима, период каждого индекса одинаков и называется периодом A . Фактически , когда A неприводима, период можно определить как наибольший общий делитель длин замкнутых направленных путей в G _A (см. Kitchens ^[15] стр. 16). Период также называется индексом импримитивности (Meyer ^[12] стр. 674) или порядком цикличности. Если период равен 1, A апериодична . Можно доказать, что примитивные матрицы совпадают с неприводимыми апериодическими неотрицательными матрицами.

Все утверждения теоремы Перрона–Фробениуса для положительных матриц остаются верными и для примитивных матриц. Те же утверждения справедливы и для неотрицательной неприводимой матрицы, за исключением того, что она может обладать несколькими собственными значениями, абсолютная величина которых равна ее спектральному радиусу, поэтому утверждения необходимо соответствующим образом модифицировать. Фактически количество таких собственных значений равно периоду.

Результаты для неотрицательных матриц впервые были получены Фробениусом в 1912 году.

Теорема Перрона–Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц

Пусть — неприводимая неотрицательная матрица с периодом и спектральным радиусом . Тогда справедливы следующие утверждения. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho (A)=r}$

• Число является положительным действительным числом и является собственным значением матрицы . Оно называется собственным значением Перрона–Фробениуса . ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$
• Собственное значение Перрона–Фробениуса простое . Оба собственных пространства, правые и левые, связанные с являются одномерными. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle A}$имеет как правый, так и левый собственные векторы, соответственно и , с собственным значением и все компоненты которого положительны. Более того, это единственные собственные векторы, все компоненты которых положительны, это те, которые связаны с собственным значением . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$
• Матрица имеет ровно (где период ) комплексных собственных значений с абсолютным значением . Каждое из них является простым корнем характеристического полинома и является произведением с корнем степени y из единицы . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$
• Пусть . Тогда матрица подобна , следовательно , спектр инвариантен относительно умножения на (т.е. поворотов комплексной плоскости на угол ). ${\displaystyle \omega =2\pi /h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{i\omega }A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{i\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$
• Если тогда существует матрица перестановок такая, что ${\displaystyle h>1}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}O&A_{1}&O&O&\ldots &O\\O&O&A_{2}&O&\ldots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&O&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&O&O&O&\ldots &O\end{pmatrix}},}$

где обозначает нулевую матрицу, а блоки вдоль главной диагонали представляют собой квадратные матрицы. ${\displaystyle O}$

• Формула Коллатца -Виланда : для всех неотрицательных ненулевых векторовпустьбудет минимальным значениемиз всех таких, что. Тогда— вещественная функция, максимум которой — собственное значение Перрона-Фробениуса. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle [A\mathbf {x} ]_{i}/x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

• Собственное значение Перрона–Фробениуса удовлетворяет неравенствам

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Пример показывает, что (квадратные) нулевые матрицы вдоль диагонали могут иметь разные размеры, блоки A _j не обязательно должны быть квадратными, а h не обязательно делит  n . ${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Дополнительные свойства

Пусть A — неприводимая неотрицательная матрица, тогда:

1. (I+ A ) ^{n −1} — положительная матрица. (Мейер ^[12] утверждение 8.3.5 стр. 672). Для неотрицательного A это также достаточное условие. ^[16]
2. Теорема Виландта. ^{[17] [ необходимо разъяснение ]} Если | B |< A , то ρ ( B )≤ ρ ( A ). Если равенство выполняется (т. е. если μ=ρ(A)e ^iφ является собственным значением для B ), то B = e ^iφ D AD ⁻¹ для некоторой диагональной унитарной матрицы D (т. е. диагональные элементы D равны e ^{iΘ _l} , недиагональные равны нулю). ^[18]
3. Если некоторая степень A ^q является приводимой, то она полностью приводима, т.е. для некоторой матрицы перестановок P верно, что: , где A _i — неприводимые матрицы, имеющие одинаковое максимальное собственное значение. Число этих матриц d является наибольшим общим делителем q и h , где h — период A . ^[19] ${\displaystyle PA^{q}P^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}&O&O&\dots &O\\O&A_{2}&O&\dots &O\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\O&O&O&\dots &A_{d}\\\end{pmatrix}}}$
4. Если c ( x ) = x ⁿ + c _{k 1} x ^{n-k ₁} + c _{k 2} x ^{n-k ₂} + ... + c _{k s} x ^{n-k _s} — характеристический многочлен матрицы A , в котором перечислены только ненулевые члены, то период матрицы A равен наибольшему общему делителю k ₁ , k ₂ , ... , k _s . ^[20]
5. Средние значения Чезаро : где левый и правый собственные векторы для A нормализованы так, что w ^T v = 1. Более того, матрица vw ^T является спектральной проекцией, соответствующей r , проекцией Перрона. ^[21] ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }1/k\sum _{i=0,...,k}A^{i}/r^{i}=(vw^{T}),}$
6. Пусть r — собственное значение Перрона–Фробениуса, тогда присоединенная матрица для ( r - A ) положительна. ^[22]
7. Если A имеет хотя бы один ненулевой диагональный элемент, то A является примитивным. ^[23]
8. Если 0 ≤ A < B , то r _A ≤ r _B. Более того, если B неприводимо, то неравенство строгое: r _A < r _B .

