Общая собственность

Владение недвижимостью для типичных примеров

В математике свойства, которые справедливы для «типичных» примеров, называются общими свойствами . Например, общее свойство класса функций — это свойство, которое справедливо для «почти всех» этих функций, как в утверждениях: «Общий многочлен не имеет корня в нуле» или «Общая квадратная матрица обратима ». В качестве другого примера, общее свойство пространства — это свойство, которое справедливо для «почти всех» точек пространства, как в утверждении: «Если f  : M → N — гладкая функция между гладкими многообразиями , то общая точка N не является критическим значением f ». (Это по теореме Сарда .)

В математике существует множество различных понятий «обобщенного» (то, что подразумевается под «почти всем»), с соответствующими двойственными понятиями «почти ничего» ( незначительное множество ); два основных класса таковы:

• В теории меры общим свойством называется свойство, которое выполняется почти всюду , при этом двойственной концепцией является нулевое множество , что означает «с вероятностью 0».
• В топологии и алгебраической геометрии общим свойством является свойство, которое выполняется для плотного открытого множества или, в более общем смысле, для остаточного множества , при этом двойственной концепцией является нигде не плотное множество или, в более общем смысле, разреженное множество .

Существует несколько естественных примеров, где эти понятия не равны. ^[1] Например, множество чисел Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега. ^[2]

В теории меры

В теории меры общее свойство — это свойство, которое выполняется почти всюду . Двойственное понятие — это нулевое множество , то есть множество меры ноль.

По вероятности

В теории вероятности общее свойство — это событие, которое происходит почти наверняка , то есть оно происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел гласит, что выборочное среднее значение почти наверняка сходится к генеральному среднему значению. Это определение в случае теории меры, специализированное для вероятностного пространства.

В дискретной математике

В дискретной математике термин почти все используется для обозначения коконечности (все, кроме конечного множества), сосчетности (все, кроме счетного множества) для достаточно больших чисел или, иногда, асимптотически почти наверняка . Эта концепция особенно важна при изучении случайных графов .

В топологии

В топологии и алгебраической геометрии общим свойством является свойство, которое выполняется для плотного открытого множества или, в более общем смысле, для остаточного множества (счетного пересечения плотных открытых множеств), при этом двойственной концепцией является замкнутое нигде не плотное множество или, в более общем смысле, разреженное множество (счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств).

Однако одной плотности недостаточно для характеристики родового свойства. Это можно увидеть даже в действительных числах , где и рациональные числа, и их дополнение, иррациональные числа, являются плотными. Поскольку не имеет смысла говорить, что и множество, и его дополнение демонстрируют типичное поведение, и рациональные, и иррациональные числа не могут быть примерами множеств, достаточно больших, чтобы быть типичными. Следовательно, мы полагаемся на более сильное определение выше, которое подразумевает, что иррациональные числа являются типичными, а рациональные — нет.

Для приложений, если свойство выполняется для остаточного множества , оно может не выполняться для каждой точки, но небольшое его возмущение, как правило, помещает точку внутрь остаточного множества (из-за плотности компонентов разреженного множества в нигде), и поэтому это наиболее важный случай для рассмотрения в теоремах и алгоритмах.

В функциональных пространствах

Свойство является общим в C ^{r ,} если множество, содержащее это свойство, содержит остаточное подмножество в топологии C r . Здесь C ^r — функциональное пространство , членами которого являются непрерывные функции с r непрерывными производными из многообразия M в многообразие N .

Пространство C ^r ( M , N ), отображений C ^r между M и N , является пространством Бэра , поэтому любое остаточное множество является плотным . Это свойство пространства функций делает общие свойства типичными .

В алгебраической геометрии

Алгебраические многообразия

Говорят, что свойство неприводимого алгебраического многообразия X истинно в общем случае, если оно выполняется за исключением собственного замкнутого по Зарискому подмножества X , другими словами, если оно выполняется на непустом открытом по Зарискому подмножестве. Это определение согласуется с топологическим определением выше, поскольку для неприводимых алгебраических многообразий любое непустое открытое множество является плотным.

Например, по критерию Якоби для регулярности общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой. (Это утверждение известно как общая гладкость .) Это верно, потому что критерий Якоби может быть использован для нахождения уравнений для точек, которые не являются гладкими: это в точности те точки, где матрица Якоби точки X не имеет полного ранга. В нулевой характеристике эти уравнения нетривиальны , поэтому они не могут быть верны для каждой точки многообразия. Следовательно, множество всех нерегулярных точек X является собственным замкнутым по Зарисскому подмножеством X.

