Основная теорема теории Галуа

Соответствие между подполями и подгруппами

В математике фундаментальная теорема теории Галуа — это результат, описывающий структуру некоторых типов расширений полей по отношению к группам . Она была доказана Эваристом Галуа в его развитии теории Галуа .

В своей самой базовой форме теорема утверждает, что для данного конечного и Галуа-расширения поля E / F существует взаимно - однозначное соответствие между его промежуточными полями и подгруппами его группы Галуа . ( Промежуточные поля — это поля K, удовлетворяющие F ⊆ K ⊆ E ; они также называются подрасширениями E / F .)

Явное описание переписки

Для конечных расширений соответствие можно явно описать следующим образом.

• Для любой подгруппы H группы Gal( E / F ) соответствующее фиксированное поле , обозначаемое E ^H , представляет собой множество тех элементов E , которые фиксируются каждым автоморфизмом в H .
• Для любого промежуточного поля K из E / F соответствующая подгруппа — это Aut( E / K ) , то есть множество тех автоморфизмов в Gal( E / F ), которые фиксируют каждый элемент K.

Основная теорема гласит, что это соответствие является соответствием один к одному, если (и только если) E / F является расширением Галуа . Например, самое верхнее поле E соответствует тривиальной подгруппе Gal( E / F ), а базовое поле F соответствует всей группе Gal( E / F ).

Обозначение Gal( E / F ) используется только для расширений Галуа . Если E / F является Галуа, то Gal( E / F ) = Aut( E / F ). Если E / F не является Галуа, то «соответствие» дает только инъективное (но не сюръективное ) отображение из в и сюръективное (но не инъективное) отображение в обратном направлении. В частности, если E / F не является Галуа, то F не является фиксированным полем никакой подгруппы Aut( E / F ). ${\displaystyle \{{\text{subgroups of Aut}}(E/F)\}}$ ${\displaystyle \{{\text{subfields of }}E/F\}}$

Свойства соответствия

Соответствие имеет следующие полезные свойства.

• Это включение-обратное . Включение подгрупп H ₁ ⊆ H ₂ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется включение полей E ^{H ₁} ⊇ E ^{H ₂} .
• Степени расширений связаны с порядками групп способом, соответствующим свойству обращения включения. В частности, если H является подгруппой Gal( E / F ), то | H | = [ E : E ^H ] и |Gal( E / F )|/| H | = [ E ^H : F ].
• Поле E ^H является нормальным расширением F ( или, что эквивалентно, расширением Галуа, поскольку любое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда H является нормальной подгруппой Gal( E / F ). В этом случае ограничение элементов Gal( E / F ) на E ^H индуцирует изоморфизм между Gal( E ^H / F ) и фактор-группой Gal( E / F )/ H .

Пример 1

Решетка подполей (слева) для и инвертированная Решетка подгрупп ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$

Рассмотрим поле

${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)=\left[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\right]\!({\sqrt {3}}).}$

Так как K строится из базового поля присоединением √ 2 , то √ 3 , каждый элемент K можно записать как: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle (a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}},\qquad a,b,c,d\in \mathbb {Q} .}$

Его группа Галуа включает автоморфизмы K , которые фиксируют a . Такие автоморфизмы должны переводить √ 2 в √ 2 или – √ 2 , а √ 3 в √ 3 или – √ 3 , поскольку они переставляют корни любого неприводимого многочлена. Предположим, что f меняет местами √ 2 и – √ 2 , так что ${\displaystyle G={\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle f\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})+(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},}$

и g обменивается √ 3 и – √ 3 , поэтому

${\displaystyle g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.}$

Это, очевидно, автоморфизмы K , соответствующие его сложению и умножению. Существует также тождественный автоморфизм e , который фиксирует каждый элемент, и композиция f и g, которая меняет знаки обоих радикалов:

${\displaystyle (fg)\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a-b{\sqrt {2}})-(c-d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}.}$

Поскольку порядок группы Галуа равен степени расширения поля, то дальнейших автоморфизмов быть не может: ${\displaystyle |G|=[K:\mathbb {Q} ]=4}$

${\displaystyle G=\left\{1,f,g,fg\right\},}$

которая изоморфна четверной группе Клейна . Ее пять подгрупп соответствуют полям, промежуточным между базой и расширением K. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Тривиальная подгруппа {1} соответствует всему полю расширения K.
• Вся группа G соответствует базовому полю ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Подгруппа {1, f } соответствует подполю, поскольку f фиксирует √ 3 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}}),}$
• Подгруппа {1, g } соответствует подполю, поскольку g фиксирует √ 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),}$
• Подгруппа {1, fg } соответствует подполю, поскольку fg фиксирует √ 6 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}}),}$

Пример 2

Решетка подполей (слева) для и инвертированная Решетка подгрупп ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(K/\mathbb {Q} )}$

Ниже приведен простейший случай, когда группа Галуа не является абелевой.