Матрица A является примитивной, если она неотрицательна и A ^m положительна для некоторого m , и, следовательно, A ^k положительна для всех k ≥ m . Для проверки примитивности нужна граница того, насколько большим может быть минимальное такое m в зависимости от размера A : ^[24]

• Если A — неотрицательная примитивная матрица размера n , то A ^{n 2  − 2 n  + 2} положительна. Более того, это наилучший возможный результат, поскольку для матрицы M ниже степень M ^k не является положительной для каждого k < n ²  − 2 n  + 2, поскольку ( M ^{n 2  − 2 n +1} ) _1,1 = 0.

${\displaystyle M=\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&\cdots &0\\0&0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\cdots &1\\1&1&0&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right)}$

Приложения

На тему неотрицательных матриц написано множество книг, и теория Перрона–Фробениуса неизменно является центральной особенностью. Приведенные ниже примеры лишь поверхностно касаются ее обширной области применения.

Неотрицательные матрицы

Теорема Перрона–Фробениуса не применима напрямую к неотрицательным матрицам. Тем не менее, любая приводимая квадратная матрица A может быть записана в форме верхнего треугольного блока (известной как нормальная форма приводимой матрицы ) ^[25]

ПАП ⁻¹ = ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)}$

где P — матрица перестановок, а каждая B _i — квадратная матрица, которая либо неприводима, либо равна нулю. Теперь, если A неотрицательна, то таковой является и каждый блок PAP ⁻¹ , более того, спектр A — это просто объединение спектров B _i .

Обратимость A также может быть изучена. Обратимость PAP ⁻¹ (если она существует) должна иметь диагональные блоки формы B _i ^{−1 ,} так что если любой B _i необратим, то необратимы ни PAP ⁻¹ , ни A . Обратно, пусть D будет блочно-диагональной матрицей, соответствующей PAP ⁻¹ , другими словами, PAP ⁻¹ с обнуленными звездочками. Если каждый B _i обратим, то таков же и D , и D ⁻¹ ( PAP ⁻¹ ) равно тождественному плюс нильпотентная матрица. Но такая матрица всегда обратима (если N ^k = 0, то обратная матрица 1 − N равна 1 + N + N ² + ... + N ^{k −1} ), так что PAP ⁻¹ и A оба обратимы.

Следовательно, многие спектральные свойства A могут быть выведены путем применения теоремы к неприводимому B _i . Например, корень Перрона является максимумом ρ( B _i ). Хотя все еще будут собственные векторы с неотрицательными компонентами, вполне возможно, что ни один из них не будет положительным.

Стохастические матрицы

Строчная (столбцовая) стохастическая матрица — это квадратная матрица, каждая из строк (столбцов) которой состоит из неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна единице. Теорема не может быть применена непосредственно к таким матрицам, поскольку они не обязаны быть неприводимыми.

Если A является строково-стохастическим, то вектор-столбец с каждым элементом 1 является собственным вектором, соответствующим собственному значению 1, которое также является ρ( A ) согласно замечанию выше. Это может быть не единственное собственное значение на единичной окружности: и связанное с ним собственное пространство может быть многомерным. Если A является строково-стохастическим и неприводимым, то проекция Перрона также является строково-стохастической, и все ее строки равны.

Алгебраическая теория графов

Теорема имеет особое применение в алгебраической теории графов . «Базовый граф» неотрицательной n -квадратной матрицы — это граф с вершинами, пронумерованными 1, ..., n , и дугой ij тогда и только тогда, когда A _ij ≠ 0. Если базовый граф такой матрицы сильно связан, то матрица неприводима, и, таким образом, теорема применима. В частности, матрица смежности сильно связанного графа неприводима . ^{[26] [27]}

Конечные цепи Маркова

Теорема имеет естественную интерпретацию в теории конечных цепей Маркова (где она является теоретико-матричным эквивалентом сходимости неприводимой конечной цепи Маркова к ее стационарному распределению, сформулированному в терминах матрицы перехода цепи; см., например, статью о подсдвиге конечного типа ).

Компактные операторы

В более общем смысле, ее можно распространить на случай неотрицательных компактных операторов , которые во многом напоминают конечномерные матрицы. Они обычно изучаются в физике под названием операторов переноса или иногда операторов Рюэля–Перрона–Фробениуса (в честь Дэвида Рюэля ). В этом случае ведущее собственное значение соответствует термодинамическому равновесию динамической системы , а меньшие собственные значения — режимам распада системы, которая не находится в равновесии. Таким образом, теория предлагает способ обнаружения стрелы времени в том, что в противном случае казалось бы обратимыми, детерминированными динамическими процессами, если рассматривать их с точки зрения топологии точечных множеств . ^[28]

Методы доказательства

Общей нитью во многих доказательствах является теорема Брауэра о неподвижной точке . Другой популярный метод — метод Виландта (1950). Он использовал формулу Коллатца -Виландта, описанную выше, чтобы расширить и прояснить работу Фробениуса. ^[29] Другое доказательство основано на спектральной теории ^[30], из которой заимствована часть аргументов.

