Среднее арифметическое–геометрическое

Mathematical function of two positive real arguments

График среднего арифметического–геометрического среди нескольких обобщенных средних . ${\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}$

В математике среднее арифметико-геометрическое ( AGM или agM ^[1] ) двух положительных действительных чисел x и y — это взаимный предел последовательности средних арифметических и последовательности средних геометрических . Среднее арифметико-геометрическое используется в быстрых алгоритмах для показательных , тригонометрических и других специальных функций , а также некоторых математических констант , в частности, для вычисления π .

AGM определяется как предел взаимозависимых последовательностей и . Предполагая , мы записываем: Эти две последовательности сходятся к одному и тому же числу, арифметико-геометрическому среднему x и y ; оно обозначается как M ( x , y ) , или иногда как agm( x , y ) или AGM( x , y ) . ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle x\geq y\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

Среднее арифметическое–геометрическое можно распространить на комплексные числа , и когда ветви квадратного корня могут быть взяты непоследовательно, то, как правило, это многозначная функция . ^[1]

Пример

Чтобы найти среднее арифметическое и геометрическое для a ₀ = 24 и g ₀ = 6 , выполните следующие итерации: Первые пять итераций дают следующие значения: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

Число цифр, в которых a _n и g _n совпадают (подчеркнуто), приблизительно удваивается с каждой итерацией. Среднее арифметико-геометрическое 24 и 6 является общим пределом этих двух последовательностей, который приблизительно равен13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^[2]

История

Первый алгоритм, основанный на этой паре последовательностей, появился в работах Лагранжа . Его свойства были далее проанализированы Гауссом . ^[1]

Характеристики

Как среднее геометрическое, так и среднее арифметическое двух положительных чисел x и y находятся между двумя числами. (Они строго между, когда x ≠ y .) Среднее геометрическое двух положительных чисел никогда не больше среднего арифметического . ^[3] Таким образом, средние геометрические являются возрастающей последовательностью g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ... ; средние арифметические являются убывающей последовательностью a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ... ; и g _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _n для любого n . Это строгие неравенства, если x ≠ y .

Таким образом, M ( x , y ) — это число между x и y ; оно также находится между геометрическим и арифметическим средними x и y .

Если r ≥ 0 , то M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Существует выражение в интегральной форме для M ( x , y ) : ^[4] где K ( k ) — полный эллиптический интеграл первого рода : Поскольку арифметико-геометрический процесс сходится так быстро, он обеспечивает эффективный способ вычисления эллиптических интегралов, которые используются, например, при проектировании эллиптических фильтров . ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

Среднее арифметическое–геометрическое связано с тета-функцией Якоби с помощью ^[6], которая при задании дает ${\displaystyle \theta _{3}}$ $${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$ ${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

Связанные концепции

Обратная величина арифметико-геометрического среднего числа 1 и квадратного корня из 2 — это постоянная Гаусса . В 1799 году Гаусс доказал ^{[примечание 1]} , что где — постоянная лемнискаты . $${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$ $${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$ ${\displaystyle \varpi }$

В 1941 году (и, следовательно , ) было доказано трансцендентное Теодором Шнайдером . ^{[примечание 2] [7] [8]} Множество алгебраически независимо над , [ ^{9] [10]} но множество (где штрих обозначает производную по второй переменной) не является алгебраически независимым над . Фактически, ^[11] Геометрически -гармоническое среднее GH можно вычислить с помощью аналогичных последовательностей геометрических и гармонических средних, и фактически GH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y ) . ^[12] Арифметически-гармоническое среднее эквивалентно геометрическому среднему . ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

Среднее арифметическое–геометрическое можно использовать для вычисления, среди прочего, логарифмов , полных и неполных эллиптических интегралов первого и второго рода ^[13] и эллиптических функций Якоби ^[14] .