Вот еще один пример. Пусть f  : X → Y — регулярное отображение между двумя алгебраическими многообразиями. Для каждой точки y из Y рассмотрим размерность слоя f над y , то есть dim f ⁻¹ ( y ). В общем случае это число постоянно. Оно не обязательно постоянно везде. Если, скажем, X — это раздутие Y в точке, а f — естественная проекция, то относительная размерность f равна нулю, за исключением точки, которая раздута, где она равна dim Y - 1.

Говорят, что некоторые свойства имеют очень общий характер . Часто это означает, что основное поле несчетно и что свойство верно, за исключением счетного объединения собственных замкнутых по Зарисскому подмножеств (т. е. свойство имеет место на плотном множестве G δ ). Например, это понятие очень общего характера возникает при рассмотрении рациональной связности . Однако другие определения очень общего характера могут встречаться и встречаются в других контекстах.

Общая точка

В алгебраической геометрии общая точка алгебраического многообразия — это точка, координаты которой не удовлетворяют никакому другому алгебраическому соотношению, кроме тех, которым удовлетворяет каждая точка многообразия. Например, общая точка аффинного пространства над полем k — это точка, координаты которой алгебраически независимы над k .

В теории схем , где точки являются подмногообразиями, общая точка многообразия — это точка, замыканием которой для топологии Зарисского является все многообразие.

Общее свойство — это свойство общей точки. Для любого разумного свойства оказывается, что свойство истинно в общем смысле на подмногообразии (в смысле истинности на открытом плотном подмножестве) тогда и только тогда, когда свойство истинно в общей точке. Такие результаты часто доказываются с использованием методов пределов аффинных схем, разработанных в EGA IV 8.

Общая позиция

Связанное понятие в алгебраической геометрии — общее положение , точное значение которого зависит от контекста. Например, в евклидовой плоскости три точки в общем положении не являются коллинеарными . Это происходит потому, что свойство не быть коллинеарными является общим свойством конфигурационного пространства трех точек в R ² .

В вычислимости

В вычислимости и алгоритмической случайности бесконечная строка натуральных чисел называется 1-генерической , если для каждого перечислимого множества либо имеет начальный сегмент в , либо имеет начальный сегмент такой, что каждое расширение не принадлежит W. 1-генерики важны в вычислимости, так как многие конструкции можно упростить, рассмотрев подходящий 1-генерик. ^[3] Некоторые ключевые свойства: ${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle W\subseteq \omega ^{<\omega }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau \succcurlyeq \sigma }$

• 1-generic содержит каждое натуральное число в качестве элемента;
• Ни один 1-генерик не является вычислимым (или даже ограниченным вычислимой функцией);
• Все 1-дженерики являются обобщенно низкими : . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '}$

1-генеричность связана с топологическим понятием "generic" следующим образом. Пространство Бэра имеет топологию с базовыми открытыми множествами для каждой конечной строки натуральных чисел . Тогда элемент является 1-генерическим тогда и только тогда, когда он не находится на границе какого-либо открытого множества. В частности, 1-генерики должны соответствовать каждому плотному открытому множеству (хотя это строго более слабое свойство, называемое слабо 1-генерическим ). ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle [\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}}$ ${\displaystyle \sigma \in \omega ^{<\omega }}$ ${\displaystyle f\in \omega ^{\omega }}$

Результаты общности

• Теорема Сарда : Если — гладкая функция между гладкими многообразиями , то общая точка N не является критическим значением f — критические значения f являются нулевым множеством в N. ${\displaystyle f\colon M\to N}$
• Критерий Якоби / общая гладкость : общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой.
• Управляемость и наблюдаемость линейных стационарных систем являются общими как в топологическом смысле, так и в смысле теории меры. ^[4]

Ссылки

1. Хант, Брайан Р.; Калошин, Вадим Ю. (2010). Распространенность . Справочник по динамическим системам. Том 3. С. 43–87. doi :10.1016/s1874-575x(10)00310-3. ISBN 9780444531414.
2. Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория | SpringerLink . Тексты для аспирантов по математике. Том 2. doi :10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 978-1-4684-9341-2.
3. Soare, Robert I. (2016), «Сводимость по Тьюрингу», Вычислимость по Тьюрингу , Теория и приложения вычислимости, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 51–78, doi :10.1007/978-3-642-31933-4_3, ISBN 978-3-642-31932-7, получено 2020-11-01
4. Полдерман, Ян Виллем; Виллемс, Ян К. (1998). Введение в теорию математических систем | SpringerLink . Тексты по прикладной математике. Том 26. doi :10.1007/978-1-4757-2953-5. ISBN 978-1-4757-2955-9.

• Виггинс, Стивен (2003), Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классических произведений Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523