Корень Перрона — это строго максимальное собственное значение для положительных (и примитивных) матриц.

Если A — положительная (или, в более общем смысле, примитивная) матрица, то существует действительное положительное собственное значение r (собственное значение Перрона – Фробениуса или корень Перрона), которое по абсолютной величине строго больше всех других собственных значений, следовательно, r — спектральный радиус матрицы A.

Это утверждение не справедливо для общих неотрицательных неприводимых матриц, которые имеют h собственных значений с тем же абсолютным собственным значением, что и r , где h — период матрицы A.

Доказательство для положительных матриц

Пусть A — положительная матрица, предположим, что ее спектральный радиус ρ( A ) = 1 (иначе рассмотрим A/ρ(A) ). Следовательно, на единичной окружности существует собственное значение λ, а все остальные собственные значения по абсолютной величине меньше или равны 1. Предположим, что другое собственное значение λ ≠ 1 также попадает на единичную окружность. Тогда существует положительное целое число m такое, что A ^m — положительная матрица, а действительная часть λ ^m отрицательна. Пусть ε — половина наименьшего диагонального элемента A ^m и положим T = A ^m  −  εI , что является еще одной положительной матрицей. Более того, если Ax = λx , то A ^m x = λ ^m x, таким образом, λ ^m  −  ε является собственным значением T . Из-за выбора m эта точка лежит вне единичного круга, следовательно, ρ ( T ) > 1. С другой стороны, все элементы в T положительны и меньше или равны элементам в A ^{m ,} поэтому по формуле Гельфанда ρ ( T ) ≤ ρ ( A ^m ) ≤ ρ ( A ) ^m = 1. Это противоречие означает, что λ=1 и на единичной окружности не может быть других собственных значений.

Абсолютно те же рассуждения можно применить и к случаю примитивных матриц; достаточно упомянуть следующую простую лемму, проясняющую свойства примитивных матриц.

Лемма

Для данного неотрицательного числа A предположим, что существует m , такое что A ^m положительно, тогда A ^{m +1} , A ^{m +2} , A ^{m +3} ,... все являются положительными.

A ^{m +1} = AA ^m , поэтому он может иметь нулевой элемент только в том случае, если некоторая строка A полностью нулевая, но в этом случае та же строка A ^m будет нулевой.

Применив те же аргументы, что и выше для примитивных матриц, докажите основное утверждение.

Метод мощности и положительная собственная пара

Для положительной (или, в более общем случае, неприводимой неотрицательной) матрицы A доминирующий собственный вектор является действительным и строго положительным (для неотрицательной A соответственно неотрицательным).

Это можно установить с помощью степенного метода , который утверждает, что для достаточно общей (в смысле ниже) матрицы A последовательность векторов b _{k +1} = Ab _k / | Ab _k | сходится к собственному вектору с максимальным собственным значением . (Начальный вектор b ₀ может быть выбран произвольно, за исключением некоторого набора нулевых мер). Начиная с неотрицательного вектора b _{0 ,} получаем последовательность неотрицательных векторов b _k . Следовательно, предельный вектор также неотрицателен. Согласно степенному методу этот предельный вектор является доминирующим собственным вектором для A , что доказывает утверждение. Соответствующее собственное значение неотрицательно.

Доказательство требует двух дополнительных аргументов. Во-первых, степенной метод сходится для матриц, не имеющих нескольких собственных значений с тем же абсолютным значением, что и максимальное. Аргумент предыдущего раздела гарантирует это.

Во-вторых, обеспечить строгую положительность всех компонент собственного вектора для случая неприводимых матриц. Это следует из следующего факта, представляющего самостоятельный интерес:

Лемма: если задана положительная (или, в более общем случае, неприводимая неотрицательная) матрица A и v в качестве любого неотрицательного собственного вектора для A , то она обязательно строго положительна, и соответствующее собственное значение также строго положительно.

Доказательство. Одно из определений неприводимости для неотрицательных матриц заключается в том, что для всех индексов i,j существует m , такое, что ( A ^m ) _ij строго положительно. Если задан неотрицательный собственный вектор v , и хотя бы один из его компонентов, скажем, i -й, строго положителен, соответствующее собственное значение строго положительно, действительно, если задано n , такое, что ( A ⁿ ) _ii >0, следовательно: r ⁿ v _i = A ⁿ v _i ≥ ( A ⁿ ) _ii v _i >0. Следовательно, r строго положительно. Собственный вектор является строго положительным. Тогда задано m , такое, что ( A ^m ) _ji >0, следовательно: r ^m v _j = ( A ^m v ) _j ≥ ( A ^m ) _ji v _i >0, следовательно, v _j строго положительно, т. е. собственный вектор строго положителен.

