Золотой треугольник (математика)

Равнобедренный треугольник, в котором дублирующая сторона находится в золотом пропорции к основной стороне.

Золотой треугольник. Отношение a/b — это золотое сечение φ. Угол при вершине равен . Базовые углы составляют по 72° каждый. ${\displaystyle \theta =36^{\circ }}$

Золотой гномон, имеющий длину стороны 1, 1 и ${\displaystyle \phi }$

Золотой треугольник , также называемый возвышенным треугольником , ^[1] представляет собой равнобедренный треугольник , в котором дублированная сторона находится в золотом пропорции к базовой стороне: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034~.}$

Углы

• Угол при вершине : ^[2]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Следовательно, золотой треугольник является остроугольным (равнобедренным) треугольником.

• Поскольку сумма углов треугольника равна радианам , каждый из основных углов (CBX и CXB) равен: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

Примечание:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, три угла которого имеют соотношение 1:2:2 (36°, 72°, 72°). ^[3]

В других геометрических фигурах

Золотой треугольник в правильном десятиугольнике

• Золотые треугольники можно найти в вершинах правильных пентаграмм .
• Золотые треугольники можно найти и в правильном десятиугольнике , равноугольном и равностороннем десятиугольнике , соединив любые две соседние вершины с центром. Это потому, что: 180(10−2)/10 = 144° — это внутренний угол, а делим его пополам через вершину к центру: 144/2 = 72°. ^[1]
• Также золотые треугольники встречаются в сетках нескольких звездочек додекаэдров и икосаэдров .

Логарифмическая спираль

Золотые треугольники, вписанные в логарифмическую спираль.

Золотой треугольник используется для формирования некоторых точек логарифмической спирали . При делении одного из основных углов пополам создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник. ^[4] Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Через вершины можно провести логарифмическую спираль. Эта спираль также известна как равноугольная спираль — термин, придуманный Рене Декартом . «Если от полюса до любой точки кривой провести прямую линию, она разрезает кривую точно под тем же углом», следовательно, она равноугольная . ^[5] Эта спираль отличается от золотой спирали : золотая спираль увеличивается на коэффициент золотого сечения за каждую четверть оборота, тогда как спираль, проходящая через эти золотые треугольники, требует угла 108 °, чтобы вырасти на тот же коэффициент. ^[6]

Золотой гномон

Золотой треугольник, разделенный пополам треугольниками Робинсона: золотой треугольник и золотой гномон.

Обычная пентаграмма . Каждый угол представляет собой золотой треугольник. Фигура также содержит пять «больших» золотых гномонов, полученных путем соединения с «маленьким» центральным пятиугольником двух углов, не примыкающих друг к другу. Если провести пять сторон «большого» пятиугольника вокруг пентаграммы, получится пять «маленьких» золотых гномонов.

С золотым треугольником тесно связан золотой гномон , который представляет собой равнобедренный треугольник, в котором отношение длин равных сторон к длине основания является обратным золотому сечению . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

«У золотого треугольника отношение длины основания к длине стороны равно золотому сечению φ, тогда как у золотого гномона отношение длины стороны к длине основания равно золотому сечению φ». ^[7]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

Углы

(Расстояния AX и CX равны a ′ = a = φ, а расстояние AC равно b ′ = φ², как показано на рисунке.)

• Угол при вершине AXC равен:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.}$

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупоугольный (равнобедренный) треугольник.

${\displaystyle (}$Примечание: ${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• Поскольку сумма углов треугольника AXC равна радианам, каждый из основных углов CAX и ACX равен: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Примечание: ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

• Золотой гномон однозначно идентифицируется как треугольник, имеющий три угла в соотношении 1:1:3 (36°, 36°, 108°). Его базовые углы составляют по 36° каждый, что соответствует вершине золотого треугольника.

биссектрисы

• Разделив один из основных углов пополам, золотой треугольник можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон .
• Разделив угол при вершине на три части, золотой гномон можно разделить на золотой треугольник и золотой гномон.
• Золотой гномон и золотой треугольник, у которых равные стороны равны друг другу по длине, также называются тупым и острым треугольниками Робинсона. ^[3]

плитки

• Золотой треугольник и два золотых гномона образуют правильный пятиугольник . ^[8]
• Эти равнобедренные треугольники можно использовать для создания мозаики Пенроуза . Плитки Пенроуза сделаны из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей состоит из двух золотых треугольников, а дротик — из двух гномонов.

Смотрите также

• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Золотой треугольник Кимберлинга
• Лютня Пифагора
• Пентаграмма
• Золотой треугольник (композиция)

Рекомендации

1. Элам, Кимберли (2001). Геометрия дизайна . Нью-Йорк: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник». mathworld.wolfram.com . Проверено 26 декабря 2019 г.
3. Энциклопедия Тайлингса. 1970. Архивировано из оригинала 24 мая 2009 г.
4. Хантли, HE (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Нью-Йорк: ISBN Dover Publications Inc. 0-486-22254-3.
5. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире. Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN 0-7679-0815-5.
6. Леб, Артур Л.; Варни, Уильям (март 1992 г.). «Существует ли золотая спираль, и если нет, то где ее центр?». В Харгиттае Иштван; Пиковер, Клиффорд А. (ред.). Спиральная симметрия . Всемирная научная. стр. 47–61. дои : 10.1142/9789814343084_0002.
7. Леб, Артур (1992). Концепции и образы: Наглядная математика. Бостон: Биркхойзер Бостон. п. 180. ИСБН 0-8176-3620-Х.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Золотой гномон». mathworld.wolfram.com . Проверено 26 декабря 2019 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой гномон». Математический мир .
• Треугольники Робинсона в энциклопедии Tilings
• Золотой треугольник по Евклиду
• Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаге — Джорджо Пьетрокола