Рассмотрим поле расщепления K неприводимого многочлена над ; то есть, где θ — кубический корень из 2, а ω — кубический корень из 1 (но не сама 1). Если мы рассмотрим K внутри комплексных чисел, мы можем взять , действительный кубический корень из 2, и Поскольку ω имеет минимальный многочлен , расширение имеет степень: с -базисом, как в предыдущем примере. Следовательно, группа Галуа имеет шесть элементов, определяемых всеми перестановками трех корней : ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta ,\omega )}$ ${\displaystyle \theta ={\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \omega =-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$ ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset K}$ $${\displaystyle [\,K:\mathbb {Q} \,]=[\,K:\mathbb {Q} (\,\theta \,)\,]\cdot [\,\mathbb {Q} (\,\theta \,):\mathbb {Q} \,]=2\cdot 3=6,}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{1,\theta ,\theta ^{2},\omega ,\omega \theta ,\omega \theta ^{2}\}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$

${\displaystyle \alpha _{1}=\theta ,\ \alpha _{2}=\omega \theta ,\ \alpha _{3}=\omega ^{2}\theta .}$

Поскольку таких перестановок всего 3! = 6, G должна быть изоморфна симметрической группе всех перестановок трех объектов. Группа может быть сгенерирована двумя автоморфизмами f и g, определяемыми следующим образом:

${\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}$

${\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2},}$

и , подчиняющиеся соотношениям . Их эффект как перестановок равен (в циклической нотации ): . Также g можно рассматривать как отображение комплексного сопряжения . ${\displaystyle G=\left\{1,f,f^{2},g,gf,gf^{2}\right\}}$ ${\displaystyle f^{3}=g^{2}=(gf)^{2}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ ${\displaystyle f=(123),g=(23)}$

Подгруппы G и соответствующие подполя следующие:

• Как всегда, тривиальная группа {1} соответствует всему полю K , тогда как вся группа G — базовому полю . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• Единственная подгруппа порядка 3, , соответствует подполю степени два, поскольку подгруппа имеет индекс два в G : т.е. . Кроме того, эта подгруппа нормальна, поэтому подполе нормально над , являясь полем разложения . Ее группа Галуа над базовым полем является фактор-группой , где [ g ] обозначает смежный класс g по модулю H ; то есть ее единственным нетривиальным автоморфизмом является комплексное сопряжение g . ${\displaystyle H=\{1,f,f^{2}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\omega ):\mathbb {Q} ]={\tfrac {|G|}{|H|}}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ ${\displaystyle G/H=\{[1],[g]\}}$

• Существует три подгруппы порядка 2, и соответствующие подполям Эти подполя имеют степень 3 над , поскольку подгруппы имеют индекс 3 в G . Подгруппы не являются нормальными в G , поэтому подполя не являются Галуа или нормальными над . Фактически, каждое подполе содержит только один из корней , поэтому ни одно из них не имеет нетривиальных автоморфизмов. ${\displaystyle \{1,g\},\{1,gf\}}$ ${\displaystyle \{1,gf^{2}\},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ),\mathbb {Q} (\omega \theta ),\mathbb {Q} (\omega ^{2}\theta ).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$

Пример 3

Пусть — поле рациональных функций от неопределенной λ, и рассмотрим группу автоморфизмов: ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\lambda )}$

${\displaystyle G=\left\{\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda \right\}\subset \mathrm {Aut} (E);}$

здесь мы обозначаем автоморфизм его значением , так что . Эта группа изоморфна (см.: шесть кросс-отношений ). Пусть будет фиксированным полем , так что . ${\displaystyle \phi :E\to E}$ ${\displaystyle \phi (\lambda )}$ ${\displaystyle f(\lambda )\mapsto f(\phi (\lambda ))}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\rm {Gal}}(E/F)=G}$

Если является подгруппой , то коэффициенты многочлена ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle P(T):=\prod _{h\in H}(T-h)\in E[T]}$

генерируют фиксированное поле . Соответствие Галуа подразумевает, что каждое подполе может быть построено таким образом. Например, для фиксированное поле равно и если тогда фиксированное поле равно . Фиксированное поле является базовым полем , где j является j -инвариантом, записанным в терминах модулярной лямбда-функции : ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle H=\{\lambda ,1-\lambda \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda (1-\lambda ))}$ ${\displaystyle H=\{\lambda ,{\tfrac {1}{\lambda }}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\lambda +{\tfrac {1}{\lambda }})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (j),}$

${\displaystyle j={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

Аналогичные примеры можно построить для каждой из групп симметрии платоновых тел , поскольку они также имеют точные действия на проективной прямой и, следовательно, на . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

Пример 4

Здесь мы приводим пример конечного расширения , которое не является расширением Галуа, и с его помощью показываем, что (фундаментальная теорема) теории Галуа больше не работает, если она не является расширением Галуа. ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$