Кратность один

В этом разделе доказывается, что собственное значение Перрона–Фробениуса является простым корнем характеристического полинома матрицы. Следовательно, собственное пространство, связанное с собственным значением Перрона–Фробениуса r, является одномерным. Аргументы здесь близки к аргументам Мейера. ^[12]

Дан строго положительный собственный вектор v, соответствующий r , и другой собственный вектор w с тем же собственным значением. (Векторы v и w можно выбрать действительными, поскольку A и r оба действительны, поэтому нулевое пространство Ar имеет базис, состоящий из действительных векторов.) Предположим, что хотя бы один из компонентов w положительный (иначе умножьте w на −1). Дан максимально возможный α такой, что u=v- α w неотрицателен, то один из компонентов u равен нулю, в противном случае α не является максимальным. Вектор u является собственным вектором. Он неотрицателен, поэтому по лемме, описанной в предыдущем разделе, неотрицательность влечет строгую положительность для любого собственного вектора. С другой стороны, как и выше, хотя бы один компонент u равен нулю. Противоречие означает, что w не существует.

Случай: Не существует жордановых блоков, соответствующих собственному значению Перрона–Фробениуса r и всем другим собственным значениям, имеющим то же абсолютное значение.

Если имеется жорданова клетка, то бесконечная норма (A/r) ^k _∞ стремится к бесконечности при k → ∞ , но это противоречит существованию положительного собственного вектора.

Дано r = 1, или A/r . Пусть v — строго положительный собственный вектор Перрона–Фробениуса, так что Av=v , тогда:

${\displaystyle \|v\|_{\infty }=\|A^{k}v\|_{\infty }\geq \|A^{k}\|_{\infty }\min _{i}(v_{i}),~~\Rightarrow ~~\|A^{k}\|_{\infty }\leq \|v\|/\min _{i}(v_{i})}$Итак, ‖ A ^k ‖ _∞ ограничено для всех k . Это дает еще одно доказательство того, что не существует собственных значений, имеющих абсолютное значение больше, чем собственное значение Перрона–Фробениуса. Это также противоречит существованию блока Жордана для любого собственного значения, имеющего абсолютное значение, равное 1 (в частности, для собственного значения Перрона–Фробениуса), поскольку существование блока Жордана подразумевает, что ‖ A ^k ‖ _∞ неограничено. Для матрицы два на два:

${\displaystyle J^{k}={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}^{k}={\begin{pmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k-1}\\0&\lambda ^{k}\end{pmatrix}},}$

следовательно ‖ J ^k ‖ _∞ = | k + λ | (для | λ | = 1), поэтому он стремится к бесконечности, когда k стремится к бесконечности. Поскольку J ^k = C ⁻¹ A ^k C , то A ^k ≥ J ^k / ( C ⁻¹ C ), поэтому он также стремится к бесконечности. Полученное противоречие означает, что для соответствующих собственных значений нет жордановых блоков.

Объединение двух приведенных выше утверждений показывает, что собственное значение Перрона–Фробениуса r является простым корнем характеристического многочлена. В случае непримитивных матриц существуют другие собственные значения, которые имеют то же абсолютное значение, что и r . Для них справедливо то же утверждение, но требует больше работы.

Никаких других неотрицательных собственных векторов.

Для положительной (или, в более общем случае, неприводимой неотрицательной матрицы) A собственный вектор Перрона–Фробениуса является единственным (с точностью до умножения на константу) неотрицательным собственным вектором для A.

Другие собственные векторы должны содержать отрицательные или комплексные компоненты, поскольку собственные векторы для разных собственных значений в некотором смысле ортогональны, но два положительных собственных вектора не могут быть ортогональны, поэтому они должны соответствовать одному и тому же собственному значению, но собственное пространство для Перрона–Фробениуса является одномерным.

Предполагая, что существует собственная пара ( λ , y ) для A , такая, что вектор y положителен, и задан ( r , x ), где x – левый собственный вектор Перрона–Фробениуса для A (т.е. собственный вектор для A ^T ), тогда rx ^T y = ( x ^T A ) y = x ^T ( Ay ) = λx ^T y , также x ^T y > 0, так что имеем: r = λ . Поскольку собственное пространство для собственного значения Перрона–Фробениуса r одномерно, неотрицательный собственный вектор y является кратным вектору Перрона–Фробениуса. ^[31]

Формула Коллатца–Виланда

Для заданной положительной (или, в более общем случае, неприводимой неотрицательной матрицы) A определяется функция f на множестве всех неотрицательных ненулевых векторов x, таких что f(x) является минимальным значением [ Ax ] _i /  x _{i ,} взятым по всем тем i, для которых x _i ≠ 0. Тогда f является действительной функцией, максимум которой является собственным значением Перрона–Фробениуса r .

