Расширение Галуа

Расширение алгебраического поля

В математике расширение Галуа — это расширение алгебраического поля E / F , которое является нормальным и сепарабельным ; ^[1] или, что то же самое, E / F является алгебраическим, а поле, фиксированное группой автоморфизмов Aut( E / F ) , является в точности базовым полем F. Значение расширения Галуа состоит в том, что расширение имеет группу Галуа и подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа . ^[а]

Результат Эмиля Артина позволяет строить расширения Галуа следующим образом: если E — заданное поле, а G — конечная группа автоморфизмов E с фиксированным полем F , то E / F — расширение Галуа. ^[2]

Характеристика расширений Галуа

Важная теорема Эмиля Артина утверждает, что для конечного расширения каждое из следующих утверждений эквивалентно утверждению Галуа: ${\displaystyle E/F,}$ ${\displaystyle E/F}$

• ${\displaystyle E/F}$является нормальным расширением и отделимым расширением .
• ${\displaystyle E}$является полем разложения сепарабельного многочлена с коэффициентами из ${\displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],}$т. е. число автоморфизмов равно степени расширения.

Другие эквивалентные утверждения:

• Любой неприводимый многочлен in, имеющий хотя бы один корень, распадается и отделим. ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$т. е. число автоморфизмов не меньше степени расширения.
• ${\displaystyle F}$фиксированное поле подгруппы ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}$
• ${\displaystyle F}$фиксированное поле ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$
• Между подполями и подгруппами поля существует взаимно однозначное соответствие. ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Примеры

Существует два основных способа построения примеров расширений Галуа.

• Возьмите любое поле , любую конечную подгруппу и пусть фиксированное поле. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle F}$
• Возьмем любое поле , любой сепарабельный многочлен в и пусть будет его полем разложения . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$

Присоединение к полю рациональных чисел квадратный корень из 2 дает расширение Галуа, а присоединение кубического корня из 2 дает расширение не-Галуа. Оба эти расширения сепарабельны, поскольку имеют нулевую характеристику . Первый из них — поле расщепления ; второй имеет нормальное замыкание , включающее комплексные кубические корни из единицы , и поэтому не является полем расщепления. Фактически у него нет никакого автоморфизма, кроме тождественного, поскольку он содержится в действительных числах и имеет только один действительный корень. Более подробные примеры см. на странице, посвящённой фундаментальной теореме теории Галуа . ${\displaystyle x^{2}-2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$

Алгебраическое замыкание произвольного поля является над Галуа тогда и только тогда, когда оно является совершенным полем . ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Примечания

1. См. статью «Группа Галуа» , где приведены определения некоторых из этих терминов и некоторые примеры.

Цитаты

1. Ланг 2002, с. 262.
2. Ланг 2002, с. 264, Теорема 1.8.

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556

дальнейшее чтение

• Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Отредактировано и дополнено дополнительной главой Артура Н. Милгрэма. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. МР  1616156.
• Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих . Студенческая математическая библиотека. Том. 35. Перевод второго немецкого (2004 г.) издания Дэвида Крамера. Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. MR  2251389. S2CID  118256821.
• Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 101. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-Х. МР  0743418. (Оригинальная статья Галуа с обширной историей и комментариями.)
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткий обзор истории симметричных функций корней уравнений». Американский математический ежемесячник . Американский математический ежемесячник, Vol. 37, № 7. 37 (7): 357–365. дои : 10.2307/2299273. JSTOR  2299273.
• «Теория Галуа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-1480-9. (Глава 4 представляет собой введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
• Джанелидзе, Г.; Борсо, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80309-0.(Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми ее обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 110 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. МР  1282723.
• Постников, Михаил Михайлович (2004). Основы теории Галуа . С предисловием Пи Джей Хилтона. Перепечатка издания 1962 года. Перевод с русского оригинала 1960 года Энн Суинфен. Дуврские публикации. ISBN 0-486-43518-0. МР  2043554.
• Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа . Университетский текст (Второе изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. МР  1645586.
• Фёлкляйн, Хельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. МР  1405612.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Шпрингер.. Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Унгар. 1949 год. (Позже переиздано на английском языке издательством Springer под названием «Алгебра».)
• Поп, Флориан (2001). «(Некоторые) новые тенденции в теории Галуа и арифметике» (PDF) .