Пусть и . Тогда — конечное расширение, но не поле расщепления над (поскольку минимальный многочлен от имеет два комплексных корня, которые не лежат в ). Любое полностью определяется и что Таким образом, , — тривиальная группа. В частности, . Это показывает, что не является Галуа. ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\in G=\mathrm {Gal} (E/F)}$ ${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{2}})}$ $${\displaystyle 2=f({\sqrt[{3}]{2}})^{3}\implies f=1}$$ ${\displaystyle G=\{1\}}$ ${\displaystyle |G|=1<3=[E:F]}$ ${\displaystyle E/F}$

Теперь, имеет только одну подгруппу, т.е. себя. Единственное промежуточное поле, которое содержит, это . Из этого следует, что соответствие Галуа не выполняется. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$

Приложения

Теорема классифицирует промежуточные поля E / F в терминах теории групп . Этот перевод между промежуточными полями и подгруппами является ключом к показателю того, что общее уравнение пятой степени неразрешимо радикалами (см. теорему Абеля–Руффини ). Сначала определяются группы Галуа радикальных расширений (расширений вида F (α), где α — корень n -й степени некоторого элемента из F ), а затем с помощью фундаментальной теоремы показывается, что разрешимые расширения соответствуют разрешимым группам .

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основаны на фундаментальной теореме.

Бесконечный случай

Учитывая бесконечное алгебраическое расширение, мы все еще можем определить его как Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Проблема, с которой мы сталкиваемся в бесконечном случае, заключается в том, что биекция в фундаментальной теореме не выполняется, поскольку мы получаем слишком много подгрупп в общем случае. Точнее, если мы просто возьмем каждую подгруппу, мы можем в общем случае найти две различные подгруппы, которые фиксируют одно и то же промежуточное поле. Поэтому мы изменяем это, вводя топологию на группе Галуа.

Пусть будет расширением Галуа (возможно, бесконечным) и пусть будет группой Галуа расширения. Пусть будет множеством групп Галуа всех конечных промежуточных расширений Галуа. Обратите внимание, что для всех мы можем определить отображения с помощью . Затем мы определяем топологию Крулля на как слабейшую топологию, такую, что для всех отображения непрерывны, где мы наделяем каждое дискретной топологией. Иначе говоря, как обратный предел топологических групп (где снова каждое наделяется дискретной топологией). Это делает группу проконечной (фактически каждая проконечная группа может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа, см., например, ^[1] ). Обратите внимание, что когда является конечным, топология Крулля является дискретной топологией. ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$ $${\displaystyle {\text{Int}}_{\text{F}}(E/F)=\{G_{i}={\text{Gal}}(L_{i}/F)~|~L_{i}/F{\text{ is a finite Galois extension and }}L_{i}\subseteq E\}}$$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$ ${\displaystyle \sigma \mapsto \sigma _{|L_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \varphi _{i}:G\rightarrow G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G\cong \varprojlim G_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E/F}$

Теперь, когда мы определили топологию на группе Галуа, мы можем переформулировать фундаментальную теорему для бесконечных расширений Галуа.

Пусть обозначает множество всех промежуточных расширений поля , а обозначим множество всех замкнутых подгрупп , снабженных топологией Крулля. Тогда существует биекция между и , заданная отображением ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$ ${\displaystyle G={\text{Gal}}(E/F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E/F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(G)}$

${\displaystyle \Phi :{\mathcal {F}}(E/F)\rightarrow {\mathcal {C}}(G)}$

определяется и карта ${\displaystyle L\mapsto {\text{Gal}}(E/L)}$

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(G)\rightarrow {\mathcal {F}}(E/F)}$

определяется как . Важно, что нужно проверить, что является хорошо определенным отображением, то есть что является замкнутой подгруппой для всех промежуточных полей . Это доказано в теореме Рибеса–Залесского 2.11.3. ^[1] ${\displaystyle N\mapsto {\text{Fix}}_{E}(N):=\{a\in E~|~\sigma (a)=a{\text{ for all }}\sigma \in N\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi (L)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$

Смотрите также

• Связь Галуа

Ссылки

1. Рибес, Залесский (2010). Проконечные группы . Спрингер. ISBN 978-3-642-01641-7.

Дальнейшее чтение

• Милн, Дж. С. (2022). Поля и теория Галуа. Kea Books, Энн-Арбор, Мичиган. ISBN 979-8-218-07399-2.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Фундаментальная теорема теории Галуа на Wikimedia Commons
• Доказательство фундаментальной теоремы теории Галуа на PlanetMath .
• Авторы проекта Stacks. «Теорема 9.21.7 (Фундаментальная теорема теории Галуа)».
• Авторы проекта Stacks. «Теорема 9.22.4 (Фундаментальная теорема бесконечной теории Галуа)».