Для доказательства мы обозначаем максимум f значением R . Доказательство требует показать R = r . Подставляя собственный вектор Перрона-Фробениуса v в f , мы получаем f(v) = r и заключаем r ≤ R . Для противоположного неравенства мы рассматриваем произвольный неотрицательный вектор x и положим ξ = f(x) . Определение f дает 0 ≤ ξx ≤ Ax (покомпонентно). Теперь мы используем положительный правый собственный вектор w для A для собственного значения Перрона-Фробениуса r , тогда ξ w ^T x = w ^T ξx ≤ w ^T (Ax) = (w ^T A)x = rw ^T x . Следовательно, f(x) = ξ ≤ r , что подразумевает R ≤ r . ^[32]

Проекция Перрона как предел:Ак/гк

Пусть A — положительная (или, в более общем смысле, примитивная) матрица, а r — ее собственное значение Перрона–Фробениуса.

1. Существует предел A ^k /r ^k при k → ∞ , обозначим его P .
2. P — оператор проекции : P ² = P , который коммутирует с A : AP = PA .
3. Образ P одномерен и натянут на собственный вектор Перрона–Фробениуса v (соответственно для P ^T — на собственный вектор Перрона–Фробениуса w для A ^T ).
4. P = vw ^T , где v,w нормализованы таким образом, что w ^T v = 1.
5. Следовательно, P — положительный оператор.

Следовательно, P является спектральной проекцией для собственного значения Перрона–Фробениуса r и называется проекцией Перрона. Вышеприведенное утверждение неверно для общих неотрицательных неприводимых матриц.

На самом деле приведенные выше утверждения (за исключением утверждения 5) справедливы для любой матрицы M, такой, что существует собственное значение r , которое строго больше других собственных значений по абсолютной величине и является простым корнем характеристического многочлена . (Эти требования справедливы для примитивных матриц, как указано выше).

Учитывая, что M диагонализируема, M сопряжена с диагональной матрицей с собственными значениями r ₁ , ... , r _n на диагонали (обозначим r ₁ = r ). Матрица M ^k / r ^k будет сопряжена (1, ( r ₂ / r ) ^k , ... , ( r _n / r ) ^k ), что стремится к (1,0,0,...,0) при k → ∞ , поэтому предел существует. Тот же метод работает для общего M (без предположения, что M диагонализируема).

Свойства проекции и коммутативности являются элементарными следствиями определения: MM ^k / r ^k = M ^k / r ^k M  ; P ² = lim M ^{2 k} / r ^{2 k} = P . Третий факт также элементарен: M ( Pu ) = M lim M ^k / r ^k u = lim rM ^{k +1} / r ^{k +1} u , поэтому переход к пределу дает M ( Pu ) = r ( Pu ), поэтому образ P лежит в r -собственном пространстве для M , которое является одномерным по предположениям.

Обозначим через v , r -собственный вектор для M (через w для M ^T ). Столбцы P кратны v , потому что образ P натянут на него. Соответственно, строки w . Так что P принимает вид (avw ^T ) , для некоторого a . Следовательно, его след равен (aw ^T v) . След проектора равен размерности его образа. Ранее было доказано, что он не более чем одномерен. Из определения видно, что P действует тождественно на r -собственный вектор для M . Так что он одномерен. Так что выбор ( w ^T v ) = 1 влечет P = vw ^T .

Неравенства для собственных значений Перрона–Фробениуса

Для любой неотрицательной матрицы A ее собственное значение Перрона–Фробениуса r удовлетворяет неравенству:

${\displaystyle r\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Это не относится только к неотрицательным матрицам: для любой матрицы A с собственным значением верно, что . Это непосредственное следствие теоремы Гершгорина о круге . Однако другое доказательство более прямое: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ ${\displaystyle \scriptstyle |\lambda |\;\leq \;\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}$

Любая индуцированная матрицей норма удовлетворяет неравенству для любого собственного значения , поскольку, если — соответствующий собственный вектор, . Бесконечная норма матрицы — это максимум сумм строк: Следовательно, требуемое неравенство в точности применяется к неотрицательной матрице A . ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |\lambda |}$ ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|\geq |Ax|/|x|=|\lambda x|/|x|=|\lambda |}$ ${\displaystyle \scriptstyle \left\|A\right\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|.}$ ${\displaystyle \scriptstyle \|A\|_{\infty }\geq |\lambda |}$

Другое неравенство:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\;\leq \;r.}$

Этот факт характерен для неотрицательных матриц; для общих матриц нет ничего подобного. Учитывая, что A положительно (а не просто неотрицательно), то существует положительный собственный вектор w такой, что Aw = rw и наименьший компонент w (скажем, w _i ) равен 1. Тогда r = ( Aw ) _i ≥ суммы чисел в строке i матрицы A . Таким образом, минимальная сумма строки дает нижнюю границу для r , и это наблюдение можно распространить на все неотрицательные матрицы по непрерывности.