Доказательство существования

Неравенство арифметических и геометрических средних означает, что и, таким образом, последовательность g _n не убывает и ограничена сверху большим из x и y . По теореме о монотонной сходимости последовательность сходится, поэтому существует g такой, что: Однако мы также можем видеть, что: и, таким образом: $${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$ $${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$ $${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

ЧТЭК

Доказательство интегральной формы выражения

Это доказательство дано Гауссом. ^[1] Пусть

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

Меняем переменную интегрирования на , где ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$ $${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

Это дает $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$Последнее равенство следует из того, что . ${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

В итоге получаем желаемый результат

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

Приложения

Числоπ

Согласно алгоритму Гаусса–Лежандра , ^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

где

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

с и , которые можно вычислить без потери точности, используя ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

Полный эллиптический интегралК(грех)α)

Принятие и выход на годовое общее собрание акционеров ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

где K ( k ) — полный эллиптический интеграл первого рода :

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

То есть этот квартальный период может быть эффективно рассчитан с помощью годового общего собрания акционеров, $${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

Другие приложения

Используя это свойство AGM вместе с восходящими преобразованиями Джона Ландена , ^[16] Ричард П. Брент ^[17] предложил первые алгоритмы AGM для быстрой оценки элементарных трансцендентных функций ( ex ^, cos  x , sin  x ). Впоследствии многие авторы продолжили изучать использование алгоритмов AGM. ^[18]

Смотрите также

• Преобразование Ландена
• Алгоритм Гаусса-Лежандра
• Обобщенное среднее

Ссылки

Примечания

1. К 1799 году у Гаусса было два доказательства теоремы, но ни одно из них не было строгим с современной точки зрения.
2. В частности, он доказал, что бета-функция трансцендентна для всех таких, что . Тот факт, что она трансцендентна, следует из ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}$

Цитаты

1. Кокс, Дэвид (январь 1984). «Среднее арифметико-геометрическое Гаусса». L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
2. agm(24, 6) в Wolfram Alpha
3. Буллен, PS (2003). «Средние арифметические, геометрические и гармонические». Справочник средних и их неравенств. Дордрехт: Springer Netherlands. стр. 60–174. doi :10.1007/978-94-017-0399-4_2. ISBN 978-90-481-6383-0. Получено 11 декабря 2023 г. .
4. Carson, BC (2010). "Эллиптические интегралы". В Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.). NIST Handbook of Mathematical Functions . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. МР  2723248..
5. Димопулос, Геркулес Г. (2011). Аналоговые электронные фильтры: теория, проектирование и синтез. Springer. стр. 147–155. ISBN 978-94-007-2189-0.
6. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.страницы 35, 40
7. Шнайдер, Теодор (1941). «Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale». Журнал для королевы и математики . 183 (19): 110–128. дои : 10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
8. Тодд, Джон (1975). «Константы лемнискат». Сообщения ACM . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
9. Г. В. Чудновский: Алгебраическая независимость констант, связанных с функциями анализа , Извещения АМН 22, 1975, стр. А-486
10. Г. В. Чудновский: Вклад в теорию трансцендентных чисел , Американское математическое общество, 1984, стр. 6
11. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 45
12. Ньюман, DJ (1985). «Упрощенная версия быстрых алгоритмов Брента и Саламина». Математика вычислений . 44 (169): 207–210. doi :10.2307/2007804. JSTOR  2007804.
13. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 17". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия прикладной математики. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
14. Кинг, Луис В. (1924). О прямом численном вычислении эллиптических функций и интегралов. Cambridge University Press.
15. Саламин, Юджин (1976). «Вычисление числа π с использованием арифметико-геометрического среднего». Математика вычислений . 30 (135): 565–570. doi :10.2307/2005327. JSTOR  2005327. MR  0404124.
16. Ланден, Джон (1775). «Исследование общей теоремы для нахождения длины любой дуги любой конической гиперболы посредством двух эллиптических дуг, с некоторыми другими новыми и полезными теоремами, выведенными оттуда». Philosophical Transactions of the Royal Society . 65 : 283–289. doi :10.1098/rstl.1775.0028. S2CID  186208828.
17. Брент, Ричард П. (1976). «Быстрая оценка элементарных функций с множественной точностью». Журнал ACM . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi :10.1145/321941.321944. MR  0395314. S2CID  6761843. 
18. Борвейн, Джонатан М .; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и годовое общее собрание акционеров . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. МР  0877728.

Источники

• Дароци, Золтан; Палес, Жолт (2002). «Гаусс-композиция средних и решение проблемы Матковского – Суто». Публикации Mathematicae Дебрецен . 61 (1–2): 157–218. дои : 10.5486/PMD.2002.2713.
• «Арифметико-геометрический средний процесс». Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметическое–геометрическое среднее». MathWorld .