Оснащенное гильбертово пространство

Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis

В математике оснащенное гильбертово пространство ( тройка Гельфанда , вложенное гильбертово пространство , оснащенное гильбертово пространство ) — это конструкция, призванная связать аспекты распределения и квадратично-интегрируемого функционального анализа . Такие пространства были введены для изучения спектральной теории . Они объединяют « связанное состояние » ( собственный вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.

Используя это понятие, можно сформулировать версию спектральной теоремы для неограниченных операторов в гильбертовом пространстве. ^[1] «Оснащенные гильбертовы пространства хорошо известны как структура, которая придает надлежащий математический смысл формулировке Дирака квантовой механики ». ^[2]

Мотивация

Функция, такая как является собственной функцией дифференциального оператора на действительной прямой R , но не является квадратично интегрируемой для обычной ( лебеговой ) меры на R . Чтобы должным образом рассмотреть эту функцию как собственную функцию, требуется некоторый способ выйти за строгие рамки теории гильбертова пространства . Это было предоставлено аппаратом распределений , и обобщенная теория собственных функций была разработана в годы после 1950 года. $${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

Функциональный подход к анализу

Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из гильбертова пространства H вместе с подпространством Φ, которое несет более тонкую топологию , то есть такое, для которого естественное включение непрерывно. Не будет потерей предположить, что Φ плотно в H для нормы Гильберта. Мы рассматриваем включение дуальных пространств H * в Φ ^* . Последнее, дуальное к Φ в его топологии «тестовой функции», реализуется как пространство распределений или обобщенных функций некоторого вида, и ^{линейные} функционалы на подпространстве Φ типа для v в H точно представлены как распределения (потому что мы предполагаем Φ плотным). $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

Теперь, применяя теорему Рисса о представлении, мы можем отождествить H ^* с H. Таким образом, определение оснащенного гильбертова пространства дается в терминах сэндвича: $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

Наиболее значимыми примерами являются те, для которых Φ является ядерным пространством ; этот комментарий является абстрактным выражением идеи, что Φ состоит из тестовых функций и Φ* соответствующих распределений . Также простой пример дают пространства Соболева : Здесь (в простейшем случае пространств Соболева на ) где . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$ ${\displaystyle s>0}$

Формальное определение (тройка Гельфанда)

Оснащенное гильбертово пространство — это пара ( H , Φ), где H — гильбертово пространство, Φ — плотное подпространство, такое, что Φ задана топологическая структура векторного пространства , для которой отображение включения i является непрерывным.

Отождествляя H с его двойственным пространством H ^* , сопряженным к i является отображение $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Тогда дуальное спаривание между Φ и Φ ^* совместимо со скалярным произведением на H в том смысле, что: всякий раз, когда и . В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; оно будет комплексно-линейным по u (математическое соглашение) или v (физическое соглашение) и сопряженно-линейным (комплексно-антилинейным) по другой переменной. $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}$

Тройку часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиля Гельфанда ). Ее называют опорным пространством. ${\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}$ ${\displaystyle H}$

Обратите внимание, что даже если Φ изоморфно Φ ^* (через представление Рисса ), если Φ само по себе является гильбертовым пространством, этот изоморфизм не совпадает с композицией включения i с его сопряженным i * $${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

Ссылки

1. Минлос, РА (2001) [1994], «Rigged_Hilbert_space», Энциклопедия математики , EMS Press
2. Красноголовец, Владимир; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в квантовой физике . Nova Science Publishers. стр. 79. ISBN 978-1-59454-001-1.

• J.-P. Antoine, Quantum Mechanics Beyond Hilbert Space (1996), опубликовано в Irreversibility and Causality, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Предоставляет обзор обзора.) 
• Ж. Дьедонне , «Элементы анализа VII» (1978). (См. пункты 23.8 и 23.32)
• И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин . Обобщенные функции, т. 4: Некоторые приложения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Academic Press, Нью-Йорк, 1964.
• К. Маурин, Обобщенные разложения по собственным функциям и унитарные представления топологических групп , Польские научные издательства, Варшава, 1968.
• Р. де ла Мадрид, «Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства», докторская диссертация (2001).
• Р. де ла Мадрид, «Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике», Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph/0502053.