Другой способ аргументации — через формулу Коллатца -Виланда. Берется вектор x  = (1, 1, ..., 1) и немедленно получается неравенство.

Дополнительные доказательства

проекция Перрона

Доказательство теперь продолжается с использованием спектрального разложения . Хитрость здесь в том, чтобы отделить корень Перрона от других собственных значений. Спектральная проекция, связанная с корнем Перрона, называется проекцией Перрона и обладает следующим свойством:

Проекция Перрона неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является положительной матрицей.

Выводы Перрона, а также (1)–(5) теоремы являются следствиями этого результата. Ключевым моментом является то, что положительная проекция всегда имеет ранг один. Это означает, что если A — неприводимая неотрицательная квадратная матрица, то алгебраическая и геометрическая кратности ее корня Перрона обе равны единице. Также, если P — ее проекция Перрона, то AP = PA = ρ( A ) P , поэтому каждый столбец P является положительным правым собственным вектором A , а каждая строка — положительным левым собственным вектором. Более того, если Ax = λ x , то PAx = λ Px = ρ( A ) Px , что означает Px = 0, если λ ≠ ρ( A ). Таким образом, единственными положительными собственными векторами являются те, которые связаны с ρ( A ). Если A — примитивная матрица с ρ( A ) = 1, то ее можно разложить как P ⊕ (1 −  P ) A так, что A ⁿ = P + (1 −  P ) A ⁿ . При увеличении n второй из этих членов стремится к нулю, оставляя P пределом A ⁿ при n  → ∞.

Метод мощности — удобный способ вычисления проекции Перрона примитивной матрицы. Если v и w — положительные векторы строк и столбцов, которые он генерирует, то проекция Перрона — это просто wv / vw . Спектральные проекции не аккуратно заблокированы, как в форме Жордана. Здесь они накладываются друг на друга, и каждая из них обычно имеет комплексные элементы, простирающиеся на все четыре угла квадратной матрицы. Тем не менее, они сохраняют свою взаимную ортогональность, что облегчает разложение.

Периферийная проекция

Анализ, когда A неприводим и неотрицателен, в целом аналогичен. Проекция Перрона по-прежнему положительна, но теперь могут быть другие собственные значения модуля ρ( A ), которые сводят на нет использование метода мощности и предотвращают затухание степеней (1 −  P ) A , как в примитивном случае, когда ρ( A ) = 1. Поэтому мы рассматриваем периферическую проекцию , которая является спектральной проекцией A, соответствующей всем собственным значениям, имеющим модуль ρ ( A ). Затем можно показать, что периферическая проекция неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является неотрицательной матрицей с положительной диагональю.

Цикличность

Предположим дополнительно, что ρ( A ) = 1 и A имеет h собственных значений на единичной окружности. Если P — периферийная проекция, то матрица R = AP = PA неотрицательна и неприводима, R ^h = P , а циклическая группа P , R , R ² , ...., R ^{h −1} представляет гармоники A . Спектральная проекция A на собственное значение λ на единичной окружности задается формулой . Все эти проекции (включая проекцию Перрона) имеют одну и ту же положительную диагональ, более того, выбор любой из них и затем взятие модуля каждой записи неизменно дает проекцию Перрона. Еще нужна некоторая ослиная работа, чтобы установить циклические свойства (6)–(8), но по сути это просто вопрос поворота ручки. Спектральное разложение A задается как A  =  R  ⊕ (1 −  P ) A , поэтому разность между A ⁿ и R ⁿ равна A ⁿ  −  R ⁿ = (1 −  P ) A ^{n ,} представляющая переходные процессы A ⁿ , которые в конечном итоге затухают до нуля. P может быть вычислено как предел A ^nh при n  → ∞. ${\displaystyle \scriptstyle h^{-1}\sum _{1}^{h}\lambda ^{-k}R^{k}}$

Контрпримеры

Матрицы L = , P = , T = , M = дают простые примеры того, что может пойти не так, если не выполнены необходимые условия. Легко видеть, что проекции Перрона и периферийные проекции L равны P , таким образом, когда исходная матрица приводима, проекции могут потерять неотрицательность, и нет никакой возможности выразить их как пределы ее степеней. Матрица T является примером примитивной матрицы с нулевой диагональю. Если диагональ неприводимой неотрицательной квадратной матрицы не равна нулю, то матрица должна быть примитивной, но этот пример показывает, что обратное неверно. M является примером матрицы с несколькими отсутствующими спектральными зубцами. Если ω = e ^iπ/3, то ω ⁶ = 1, а собственные значения M равны {1,ω ² ,ω ³ =-1,ω ⁴ } с собственным пространством размерности 2 для +1, поэтому ω и ω ⁵ оба отсутствуют. Точнее, поскольку M является блочно-диагональным циклическим, то собственные значения равны {1,-1} для первого блока и {1,ω ² ,ω ⁴ } для нижнего ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0\\1&0&0\\\!-1&1&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

Терминология

Проблема, вызывающая путаницу, заключается в отсутствии стандартизации в определениях. Например, некоторые авторы используют термины строго положительный и положительный для обозначения > 0 и ≥ 0 соответственно. В этой статье положительный означает > 0, а неотрицательный означает ≥ 0. Другая проблемная область касается разложимости и приводимости : неприводимый — это перегруженный термин. Во избежание сомнений ненулевая неотрицательная квадратная матрица A, такая что 1 +  A является примитивной, иногда называется связанной . Тогда неприводимые неотрицательные квадратные матрицы и связанные матрицы являются синонимами. ^[33]

Неотрицательный собственный вектор часто нормализуется так, чтобы сумма его компонентов равнялась единице; в этом случае собственный вектор является вектором распределения вероятностей и иногда называется стохастическим собственным вектором .

Собственное значение Перрона–Фробениуса и доминирующее собственное значение — альтернативные названия корня Перрона. Спектральные проекции также известны как спектральные проекторы и спектральные идемпотенты . Период иногда называют индексом импримитивности или порядком цикличности .

Смотрите также

• Теорема о минимуме-максимуме  – Вариационная характеристика собственных значений компактных эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах
• Z-матрица (математика)  – квадратная матрица, недиагональные элементы которой неположительны.
• М-матрица
• P-матрица  – комплексная квадратная матрица, в которой каждый главный минор положителен
• Матрица Рауса–Гурвица  – матрица, используемая для анализа устойчивости полинома по его коэффициентам.
• Матрица Метцлера ( квазиположительная матрица )
• Положительный оператор  – самосопряженный (или эрмитов) элемент A C*-алгебры A называется положительным, если его спектр σ(A) состоит из неотрицательных действительных чиселPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Теорема Крейна–Рутмана  – обобщение теоремы Перрона–Фробениуса на банаховы пространства

Примечания

1. Боулз, Сэмюэл (1981-06-01). «Технические изменения и норма прибыли: простое доказательство теоремы Окисио». Cambridge Journal of Economics . 5 (2): 183–186. doi :10.1093/oxfordjournals.cje.a035479. ISSN  0309-166X.
2. Meyer 2000, стр. 8.3.6 стр. 681 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
3. Meyer 2000, стр. 8.3.7 стр. 683 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
4. Langville & Meyer 2006, стр. 15.2 стр. 167 Langville, Amy N. ; Langville, Amy N.; Meyer, Carl D. (2006-07-23). ​​PageRank Google и не только: Наука рейтингов поисковых систем. Princeton University Press. ISBN 978-0691122021. Архивировано из оригинала 10 июля 2014 г. . Получено 2016-10-31 .{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
5. Кинер 1993, стр. 80
6. Ландау, Эдмунд (1895), "Zur родственник Wertbemessung der Turnierresultaten", Deutsches Wochenschach , XI : 366–369
7. Ландау, Эдмунд (1915), «Über Preisverteilung bei Spielturnieren», Zeitschrift für Mathematik und Physik , 63 : 192–202
8. Биркгофф, Гарретт и Варга, Ричард С., 1958. Критичность реактора и неотрицательные матрицы. Журнал Общества промышленной и прикладной математики, 6(4), стр.354-377.
9. Донскер, МД и Варадхан, С.С., 1975. О вариационной формуле для главного собственного значения для операторов с принципом максимума. Труды Национальной академии наук, 72(3), стр.780-783.
10. Фридланд, С., 1981. Выпуклые спектральные функции. Линейная и полилинейная алгебра, 9(4), стр.299-316.
11. Мирослав Фидлер; Чарльз Р. Джонсон; Томас Л. Маркхэм; Майкл Нойманн (1985). "Неравенство следа для M-матриц и симметризуемость действительной матрицы положительной диагональной матрицей". Линейная алгебра и ее приложения . 71 : 81–94. doi : 10.1016/0024-3795(85)90237-X .
12. Meyer 2000, стр. глава 8 страница 665 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
13. Meyer 2000, стр. глава 8.3 страница 670. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 года . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
14. Гантмахер 2000, стр. глава XIII.3 теорема 3 страница 66
15. Китченс, Брюс (1998), Символическая динамика: односторонние, двусторонние и счетные сдвиги Маркова., Springer, ISBN 9783540627388
16. Minc, Henryk (1988). Неотрицательные матрицы . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. стр. 6 [Следствие 2.2]. ISBN 0-471-83966-3.
17. Градштейн, Израиль Соломонович (18 сентября 2014 г.). Таблица интегралов, рядов и произведений. Elsevier. ISBN 978-0-12-384934-2. OCLC  922964628.
18. Meyer 2000, стр. утверждение 8.3.11 стр. 675 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
19. Гантмахер 2000, стр. раздел XIII.5 теорема 9
20. Meyer 2000, стр. страница 679 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
21. Meyer 2000, стр. пример 8.3.2 стр. 677 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
22. Гантмахер 2000, стр. раздел XIII.2.2 стр. 62
23. Meyer 2000, стр. пример 8.3.3 стр. 678 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
24. Meyer 2000, стр. глава 8 пример 8.3.4 страница 679 и упражнение 8.3.9 страница 685 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 года . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
25. Варга 2002, с. 2.43 (стр. 51)
26. Brualdi, Richard A. ; Ryser, Herbert J. (1992). Комбинаторная теория матриц . Кембридж: Cambridge UP. ISBN 978-0-521-32265-2.
27. Brualdi, Richard A. ; Cvetkovic, Dragos (2009). Комбинаторный подход к теории матриц и ее приложениям . Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8223-4.
28. Макки, Майкл С. (1992). Стрела времени: истоки термодинамического поведения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97702-7.
29. Гантмахер 2000, стр. раздел XIII.2.2 страница 54
30. Смит, Роджер (2006), «Спектральное теоретическое доказательство Перрона–Фробениуса» (PDF) , Математические труды Королевской Ирландской академии , 102 (1): 29–35, doi :10.3318/PRIA.2002.102.1.29
31. Meyer 2000, стр. глава 8, пункт 8.2.10, стр. 666 «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 г. Получено 07.03.2010 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
32. Meyer 2000, стр. глава 8 страница 666 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 7 марта 2010 . Получено 2010-03-07 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
33. Обзоры результатов по неприводимости см. в работах Ольги Таусски-Тодд и Ричарда А. Бруальди .

Ссылки

• Перрон, Оскар (1907), «Zur Theorie der Matrices», Mathematische Annalen , 64 (2): 248–263, doi : 10.1007/BF01449896, hdl : 10338.dmlcz/104432 , S2CID  123460172
• Фробениус, Георг (май 1912 г.), «Ueber Matrizen aus nicht negneten Elementen», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 456–477
• Фробениус, Георг (1908), «Über Matrizen aus позитивный элемент, 1», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 471–476
• Фробениус, Георг (1909), «Über Matrizen aus Positive Elementen, 2», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 514–518
• Гантмахер, Феликс (2000) [1959], Теория матриц, том 2, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2664-5(Издание 1959 года имело другое название: «Приложения теории матриц». Также нумерация глав в двух изданиях различна.)
• Лангвилл, Эми; Мейер, Карл (2006), Google Page Rank и выше , Princeton University Press, doi :10.1007/s10791-008-9063-y, ISBN 978-0-691-12202-1, S2CID  7646929
• Кинер, Джеймс (1993), «Теорема Перрона–Фробениуса и рейтинг футбольных команд», SIAM Review , 35 (1): 80–93, doi :10.1137/1035004, JSTOR  2132526
• Мейер, Карл (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра (PDF) , SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинала (PDF) 2010-03-07
• Минк, Хенрик (1988), Неотрицательные матрицы , John Wiley&Sons, Нью-Йорк, ISBN 0-471-83966-3
• Романовский В. (1933), «Sur les zéros des matrices stoccastiques», Bulletin de la Société Mathématique de France , 61 : 213–219, doi : 10.24033/bsmf.1206
• Коллатц, Лотар (1942), «Einschließungssatz für die charakteristischen Zahlen von Matrizen», Mathematische Zeitschrift , 48 (1): 221–226, doi : 10.1007/BF01180013, S2CID  120958677
• Виландт, Хельмут (1950), «Unzerlegbare, nicht негативный Matrizen», Mathematische Zeitschrift , 52 (1): 642–648, doi : 10.1007/BF02230720, hdl : 10338.dmlcz/100322 , S2CID  122189604

Дальнейшее чтение

• Авраам Берман, Роберт Дж. Племмонс , Неотрицательные матрицы в математических науках , 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8 . 
• Крис Годсил и Гордон Ройл , Алгебраическая теория графов , Springer, 2001.
• А. Грэм, Неотрицательные матрицы и применимые темы линейной алгебры , John Wiley&Sons, Нью-Йорк, 1987.
• RA Horn и CR Johnson, Матричный анализ , Cambridge University Press, 1990
• Бас Лемменс и Роджер Нуссбаум, Нелинейная теория Перрона-Фробениуса , Cambridge Tracts in Mathematics 189, Cambridge Univ. Press, 2012.
• С. П. Мейн и Р. Л. Твиди, Цепи Маркова и стохастическая устойчивость Лондон: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6 (2-е издание, Cambridge University Press, 2009) 
• Сенета, Э. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова . 2-е перераб. изд., 1981, XVI, 288 стр., Мягкая обложка Springer Series in Statistics. (Первоначально опубликовано Allen & Unwin Ltd., Лондон, 1973) ISBN 978-0-387-29765-1 
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Теорема Перрона–Фробениуса», Энциклопедия математики , Издательство EMS Press (Утверждение в конце формулировки теоремы о том, что A _j имеет порядок n / h, неверно.)
• Варга, Ричард С. (2002), Матричный итеративный анализ (2-е изд.), Springer-Verlag.